橫看成嶺側成峰，多種思維離心率
——2019年全國卷Ⅰ理第16題

☉浙江省寧海縣知恩中學 何起紅

求解離心率是圓錐曲線中最常見的一種題型，一直是高考的熱點問題之一，也是歷年數學高考、競賽中比較常見的一類問題.此類問題往往小巧玲瓏，常考常新，變化較大.解決圓錐曲線的離心率的關鍵是尋找橢圓或雙曲線中參數a、c所滿足的關系式，根據題設條件可靈活運用圓錐曲線的定義與幾何性質、解三角形知識、直線的方程、直線的斜率、平面幾何的性質等進行綜合分析與處理，從而得以解決離心率的求值及取值范圍等與離心率有關的問題.

一、真題在線

例（2019·全國卷Ⅰ理·16）已知雙曲線1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，過F1的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點.若，則C的離心率為______.

二、多解思維

思維角度1.解析幾何角度

利用解析幾何知識，通過點的坐標、直線的方程、直線的交點及直線的位置關系等建立關系式來破解.

方法1：（交點坐標法）由題可知雙曲線C的漸近線方程為

結合A是F1B的中點，可得，整理可得c4-5a2c2+4a4=0，即e4-5e2+4=0，解得e=2（其中e=±1，e=-2舍去）.

故填答案：2.

方法2：（坐標法1）由題可知雙曲線C的漸近線方程為

結合直角三角形的性質可得|OB|=|OF1|=c.

故填答案：2.

方法3：（坐標法2）由題可知雙曲線C的漸近線方程為

結合直角三角形的性質可得|OB|=|OF1|=c.

而F1（-c，0），由F1B⊥OA，可得，則有b2=a（a+c）=c2-a2，整理可得c2-ac-2a2=0，即e2-e-2=0，解得e=2（其中e=-1舍去）.

故填答案：2.

思維角度2.平面幾何角度

利用平面幾何知識，通過直角三角形的性質、等邊三角形的性質、等面積法思維等建立關系式來破解.

方法4：（等邊三角形法）由題可知雙曲線C的漸近線方程為

所以∠F1OA=∠F1F2B.

結合漸近線的對稱性∠F1OA=∠BOF2，則有∠F1F2B=∠BOF2.

結合直角三角形的性質可知|OB|=|OF2|.

利用∠F1F2B=∠BOF2與|OB|=|OF2|，可知△BOF2為等邊三角形，則∠BOF2=60°.

故填答案：2.

方法5：（等面積法）由題可知雙曲線C的漸近線方程為

而|OF1|=c，可得|OA|=a，因此有|AB|=|F1A|=b，|F2B|=2|OA|=2a，|F1B|=2b.

結合直角三角形的性質可得|OB|=|OF1|=c.

設點B到x軸的距離為h，利用等面積法有|F1B|·|F2B|=|F1F2|·h，可得

結合xB2+yB2=|OB|2，則有，整理可得4a2=c2，即

故填答案：2.

思維角度3.三角函數角度

利用三角函數知識，通過三角函數的定義、三角恒等變換公式及兩直線的夾角公式等建立關系式來破解.

方法6：（夾角公式法）由題可知雙曲線C的漸近線方程為

而|OF1|=c，可得|OA|=a，所以|AB|=|F1A|=b.

結合直角三角形的性質可得|OB|=|OF1|=c.

故填答案：2.

三、解后反思

在平時做題時，不能滿足于把題目解決出來就可以了，還應該盡量思考不同的解法，從不同角度加以切入，并比較不同方法之間的異同點，從而歸納出常見解法與優異解法.通過不斷追求一題多解，一題多思，對思維品質的追求與提升有很好的幫助，這比單純地追求數量的“刷題”顯得更為重要.