重視定義提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）30-0110-02

2018年全國Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)第19題是：設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F，過F且斜率為k（k>0）的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=8。（1）求直線l的方程;（2）求過A、B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程。

解析幾何題從20題的位置調(diào)到19題的位置，難度降了，但從學(xué)生高考得分情況看，這道題得分率卻沒有想象的高，究其原因，這道題所考查的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象及邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)全面，新穎別致，且內(nèi)涵豐富，是一道獨(dú)具匠心、難得的好題，對我們的教學(xué)和復(fù)習(xí)工作可以起到良好的導(dǎo)向作用，尤其是對學(xué)生全方位培養(yǎng)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透兩方面教學(xué)上的實(shí)踐，會(huì)讓師生都有所收獲，值得認(rèn)真的研究和探討。

一、習(xí)題背景

這道題的第1問源自選修2-1第2章第4節(jié)“拋物線”一節(jié)2.4.2例4，是例4的逆命題。作者出題的意圖是為了鞏固、加深理解拋物線定義的作用，即點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生體會(huì)弦長公式的一類化簡問題，即求過焦點(diǎn)的弦長問題。

這道題第2問源自必修2第4章“圓與方程”章末復(fù)習(xí)參考題B組第1題。兩個(gè)問題都可以從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度深入思考求曲線方程問題，是從通性通法上考查了求曲線方程的待定系數(shù)法的步驟，如何列出簡便易于計(jì)算的方程是求解的關(guān)鍵。

二、教學(xué)實(shí)踐

這道題考查了求曲線方程問題，將直線、圓、圓錐曲線巧妙的融合在一起，檢測了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，通過重新組合與有機(jī)滲透，體現(xiàn)了高考題源于教材的基礎(chǔ)上適度創(chuàng)新、穩(wěn)中求變的特點(diǎn)。教學(xué)設(shè)計(jì)中主體在引導(dǎo)學(xué)生勤于思考，增加學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)上面，用學(xué)生的想法指導(dǎo)學(xué)生，幫助學(xué)生選擇方法，在強(qiáng)化每一種方法需要注意的細(xì)節(jié)上下功夫，在體現(xiàn)“四基”、“四能”夯實(shí)基礎(chǔ)上下功夫，體現(xiàn)了面向全體同學(xué)，追求最優(yōu)化目標(biāo)的理念。

教學(xué)過程：

首先師生共同看題，師生一同朗讀，共同分析。

教師：看到y(tǒng)2=4x能想到什么？

同學(xué)們會(huì)想到拋物線的幾何量和圖形，由步驟，準(zhǔn)確畫出圖形。

教師引導(dǎo)學(xué)生共同來解決第1個(gè)問題。第1個(gè)問題要求直線的方程，所求直線經(jīng)過焦點(diǎn)F，交拋物線得|AB|=8，同學(xué)們思考用什么形式的方程來表示直線？在這里未知數(shù)是斜率k，我們怎么求出這個(gè)未知數(shù)？我們可以想到要找到未知數(shù)k的等量關(guān)系。

教師追問：題目中有這個(gè)等式嗎？同學(xué)們會(huì)想到|AB|=8，怎么用這個(gè)長度列出未知數(shù)k的等式？

有的說：|AB|=|AF|+|BF|，教師追問：為什么這么想？

同學(xué)回答：因?yàn)橐阎獟佄锞€的定義，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）（學(xué)生回答，教師板書）

∴x1+x2=6，再由待定系數(shù)法，聯(lián)立直線和拋物線方程，求出直線方程。

這個(gè)過程中教師引導(dǎo)學(xué)生注意兩個(gè)問題：一是k>0這個(gè)條件，如果審題不細(xì)，沒有關(guān)注到這個(gè)條件，學(xué)生會(huì)得出l的兩個(gè)方程，產(chǎn)生增根。另外這也是使用韋達(dá)定理之前必須要有的推理過程，只有先確定聯(lián)立后關(guān)于x的方程的類型，即確定二次項(xiàng)系數(shù)不為0，然后通過判別式判斷方程有兩實(shí)根，最后才能用韋達(dá)定理，即便是這道題之前同學(xué)們推導(dǎo)過拋物線內(nèi)一點(diǎn)與對稱軸不平行且不重合的直線一定交于兩點(diǎn)，在這里△>0這一推理過程也不能省略，可以略去求判別式的具體表達(dá)式的步驟。二是求k的式子不同，有的直接化成整式;也有可能先通分后，再化成整式;還有的會(huì)使用換元后，再計(jì)算。通過對照，同學(xué)們能體會(huì)到，這都是要達(dá)到簡化運(yùn)算的目的，提高了學(xué)生在運(yùn)算中化簡的意識。

