巧借橢圓結論，妙解數學問題

☉江蘇省懷仁高級中學 謝建金

圓錐曲線的定值問題是高考數學中的常見題型之一，也是備受命題者、老師與學生關注的焦點之一，難度一般是中等及中等偏上.圓錐曲線的定值問題充分體現了動與靜的完美統一，是解析幾何知識的綜合與交匯問題，其背景生動，內容豐富，綜合性較強，因而趣味性也較強，充分將函數與解析幾何融為一體，要求有較強的綜合能力與應變能力，充分考查了學生的數學能力與素養.下面通過證明給出橢圓中的一個定值性質，進而加以變式推廣，并借助相關性質與推廣巧妙處理橢圓中的有關問題.

一、結論呈現

【性質】已知橢圓，O為坐標原點，A，B是橢圓上的點，且滿足OA⊥OB，則有

證法1：（常規方法）當直線OA、OB的斜率存在時，設直線OA的方程為y=kx，則直線OB的方程為，將y=kx代入橢圓，整理可得，同理可得，則有所以

當直線OA、OB中的一個斜率不存在時，此時A、B分別是橢圓的長軸、短軸的一個頂點，此時顯然有成立.

證法2：（距離轉化法）設A（x1，y1），B（x2，y2），設直線AB的方程為x=my+n，將x=my+n代入橢圓1，整理可得（a2+b2m2）y2+2b2mny+b2n2-a2b2=0，則有y1+y2=可得x1x2=（my1+n）（my2+n）=

證法3：（三角換元法）設|OA|=m，|OB|=n，則可設，化簡可得B（nsinθ，-ncosθ）.而點A、B在橢圓上，則有將以上兩式對應相加，可得成立.

證法4：（極坐標法）以O為極點，Ox為極軸建立極坐標系，則x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入橢圓可得由于OA⊥OB，設那么成立.

點評：常規方法證明中要注意討論“直線OA、OB的斜率存在”與“直線OA、OB的一個斜率不存在”的情況；而距離轉化法中巧妙地設出直線AB的方程為x=my+n，避免對直線AB的斜率是否存在加以討論；三角換元法中巧妙利用角的轉化，通過誘導公式與三角函數的相關公式來處理，簡單巧妙；而極坐標法處理也非常具有巧妙之處.其實，若碰到這個結論的填空題或選擇題形式，可以直接采取特殊點法來確定答案，這也不失是一種特殊方法.

二、結論應用

1.代數式的求值問題

例1已知橢圓，O為坐標原點，A，B分別是橢圓C上的點，且OA⊥OB，則的值為______.

分析：利用常規方法破解此題較為復雜，而借助橢圓的定值性質來處理，簡單有效.

解：根據以上的性質有，故填答案

點評：除借助橢圓的定值性質來簡單處理外，還可以借助定值的背景，通過特殊點法來處理，選取A、B分別為橢圓的長軸、短軸的頂點時，滿足題目條件，可以達到利用特殊點法解決一般性問題的目的.

2.參數的取值范圍問題

例2（浙江省杭州市2019屆高三4月教學質量檢測·10）已知橢圓Г：，直線x+y=1與橢圓Г交于M，N兩點，以線段MN為直徑的圓經過原點.若橢圓Г的離心率不大于，則a的取值范圍為（ ）.

分析：利用常規方法破解，比較難處理，不易切入與轉化.而借助橢圓的定值性質的推廣，從題目中的條件來確定OM⊥ON，進而有效利用相應的結論來處理，不失是一種非常好的思路.

解：由于以線段MN為直徑的圓經過原點，則有OM⊥ON.

點評：通過題目中的隱含條件加以挖掘，得以確定垂直關系，為利用橢圓的定值性質及相關推廣結論指明方向.同時，借助橢圓的定值性質來解決此類問題，小巧玲瓏，效果極佳.

3.參數值的求解問題

例3（重慶市巴蜀中學2019屆高考適應性月考4月（理）·20）已知橢圓C：，長軸長為4，F1、F2分別為橢圓C的左、右焦點，E是橢圓C上的任意一點，△F1F2E面積的最大值為，且取得最大值時∠F1EF2為鈍角.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）已知圓O：x2+y2=r2（r＞0），M為圓O上任意一點，過點M的切線分別交橢圓C于P，Q兩點，且，求r的值.

分析：利用常規方法破解圓O的半徑r的值，處理起來比較煩瑣.而借助橢圓的定值性質與推廣來處理，基本可以達到“秒殺”的目的.

解：（1）由題可得2a=4，即a=2.

顯然，當E是橢圓C的上、下頂點時，△F1F2E的面積取得最大值，此時S=bc=.

又由于b2+c2=a2=4，與bc=聯立，解得b=1，c=或b=，c=1.

由于過點M的切線分別交橢圓C于P，Q兩點，則原點O到直線PQ的距離為d=r.

點評：利用橢圓的定值性質與推廣來處理，基本可以達到“秒殺”的目的.

在破解一些橢圓的相關問題中，如果能夠巧妙借助以上橢圓的相關性質與推廣，特別在解答一些選擇題或填空題時是一種很好的方法.可以很好地處理問題，從而有效提升學習的寬度與深度，提高數學效益，培養數學素質，提升思維品質.