“隱圓”顯示，問題自解

☉山東省禹城市綜合高中 趙德才

一、問題呈現(xiàn)

【問題】（2019屆山東省高三百校聯(lián)考（非官方）·13）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+（y-1）2=1及點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，在△ACP中，若∠ACP的角平分線與AP相交于點(diǎn)Q（m，n），則的取值范圍是______.

本題是一個(gè)平面解析幾何中的動(dòng)態(tài)問題，通過圓C上的動(dòng)點(diǎn)P的變化，帶動(dòng)∠ACP的角平分線與AP的交點(diǎn)Q（m，n）的變化，結(jié)合點(diǎn)Q所對(duì)應(yīng)的“隱圓”問題，進(jìn)而探求點(diǎn)Q到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離|OQ|的取值范圍問題，即的取值范圍.解題的關(guān)鍵是抓住題目條件，結(jié)合已知條件及角平分線定理來破解，可以通過幾何法、坐標(biāo)法與三角代換法等不同的方法來處理，從而得到有效解決.

二、多解思維

思維角度1：根據(jù)題目條件，結(jié)合角平分線定理得到，過點(diǎn)Q作QB∥PC交AC于點(diǎn)B，結(jié)合比例關(guān)系得到，進(jìn)而利用條件確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，結(jié)合動(dòng)態(tài)問題確定點(diǎn)Q的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，再利用圓的性質(zhì)來確定|OQ|，即的取值范圍.

解法1：由題得圓心C（0，1），半徑r=1，由A（3，0），可得由于∠ACP的角平分線與AP相交于點(diǎn)Q（m，n），所以結(jié)合角平分線定理可得

圖1

思維角度2：根據(jù)題目條件，結(jié)合角平分線定理得到，利用平面向量的線性關(guān)系式通過設(shè)出P（x0，y0），結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得到x0與y0的表達(dá)式，代入圓C的方程，通過轉(zhuǎn)化得到點(diǎn)Q的軌跡是以為圓心為半徑的圓，再利用圓的性質(zhì)來確定|OQ|，即的取值范圍.

在MoO3還原成MoO2的過程中存在低熔點(diǎn)中間相Mo4O11和MoO2.89的相變過程[5]，該轉(zhuǎn)變過程為放熱反應(yīng)，若料層厚度較厚，則反應(yīng)過程中的熱量較難逸出，易使中間相出現(xiàn)局部熔融從而造成板結(jié)形成粗大顆粒，在粒度分布上呈現(xiàn)明顯的第二峰。

解法2：由題得圓心C（0，1），半徑r=1，由A（，0），可得，由于∠ACP的角平分線與AP相交于點(diǎn)Q（m，n），所以結(jié)合角平分線定理可得2，即.設(shè)P（x0，y0），由Q（m，n），A（，0），可得，則有

而點(diǎn)P（x0，y0）是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則有x02+（y0-1）2=1.

思維角度3：根據(jù)題目條件，結(jié)合角平分線定理可得，利用平面向量的線性關(guān)系式，通過三角代換設(shè)出P（cosα，1+sinα），結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得到m與n的表達(dá)式，通過m2+n2的三角恒等變換，利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定其取值范圍，進(jìn)而得到的取值范圍.

解法3：由題得圓心C（0，1），半徑r=1，由A（，0），可得

由于∠ACP的角平分線與AP相交于點(diǎn)Q（m，n），所以結(jié)合角平分線定理可得，即

設(shè)P（cosα，1+sinα）（α∈［0，π））.

三、變式拓展

【變式1】（2019屆安徽省“江南十校”高三第二次大聯(lián)考·15）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（4，0）若點(diǎn)P滿足|OP|=1，線段PA的中點(diǎn)為M，則|BM|的最大值為______.

解析：如圖2所示，取線段OA的中點(diǎn)C（2，0），可得

圖2

所以隨著動(dòng)點(diǎn)P的變化，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)C（2，0）為圓心，以為半徑的圓C.

連接BC并延長交圓C于點(diǎn)M0.

根據(jù)平面幾何知識(shí)可知，當(dāng)點(diǎn)M為M0時(shí)，|BM|取得最大值，最大值為

所以|BM|的最大值為3.

故填答案：3.

【變式2】在已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（4，0），，若點(diǎn)P滿足|OP|=1，線段PA的中點(diǎn)為M，則|BM|的取值范圍為______.

解析：由變式1中的解析可知，|BM|的最大值為|BC|+，|BM|的最小值為

所以|BM|的取值范圍為［2，3］.

故填答案：［2，3］.

解決此類平面解析幾何中的動(dòng)態(tài)問題，關(guān)鍵是要抓住題目條件，利用關(guān)系確定對(duì)應(yīng)的“隱圓”問題，其實(shí)此時(shí)“隱圓”就隱藏在題中相應(yīng)點(diǎn)的軌跡中.而正確判斷與確定這個(gè)“隱圓”，就為進(jìn)一步地破解與應(yīng)用打開局面，拓展思維，指明方向，問題往往也就迎刃而解.