為了達(dá)到鞏固和加深理解應(yīng)用定義的意識，教師與同學(xué)們分享其他同學(xué)的列式想法。

有的用兩點(diǎn)間距離公式表示弦長。

教師肯定同學(xué)的做法：這是求弦長最基本的想法，也是圓錐曲線求弦長最一般的方法。教師指出“在表示弦長的時(shí)候這種想法可以用最后兩個(gè)表達(dá)式之一表示就可以，用兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)的過程可以省略”。教師引導(dǎo)學(xué)生分析這兩種列式的異同，同學(xué)們會(huì)想到：這兩種想法都能列式求出斜率k的值，不過使用弦長的一般公式要求出韋達(dá)定理的兩個(gè)式子，還有開方和平方運(yùn)算;板書的想法只需求出韋達(dá)定理的一個(gè)表達(dá)式就可以了，運(yùn)算量減小了。教師指出同學(xué)們要注意使用弦長公式時(shí)要看已知條件。“只有題中已知弦所在的直線經(jīng)過焦點(diǎn)時(shí)，才能用這種化簡的弦長公式列式，如果已知弦所在的直線不過焦點(diǎn)，就必須用一般的弦長公式進(jìn)行列式”。

思路快的會(huì)提出用直線的傾斜角來表示AB長，教師先肯定這種解法求解快，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)同學(xué)們求解時(shí)不同的處理辦法進(jìn)行比較。

經(jīng)過比較，同學(xué)們看出第一種做法中，由角的正弦值求角，缺少限制條件，會(huì)失分，第二種方法不需要考慮限制條件的影響，同學(xué)們體會(huì)到在運(yùn)算中需要提高整體代入設(shè)而不求的意識，避免增加運(yùn)算步驟，沒有考慮限制條件而失分。

在這里老師強(qiáng)調(diào)：一是這種方法建議同學(xué)們在選擇填空題中使用。二是請同學(xué)們課后思考，如果已知拋物線焦點(diǎn)在y軸上，那么經(jīng)過焦點(diǎn)的弦長公式變形式會(huì)是什么樣的？希望同學(xué)們在推導(dǎo)公式的過程中，加深理解和記憶。

針對這一過程，同學(xué)們會(huì)提出，這里的四邊形AA1B1B一定是直角梯形嗎？不能是矩形嗎？通過討論，同學(xué)們確定所求的四邊形AA1B1B一定是直角梯形。教師指出：在研究與拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)弦長問題時(shí)幾何法是經(jīng)常用到的方法。同學(xué)們意識到在用幾何法研究問題時(shí)應(yīng)培養(yǎng)自己有先定位、定形、再定量計(jì)算的良好思維習(xí)慣。

教師導(dǎo)課：第一問我們求的是直線方程，只需求一個(gè)未知數(shù)k，列方程解出來，這個(gè)過程稱作待定系數(shù)法;第二問我們要求圓的方程，也要用待定系數(shù)法，這里需要待定的系數(shù)是圓心坐標(biāo)和半徑3個(gè)未知數(shù)，需要尋求3個(gè)方程，如何列出簡便利與運(yùn)算的方程是求解的關(guān)鍵。

比較中，同學(xué)們意識到，無論哪一種方法，最后都能解決問題。同學(xué)們明白一個(gè)道理：很多時(shí)候，同學(xué)們思考得多，對題深入理解，對圓錐曲線定義的深入理解，反應(yīng)在計(jì)算上，算的就會(huì)少;如果想得少，那相對來說就要多算了。

三、教學(xué)啟示

1.關(guān)注知識間的相互聯(lián)系。初中我們學(xué)了函數(shù)的定義，研究了基本函數(shù)，到高中又一般的定義了函數(shù)，曲線一章的學(xué)習(xí)是函數(shù)知識的推廣和加深，探討研究一般曲線的過程，讓學(xué)生體會(huì)用代數(shù)的方法研究幾何問題，檢測學(xué)生的運(yùn)算能力。

2.關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查。習(xí)題教學(xué)中應(yīng)注重條件分析和需求結(jié)論的探究，恰當(dāng)?shù)慕＃瑖?yán)謹(jǐn)?shù)耐评恚瑥臄?shù)和形方面深入思考所求問題，恰當(dāng)?shù)姆诸愑懻摚梢葬槍Σ煌闆r，各個(gè)擊破，分而解決，全面思考問題，既能化難為易，又使條理清晰。要在全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)上下功夫，通過典型例題，多角度思考，多方位討論，去梳理基礎(chǔ)知識，訓(xùn)練思想方法，強(qiáng)化解題技能，這是幫助同學(xué)們?nèi)嫣岣邤?shù)學(xué)素質(zhì)的有效途徑，應(yīng)該引起我們足夠重視。

3.關(guān)注“四基”、“四能”夯實(shí)基礎(chǔ)。高考題涉及的知識點(diǎn)十分豐富，有直線、圓、拋物線的定義及其位置關(guān)系等，只有熟練的把握住上述各個(gè)知識點(diǎn)，解答本題才能有章可循、得心應(yīng)手。教學(xué)中設(shè)計(jì)有效問題情境，引導(dǎo)學(xué)生勤于思考，增加學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題的過程中用學(xué)生的想法指導(dǎo)學(xué)生，幫助學(xué)生選擇方法，在每一種方法需要解決的問題上下功夫，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維發(fā)展的廣闊性，提倡批判性和創(chuàng)新性。

作者簡介：

袁英（1972-），女，河北撫寧人，牡丹江市第一高級中學(xué)教師，本科，理學(xué)學(xué)士，中學(xué)高級職稱，市名優(yōu)工程“研究型教師”，市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究。