走近參數范圍，探析方法視角

☉江蘇省揚中高級中學 耿 燕

討論參數的取值范圍是近幾年高考的熱點問題，也是高中數學需要學生掌握的核心內容，考慮到該類問題的題型多變，所涉及的知識點較多，題型結構較為復雜，學生在實際求解時很難準確把握其中的切入點，從而造成突破困難，下面對其方法視角加以探析.

一、分離視角——分離參數，化歸最值

在求解一些含有參數的不等式問題時，可以基于分離視角采用參數分離的方法，使不等式問題中的變量和參數分別置于不等號的兩側，從而將問題化歸為不等式的最值問題，通過求解其值域或最值來實現對原問題的求解.即對于a≥f（x）恒成立問題，只需要求解f（x）max即可；而對于a≤f（x）恒成立問題，只需要求出f（x）min即可.

例1已知函數f（x），若對于任意的x∈［2，+∞）都有f（x）＞0，試求參數a的取值范圍.

分析：題干中給出了函數f（x）的解析式，求當f（x）＞0時參數a的取值范圍，實際上構建的是不等式問題，其中不等式中含有兩個變量，即a和x，并對x的范圍進行了設定，求另一變量a的取值范圍，可以采用參數分離的方法，分別將a和x置于不等號的兩側，通過求最值來確定參數的取值范圍.

解：根據題意可知，對于在x∈［2，+∞）上恒成立，進一步變形有a＞-x2+3x在x∈［2，+∞）上恒成立.可設h（x）=-x2+3x，則只需求出h（x）的最大值即可，即，則當x=2時，h（x）取得最大值，且最大值為2，則a＞h（x）max=2.所以參數a的取值范圍為（2，+∞）.

評析與總結：參數分離后的一側應為函數原式，需要對其取值范圍加以討論，進而確定其最值，而求解函數的最值也是一個難點，必要時可以引入導函數，通過求導的方式來加以確定.另外，還需要掌握一些不等式問題中常見的變量分離情形，例如：①f（x）≥h（k）恒成立?f（x）min≥h（k）；②f（x）＞h（k）恒成立?h（k）＜f（x）min.

二、構造視角——構造函數，借用性質

在求解不等式、方程等參數范圍問題時，利用分離參數有時會存在一定的困難，而且無法分離出獨立的函數，此時就可以考慮采用構造函數的方法，在不等式問題中構造出新的函數，利用函數分析的方式來討論參數的取值范圍.

例2若不等式對于任何大于1的自然數n均成立，試求參數a的取值范圍.

分析：題干中給出了對應的不等式，且表明不等式成立的情形，求其中參數a的取值范圍，考慮到不等式較為特殊，可以考慮在其中構造對應的函數，研究函數的單調性，通過求新函數的取值來確定參數a的取值范圍.

解：設f（n）=2），分析可知f（n+1）-f（n）＞0，則函數f（n）是關于n（n∈N，n≥2）的單調遞增函數因此要確保不等式始終成立，只需要保證即可，從而可解得，即參數a的取值范圍為.

評析與總結：在上述求不等式中參數的取值范圍時，所采用的是構造函數的方法，并基于函數的性質來分析參數的取值范圍.而研究函數的取值范圍需要考慮兩點：一是函數的定義域，二是函數的單調性.前者是函數取值合理性的保證，后者則是利用函數變化規律來推導取值的關鍵.

三、數形視角——分離函數，圖像分析

相對而言，不等式參數求值問題較為抽象，計算過程較為煩瑣，如果不能準確分析不等式的特征，則很容易造成解題停滯，而數形結合是解決該類問題較為有效的策略.利用數形結合方法來求解不等式參數問題時，可以基于題干中的不等式分離出相應的函數，然后繪制出相應的函數圖像，通過幾何意義轉化及圖像分析的方式來直觀求解.

例3已知不等式關于x∈［-4，0］恒成立，試求參數a的取值范圍.

分析：題干中給出了不等式恒成立的情形，并求解相應參數的取值范圍，由于不等式涉及根號，若采用參數分離的方式則計算過程較為煩瑣，因此可以考慮采用數形結合的方式，以不等號為分割點，分別在兩側構建相應的函數，則問題轉化為比較兩函數值域的大小問題，然后分別繪制出兩函數的圖像，通過分析圖像的特征來求參數的取值范圍.

圖1

解：分別設，對函數y1進行變形，可得（x+2）2+y12=4（y1≥0），則其圖像是以（-2，0）為圓心，2為半徑的上半圓，而函數y2為單調遞增的直線.將兩圖像繪制在同一直角坐標系中，如圖1所示，若要使不等式成立，則需要滿足y1＜y2在區間x∈［-4，0］上恒成立，其幾何意義就為在對應區間上函數y1的圖像均位于y2的下方.結合圖像分析可知，只要圓心（-2，0）到直線的距離大于2，且1-a＞0即可，即d=，解得a＜-5，所以參數a的取值范圍為（-∞，-5）.

評析與總結：數形結合求解參數取值實際上利用了不等式的幾何意義，同時也體現了函數、方程、不等式之間的緊密聯系.在進行不等式變形構建函數的過程中，除了需要考慮兩者自變量的有效性，還需要掌握一定的技巧，如一般分離函數時需要確保其中之一為已知的簡單函數，這樣才更容易討論參數的取值范圍.

四、變換視角——主元變換，提煉構式

在求解不等式問題中的參數取值時，一般其中含有兩個變量，在解題時我們習慣上將其中的x視為主元，而將另一變量a視為參數，如若按照常規的思路進行變形分析，則過程較為煩瑣復雜，因此可以考慮采用變換主元的策略，將參數a視為主元，而將x視為要求取值范圍的參數.

例4若實數p滿足|p|≤2，試求不等式x2+px+1＞2x+p恒成立時x的取值范圍.

分析：在上述不等式中出現了兩個變量x和p，解題時需要將其中的一個變量視為主元，將另一個變量視為是已知的常數.如若將x視為主元，但由于其取值未知，而p的取值范圍在題目中已經進行了限定，則用常規方法求解則存在一定的困難，因此可以考慮將p視為主元，則問題轉化為分析定義域［-2，2］上關于p的函數恒成立問題.

解：對不等式進行變形，則有（x-1）p+x2-2x+1＞0.設f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，則需要使f（p）在［-2，2］上始終大于0，分析可知函數f（p）為單調函數，則需要滿足從而可解得綜上可知，x＜-1或x＞3.所以x的取值范圍為（-∞，-1）∪（3，+∞）.

評析與總結：從上述的變換主元可知，主元變換前后并不會改變不等式的性質，只是問題分析過程中一種思維變換的方法.同時該種方法同樣是建立在函數思想之上的，需要充分利用函數性質和圖像特征等知識.一般適用變換主元法求解參數取值的問題具有以下特點：一是含有兩個及兩個以上的變量，二是其中一個變量具有明確的取值范圍.

總之，雖然參數取值范圍問題受題干不等式、題設條件、構建方式的影響題型較為多樣，但實際上其求解方法也較為固定，上述所探究的只是其中幾種常見的解題視角和方法，在實際解題時需要全方位、多視角地對問題進行審視，從而靈活地選取方法，以求高效求解.而在實際教學中需要教師多加引導并拓展學生的解題思維，提升學生的解題能力.