數學建模視角下三角計算及應用問題的案例研究

馬秀偉

摘要：數學建模是將抽象簡化的數學模型應用于解決實際問題的一種解決問題的思維模式，也是一種解決實際問題的工具。本案例本著以學生為中心，以實例為基礎，以培養學科素養為目標的教學理念，將數學建模的思想融入于三角計算解決實際應用題。案例研究體會數學建模的全過程，強化數學建模的應用，借助適當的信息化手段，集中精力進行數學建模思維的訓練，既減輕了學習三角計算應用的負擔，又提升了建模的魅力，將數學理論與實際進行了有機的結合，為數學理論知識指導實踐找到了有效的路徑。

關鍵詞：數學建模;三角計算;案例

一、引言

數學建模概括的說就是對現實問題進行簡化抽象為數學模型，人們通過對問題的深入研究、了解問題的具體信息、對問題做出客觀的簡化假設、分析問題的內在規律，用數學的符號和語言建立數學模型，對實際問題做出表述，從而達到對實際問題進行定量地分析和研究的目的。

三角計算在數學教學中具有十分重要的地位，是數學學科與諸多工科專業學習內容的基礎，其內容具有如下幾個特點：第一，涵蓋內容較繁雜，包括兩角和與差的余弦公式與正弦公式、二倍角公式、正弦型函數、正弦定理和余弦定理等概念;第二，三角計算知識是電類、機類、建筑類等學習的必備知識，具有較強的應用價值。其在教學中要本著“以服務為宗旨，以就業為導向”的教學理念進行教學設計，要跳出數學的基礎學科體系，盡量本著密切結合生產實際、解決實際案例問題的思想進行教學。

二、三角計算及應用問題的數學建模案例

受眾學生為機電技術應用專業中職二年級學生，傳統數學對于他們而言顯得枯燥無味，但專業學習中經常遇見數學問題，需要貼近專業的數學。本著通過教學讓學生掌握錐角與錐度的數學概念及運算、掌握板材下料的計算，能夠應用數學建模的方法解決機械加工中的典型案例，同時有助于強化學生應用數學視角解決現實問題的意識、培養創新精神的目的，對數學建模進行簡化為五個環節，將數學模型與機械加工問題有機融合，為三角計算應用注入活力。

（一）案例一軸承錐角計算

聚焦問題（模型準備）：學生觀看視頻，了解軸承應用領域;從卡車車輪圓錐軸承入手，通過三維交互動畫，剖析結構，將實物轉化成截面圖形;下發“學案”介紹數學建模的方法及“六步”的含義，根據數學建模理念進行解決實際應用題。

合理假設（模型假設）：設定軸承截面圖為軸截面。

合理假設（模型建立）：此環節借助三維交互動畫，呈現三角模型建立過程，明確錐度、錐角、圓錐臺上、下端直徑及高的含義，破解學生難以將實物抽象成數學模型、確定數學參數能力不足的教學難點。

推演公式（模型求解）：

（1）建立圓錐臺圓錐角的平面幾何關系圖，給出相關參數的概念：圓錐臺上底圓的直徑為D、下底圓的直徑為d、高為L;

（2）進行模型求解：推導出圓錐臺的錐度定義式，找出圓錐臺圓錐角與D、d、L之間的關系，建立關系式。

錐度是指圓錐的底面直徑與錐體高度之比，常用字母C表示。如果是圓錐臺，則為上、下兩底圓的直徑差與圓臺高度之比值。

在角 所在的直角三角形中，得出關系式

理性回歸（模型分析）：組織學生梳理關系式，剖析參數由來及相互關系，應用CAD Models展示參數變化對軸承的影響，通過推演公式、理性回歸兩步，完成教學重點的學習。

案例應用（模型檢驗）：完成學案中軸承外圈計算，依據結果應用3D打印技術，打印出圓錐軸承外圈模型，與內圈進行匹配，體驗原型檢驗，完成驗證題目。

（二）案例三板材下料問題

聚焦問題（模型準備）：展示動畫“板材下料”，了解鐵板焊接的下料方法;下發“學案”，讓學生依據數學建模步驟解決實際問題。

合理假設（模型假設）：兩塊寬度不同的鐵板，要對接焊接成固定角。

合理假設（模型建立）：完成“兩塊寬分別為a、b的鐵板，對接焊接成θ角，如何下料”的平面幾何圖。

推演公式（模型求解）：在Rt△ABD和Rt△ACB中，設AB的長為m，則

理性回歸（模型分析）：當焊接角度一定的情況下，假設兩塊板材的寬度

a〉b，那么

（1）板材寬度值越大切割后對接的角度越大，反之越小;

（2）當兩塊板材的寬度越接近相等，對接角度越接近。

案例應用（模型檢驗）：

將模型分析結果與實際情形進行比較，通過實際應用題目來驗證模型的合理性、準確性及適用性。

三、結束語

將數學建模的思想融入到三角計算解決實際應用題中，不僅幫助學生化解了單純學習三角計算知識的枯燥無趣、培養了學生學習的興趣;同時也破解了學生運用三角知識解決實際問題的難點，較好的掌握了靈活運用三角計算解決應用題的思維方法。學生通過積極參與數學模型的準備、假設、建立、求解、分析、檢驗六個步驟的思維過程，強化學生數學建模思想、培養學生形成數學智慧;數學建模這一工具的應用培養了學生概括抽象問題的綜合能力，處理不同問題的應變能力，提升了解決實際問題的自信心。

參考文獻：

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