三角求值方法多，等價(jià)變換最關(guān)鍵
——2019年全國(guó)卷Ⅱ三角求值題

☉江蘇省張家港市樂(lè)余高級(jí)中學(xué) 王慶龍

三角函數(shù)的求值問(wèn)題一直是高考中三角函數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)題型之一，而三角恒等變換是三角求值中的關(guān)鍵所在.由于三角函數(shù)公式繁多，關(guān)系又錯(cuò)綜復(fù)雜，解題時(shí)既有多種公式可供選擇，又容易陷入公式無(wú)從選擇的困境.三角函數(shù)的求值問(wèn)題在解法上具有多樣性，解題切入口也不唯一，對(duì)運(yùn)算能力要求比較高，是考查綜合能力的良好載體，也是很好地考查學(xué)生思維的靈活性、多樣性、拓展性的場(chǎng)所.

一、真題在線

【高考真題】（2019·全國(guó)卷Ⅱ理科·10；文科·11）已知，則sinα=（ ）.

本題短小精悍，條件簡(jiǎn)單，難度中等，可利用的三角函數(shù)公式眾多，切入點(diǎn)多樣.根據(jù)題目中二倍角與單倍角的關(guān)系，可以借助三角恒等變換加以轉(zhuǎn)化，當(dāng)中可以利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及相關(guān)的公式來(lái)處理；也可以借助三角函數(shù)定義，利用參數(shù)x，y，r的代數(shù)運(yùn)算來(lái)處理；還也可以直接通過(guò)選項(xiàng)中的結(jié)果來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證處理，從而達(dá)到求解目的.

二、一題多解

破解視角1.三角恒等變換法

解法1：（平方關(guān)系轉(zhuǎn)化法1）由題中關(guān)系式2sin2α=cos2α+1，可得cos2α=2sin2α-1.

利用二倍角公式可得cos2α=2cos2α-1，則有2sin2α-1=2cos2α-1，即sin2α=cos2α.

而sin2α=2sinαcosα=cos2α，結(jié)合，可得2sinα=cosα.

將cosα=2sinα代入平方關(guān)系sin2α+cos2α=1，可得

故選擇答案：B.

解法2：（平方關(guān)系轉(zhuǎn)化法2）由題中關(guān)系式2sin2α=cos2α+1，可得

代入平方關(guān)系sin22α+cos22α=1，可得cos22α=1，整理可得5cos22α+2cos2α-3=0，解得或cos2α=-1.

故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：利用平方關(guān)系或平方運(yùn)算、萬(wàn)能公式等方法來(lái)處理，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與二倍角公式的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，都充分體現(xiàn)了方程思想及三角恒等變換思維.這也是解決此類問(wèn)題的常見(jiàn)思維，通技通法.

破解視角2.三角函數(shù)定義法

解法3：（三角函數(shù)定義法）由于，在角α的終邊上取一定點(diǎn)P（x，y）（x＞0，y＞0）

由題中關(guān)系式2sin2α=cos2α+1，可得4sinαcosα=2cos2α，即2sinαcosα=cos2α.

故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)三角函數(shù)的定義的導(dǎo)引，把相應(yīng)的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的定義中有關(guān)參數(shù)x，y，r的關(guān)系式，利用關(guān)于x，y，r的代數(shù)運(yùn)算，并結(jié)合方程的思想來(lái)處理與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求解相應(yīng)的三角函數(shù)值.這是解決此類問(wèn)題的特殊思維，回歸定義.

破解視角3.驗(yàn)證法

解法4：（代入驗(yàn)證法）已知

故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：驗(yàn)證思維是破解選擇題比較常見(jiàn)的一類思維方式，借助各對(duì)應(yīng)選項(xiàng)中的結(jié)果，逆向思維，將對(duì)應(yīng)的結(jié)果代入題目條件，逆向運(yùn)算，產(chǎn)生與條件或已知結(jié)論矛盾的情況就是錯(cuò)誤的選項(xiàng).驗(yàn)證法有時(shí)也是破解問(wèn)題的一大“殺技”.

三、變式探究

探究：保持原題條件，改變所要求解的三角函數(shù)名稱，從最簡(jiǎn)單的層面加以變形與拓展，難度相當(dāng).

【變式1】已知，則cosα=（ ）.

解析：由題中關(guān)系式2sin2α=cos2α+1，可得cos2α=2sin2α-1.

利用二倍角公式可得cos2α=2cos2α-1，則有2sin2α-1=2cos2α-1，即sin2α=cos2α.

而sin2α=2sinαcosα=cos2α，結(jié)合，可得2sinα=cosα.

故選擇答案：D.

【變式2】已知，2sin2α=cos2α+1，則tanα=（ ）.

解析：由題中關(guān)系式2sin2α=cos2α+1，可得cos2α=2sin2α-1.

利用二倍角公式可得cos2α=2cos2α-1，則有2sin2α-1=2cos2α-1，即sin2α=cos2α.

而sin2α=2sinαcosα=cos2α，結(jié)合，可得2sinα=cosα，所以

故選擇答案：B.

四、解后反思

充分挖掘課本知識(shí)，拉近課本與高考之間的距離，架起兩者之間對(duì)應(yīng)的橋梁，是平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的一個(gè)關(guān)鍵所在.進(jìn)而有意識(shí)地針對(duì)一些典型高考真題，就某一層面的知識(shí)體系加以一題多解、一題多變剖析，從課本基本知識(shí)與基本方法入手，從多個(gè)角度切入，到多個(gè)思維破解，真正達(dá)到橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.