別讓“分數的基本性質”只成為一個概念

陳紅娟

在五年級的一次測驗中，一道依據分數的基本性質解方程的試題難住了90%以上的學生。題目明確要求“應用分數的基本性質求未知數x”，這分明是六年級的解比例知識，卻前置到五年級，似乎有點超前。可細細思量，如果將未知數x替換成具備相同提問功能的括號，讓學生再依據分數的基本性質填數，相信絕大部分學生都會做對。那為什么把括號換成x后，許多學生就無所適從了呢？究其原因是學生只知道運用分數的基本性質進行通分，將兩個分數的分子或者分母化為相同數，通過對照，算出括號里空缺的數，而不知道用未知數將空缺的分子或者分母表達出來，然后根據分數的基本性質求解x的值。這說明學生在應用分數的基本性質時，存在對分數的基本性質認識不清、應用死板及受解簡易方程的負遷移影響的問題。

一、對分數基本性質的認識不清

對于分數的基本性質，教材通過按照不同標準來劃分紙片的方法來表示等值的分數，借此揭示分數的基本性質。而學生對分數的基本性質常認識不清。

【例1】有三張大小相等的方形卡紙，均按照不同方式平分并涂色，請用分數表示涂色部分所占比例。

當學生填上數字后，多數教師都會設法勾起學生的好奇心和探究欲，問學生有什么意外發現，然后引導學生總結出“[12=24=48]”，最后師生共同研究這幾個分數的分子和分母的變化規律。

通過觀察分析，師生共同總結概括出分數的基本性質：分數的分子和分母同時擴大或縮小相同的倍數，分數值不變。從中不難發現，分數的基本性質主要側重于分子和分母發生特定變化后，分數值不變的規律，而學生在操作探究時，忽略了“涂色部分大小雖然可以用不同分數表示，但實際大小并未改變”的講解，沒有關注分數變化前后的變與不變。學生只知道，分子和分母同步擴大或縮小相同倍數，分數值就不變，或者說兩個分數的分子與分母存在這種同步變化的對應關系，那么它們之間就可以畫等號。而老師也沒有引導學生繼續推導：當兩個分數的值相等時，如果分子和分母其中有一個相等，那么另一個必相等。

二、對分數基本性質的應用死板

為什么學生運用分數的基本性質能輕松解答出填空題，而換成其他題型后卻失效呢？應該說，這是受課本例2的負遷移影響（例2展示了分數基本性質的應用方法）。在學生學習例2之前，教師一般會提問：“你能把一個分數的分母變動一下，但使分數值不變嗎？”

【例2】把[23]和[1024]兩個分數轉化為分母都是12的分數，要求分數值不變。

[23=2×（? ? ）3×4=（? ? ）12]? ?[1024=10÷（? ? ）24÷2=（? ? ）12]

對于例2，學生都能輕松解答。但當教師引領學生解析題目時，他們往往只會生硬地復述分數的基本性質，邊回憶性質邊推測答案。例如，學生在解答[1630=16+3230+x]時，多數會考慮到右邊分數的分子在原來16的基礎上增加了32，所得結果正好是原分數分子16的3倍，也就是加上32與擴大3倍等效，那么應用分數的基本性質，要使分數值不變，原分母也應該擴大3倍，變化后的分母應該是90，也就是[1630=4890]，而根據“分數值相等的兩分數，如果分子相等，那么分母一定也相等”這個推論，還原成填空題也就是[4890=4830+（? ? ）]，也就是說兩個分數的分母都應是90，然后用90-30就可以算出正確結果60。可是多數學生沒有進一步想到只要將式子“30+（[? ? ] ） =90”中的括號替換成字母x，就能列方程x+30=90。究其原因，學生應用分數的基本性質時，首先考慮的是分數值不變，而分數值指的是分子和分母的綜合效應。在平時訓練中，一般是告知一個完整分數作為參考值，只需補充另一個殘缺分數。解答此類習題時，學生往往無須列式演算，通過讀題就可以迅速猜想出結果。可是，當試題明確提出“應用分數基本性質解題”這一要求時，許多學生卻沒能及時將分數的基本性質與求解x聯系起來，也就是說，“分數值不變”這一性質沒有融會貫通到兩個分數的分子和分母分別相等的層面上，即先把等式中兩個分數的分子或分母化為相等，然后將含有未知成分的另一個元素的相等關系用方程來表示，并求出未知數x。

例如，求解[x+720=25]時，按題目要求應該這么解答：

解：[x+720=25]

[x+720=820]（右邊分數分子和分母同步擴大4倍）

[x]+7=8（相等的兩個分數，如果分母相等，那么分子也相等）

[x]+7-7=8-7（應用等式基本性質）

[x]=1

三、解簡易方程的負遷移影響

在五年級上冊，學生學到了解簡易方程的方法，并且大多學會了運用等式的基本性質或數量關系來解方程，一看到求x，學生就條件反射地想到解方程，但考慮到“依據分數的基本性質求未知數x的值”這一要求時又開始犯糊涂了。如對于“[1630=16+3230+x]”這道題，多數學生憑解方程的直覺認知，希望按照一般解簡易方程的常規方法求出未知數x，可是在這個等式中，未知數并不是一個運算式中明確的整體，而是一個分數的一部分，需要對等式進行等價變換后，才能提取出一個含有x的簡明運算式，這才是解決問題的關鍵。有幾名學生先應用分數與除法的概念關系，把兩個分數改寫成兩個除式，然后再根據數量關系解出x，即

解：[1630=16+3230+x]? [?]16[÷]30=48[÷]（30+x）[?]30+x=48[÷]（16[÷]30）[?]30+x=48[÷]16[×]30[?]30+x=90 [?]x=90-30[?]x=60

上述做法顯然不是根據分數的基本性質求解x，雖然解答時也存在等式x+ 30=90，但是，此時的等式x+30=90已不再是表示兩個分數的分母，30+x的身份已經變為算式48[÷]（30+x）中的除數，而90是48[÷]（16[÷]30）的計算結果，最后根據數量關系，解得x=60。

綜上所述，教師在教學中應引導學生把握好分數的基本性質，不要讓“分數的基本性質”只成為一個概念，要讓學生明白在根據分數的基本性質求解未知數x時，“分數值保持不變”是確定分子或分母相等的前提，保證等式兩邊兩個分數含未知數部分相等，是列出簡易方程的重要一步。只有牢牢抓住“分數值相等的兩個分數的分子或分母有一個相等，另一個也相等”這個推論，才能利用分子或分母相等建立含有未知數的方程，然后解方程。

（責編 黃春香）