曲線相切問題初探

☉江蘇省張家港市高級中學 張新秀

一、提出問題

（1）求橢圓的方程.

（2）橢圓上是否存在點P（x，y）到定點A（t，0）（其中0＜t＜3）的距離的最小值為1？若存在，求出t的值及點P的坐標；若不存在，請說明理由.

解：（1）設橢圓的方程為mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n），將點M、N的坐標代入，解得，從而橢圓的方程為

圖1 t=2時

但課后，有位同學問了筆者一個問題：老師，您用函數最值法來解這道題，我想“以A為圓心，1為半徑的圓與已知橢圓相切”是不是確定t的值更簡單呢？如果行，那又為什么得到，與您的結果不同呢？

二、教學反思

針對這一問題，筆者進行了思考，又與辦公室里的同行進行了討論，結果也是意見不一致，故而將問題作了梳理，有了以下幾點思考：

（1）直線與圓錐曲線的位置關系，特別地，直線與圓、橢圓的位置關系用直線方程與曲線方程的聯立方程組的解的個數來判斷，用判別式也是方法之一；因為直線與圓的位置關系，可以通過弦心距與半徑相比較來判斷，但橢圓因為“橢”的原因，只能通過方程組消元后的一元二次方程的判別式來判斷.在高中階段最重要的內容是直線與曲線的相切問題，這里強調的是線——切線.而兩條曲線的“相切”本來是高等數學中涉及的內容，所以學生及教師將直線與曲線相切的解決方法直接用于解決兩條曲線相切的問題，顯然是要出問題的.

（2）雖然兩圓相切（包括內切與外切）是指兩個圓有一個公共點時的位置關系，但不能認為解決兩條曲線的相切問題也相當于判別式為0就等價于兩條曲線相切了.

（3）事實上，若考慮以A為圓心、1為半徑的圓與橢圓相切，即將，消去y后，整理得5x2-18tx+9（t2+3）=0（※），由Δ=0，結合條件0＜t＜3，得，而此時方程（※）有且只有唯一的解，而，即，所以原方程組無實數解，這說明橢圓與圓沒有交點（如圖2所示）.

圖2 時

（5）而在高等數學中，兩條曲線相切，通俗地講，就是兩條曲線只有一個交點，而且在該交點有一條共同的切線.那么，本題中橢圓與圓（x-2）2+y2=1在點（3，0）處是相切的.

（6）由橢圓與圓聯立的方程組的解的問題，不等價于消元后所得的一元二次方程的解（用判別式），這是因為還要考慮到橢圓的范圍問題，即x、y的取值范圍所限.如（※）中雖然Δ=0，但橢圓與圓卻沒有交點；（※※）中Δ＞0，方程雖有兩個解，但橢圓與圓卻只有一個交點.

解：①設P（x，y）因為x∈［-3，3］，0＜t＜3，所以若，即時，則當x=取得最小值；若以A（t，0）為圓心，為半徑畫圓，則此時圓與橢圓相切，切點坐標為，此時Δ=0，但PA的最小值，不等于1，即當時，橢圓上到點A（t，0）的距離的最小值為1的點不存在.

綜上所述，橢圓上存在點P到定點A的距離的最小值為1，點P的坐標為（3，0），A（2，0）.即參數t的值為2，而不是

三、教學運用

但是由于同學受直線與二次曲線位置關系的判定法則這一思維定式的影響，往往只考慮消元后所得的二次方程的判別式而忽略了方程組解的整體情形.在平時的教學中，筆者思考并總結了解決這類問題的“雙判別式法”，收到了較好的復習效果，在判斷二次曲線的交點問題時，必須對消元后所得關于變量x和關于變量y的兩個方程的判別式同時進行討論，方可得出合乎邏輯的正確結論.

例1在拋物線y=ax2（a＞0）的上方（y≥ax2），求出一個與拋物線相切于原點的最大圓的方程.

解：圓的方程可設為x2+（y-r）2=r2，①

拋物線方程為y=ax2，②

此題屬于兩曲線在頂點處有重切點的情形，故須有Δy=0，且Δx=0.

例2已知拋物線C：y=（x+1）2與圓M：（x-1）2+有一個公共點A，且在點A處兩曲線的切線為同一直線l.

（Ⅰ）求r；

（Ⅱ）設m、n是異于l且與C及M都相切的兩條直線，m、n的交點為D，求D到l的距離.

解：（Ⅰ）設A（x0，（x0+1）2），對y=（x+1）2求導得y′=2（x+1），故l的斜率為k=2（x0+1）；

圖3

當x0=1時，不符合題意，所以x0≠1，圓心為，MA的斜率為由l⊥MA，知kk1=-1，即2（x0+1）·，解得x0=0，故A（0，1）

一般地，給定拋物線y2=2px（p＞0），設A（m，0），m＞0，P是拋物線上的一點，且|PA|=d，則當0＜m≤p時，以A為圓心的圓與拋物線切于頂點，頂點到點A的距離最小，但此時Δ≠0；當m＞p時，以A為圓心的圓與拋物線相切時，切點到點A的距離最小，此時Δ=0.

通過對教學所反映的問題進行研究和探索，對教學有了更深刻的感悟.有時是學生教會教師思考，特別是那些看似平常的、淺顯的、從未懷疑的問題，要主動進行“非常”的思考，不能將這些問題一直放在“遺忘的角落”，應不斷地思考，不斷地深入研究，這樣才能使教學內容更符合學生的“最近發展區”，才能有效地促進學生數學能力的提高，培養和發展學生的數學應用意識和創新意識，達到以例啟思、以點帶面、觸類旁通的目的，本文拋磚引玉，希望有更多的一線教師通過教學實踐，做更進一步的研究.