構造法在高考數學解題中的應用

　　摘要： 構造法是一種富有創造性的數學思想方法，它是通過構造數學問題沒有的中介工具——數學模型、對應關系或存在實例，解決用常規方法不易解決的數學問題。研究構造法在高考中的應用，對于指導教學，提高學生的解題能力和優化學生的思維品質有重要意義。作者提供了豐富翔實的用構造法解高考數學試題的例證，借此詮釋用構造法解題的中介工具有哪些，以及怎樣構造，構造法解題的優越性和應用的廣泛性，提高構造法解題能力的措施和現實意義.
　　關鍵詞： 構造法 高考數學試題 解題應用
　　
　　解題通常是由問題的題設推出結論，但有些問題（例如存在性問題，條件與結論相距較遠的問題等），直接推理有時不能順利進行，此時不得不尋找某種中介工具來溝通條件與結論的聯系.解題的中介工具往往隱含在問題之中，需要解題者發現和構造.這種構造問題本身沒有的中介工具——數學模型、對應關系或存在實例，去實現解題的方法就是構造法.構造法是一種較高層次的化歸方法，是一種富有創造性和具有活力的數學思想方法.在近幾年的高考試題中，有不少考題用常規方法不易解決，需要考生構造恰當的中介工具來解決這些非常規問題.研究構造法在高考解題中的應用，對于提高學生的解題能力，培養學生的創新意識和創造性思維能力有重要意義.我對構造法在高考數學解題中的應用做了初步研究，在此與各位同行商榷.
　　一、構造數學模型——溝通條件與結論的聯系
　　1.構造函數
　　構造函數法就是根據對問題中數量關系的分析，構造一個或幾個函數，再利用所構造的函數解決問題的方法.函數溝通了常量數學與變量數學間的關系，可解決方程、不等式、數列、三角等常量數學中的問題.
　　例1.（2009江西文，15）若不等式≤k（x+1）的解集為區間［a，b］，且b-a=1，則k=?搖?搖?搖?搖?搖.
　　解：設y=，y=k（x+1）.由數形結合，半圓y=在直線y=k（x+1）之下時，x∈（1，2），則直線y=k（x+1）過點（1，），∴.
　　本題考查求參數的值，由于所給不等式是無理不等式，局限在不等式的范疇不易求解，鑒于此，構造函數并利用直觀的函數圖像表示抽象的數量關系而獲解.考生應重視培養數形結合的思想意識，熟練做到“以數表形，以形助數”，借此開拓思維，激發解題的靈感.
　　2.構造方程
　　根據問題條件中的數量關系和結論特征，構造出一個新的方程或方程組，然后根據方程的理論使問題在新的關系結構下獲解，這種解法就是構造方程法.方程思想滲透于整個中學數學體系中，方程知識應用在證明等式和不等式，求參數的取值范圍，代數中的待定系數法、解析幾何中的曲線方程、參數方程、交軌法等方面.構造方程解題依賴于對問題的整體性認識和把握，關鍵是挖掘出構造方程的隱含條件.
　　例2.（2011浙江理，16）設x，y為實數，若4x+y+xy=1，則2x+y的最大值是?搖?搖?搖?搖?搖.
　　解：已知等式可變形為（2x+y）-3xy=1，令2x+y=t，則2xy=（t-1）.由韋達定理知2x、y為一元二次方程z-tz+（t-1）=0的兩根.又2x、y為實數，∴△=（-t）-4××（t-1）≥0，即t≤，|t|≤.則2x+y的最大值是.
　　本題常規解法是利用不等式“a+b≥2ab”，變形技巧性強，解題過程繁雜.已知等式隱含著2x+y與2xy之間的數量關系，構造方程求解，思路清晰，過程流暢.真可謂“方法對頭，事半功倍”.構造一元二次方程還有利用判別式和方程解的定義.
　　3.構造坐標
　　解析幾何是數形結合的典范.坐標法是通過建立坐標系，把幾何問題化歸為代數問題，通過代數結論去獲得幾何結論.其實數形結合還可在相反方向上得到具體運用，即通過坐標系的建立，把代數問題化歸為幾何問題，如例3.
　　例3.（2008江蘇，13）滿足條件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面積的最大值是?搖?搖?搖?搖?搖.
　　解：取直線AB為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立直角坐標系，則A（-1，0），B（1，0）.設C（x，y），由AC=BC，得=?，整理得（x-3）+y=8（y≠0）.當C（3，2）時，△ABC的面積最大值為×2×2=2.
　　本題從表面上看是一道解三角形的問題.一般解法是利用三角形的面積公式S=bcsinA建立函數模型，利用函數的性質求解，此種解法對推理和運算的能力要求很高，解題步驟多，小題大做.而本題解法打破思維定勢的影響，另辟蹊徑，構造坐標法，獲得簡便解法.此種解法別開生面，充分體現了坐標法解題的優越性.
　　4.構造向量
　　向量既具有數的特性又具有形的特征，既可進行幾何運算又可進行代數運算，這種特點使得向量具有廣泛的應用.向量可解決平行、垂直、角、距離等問題.向量是溝通幾何、代數、三角等內容的橋梁.
　　例4.（2008全國Ⅰ理，10）若直線+=1通過點M（cosα，sinα），則（?搖?搖）.
　　A.a+b≤1 B.a+b≥1 C.+≤1D.+≥1
　　解：設向量=（cosα，sinα），向量=（，）.由題意知+=1.由?≤||||，可得1=+≤.∴+≥1.選D.
　　本題是一道解幾問題，條件與結論難以直接溝通.通過構造向量架起條件與結論之間的橋梁，利用向量的性質解題.構造向量解題的要點是運用向量知識把所給問題轉化為代數問題.
　　5.構造圖形
　　如果問題給出的幾何圖形不便于解題，代數問題的條件或結論中的數量關系有明顯的幾何意義或以某種形式可與幾何圖形建立聯系，則可考慮構造幾何圖形，將題設條件與結論直接在圖形中得到實現，在構造的圖形中尋求原問題的結論，這種解題方法就是構造圖形法.
　　例5.（2008福建，15）若三棱錐的三個側面兩兩垂直，且側棱長均為，則其外接球的表面積是?搖?搖?搖?搖?搖.
　　解：以已知三棱錐的三個側面為側面，可作一個棱長為的正方體，已知三棱錐的外接球即為正方體的外接球，設半徑為R，則（2R）=（）+（）+（），R=，表面積為4πR=9π.
　　例6.（2010江蘇，13）在銳角三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，+=6cosC，則+=?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖.
　　解：考慮已知條件和所求結論對于角A、B和邊a、b具有輪換性.
　　當A=B或a=b時滿足題意，可依次求出：cosC=，sinC=，tanC=2，tan=，tanA=tanB==，==4.
　　例7.（同例4）
　　解：過O作OH垂直已知直線于H，則OH≤OM.∴≤=1，∴≥1，+≥1.選D.
　　這三例都是構造幾何模型.例5采用補形法構造立幾模型例6采用特殊化法構造平幾模型.添加輔助線、割補、幾何變換、特殊化等是常用的構圖方法例7利用試題結論的幾何意義構造平幾模型，利用直觀的圖形表示不等關系.構造成功的關鍵是掌握某些表達式的幾何意義.
　　構造法所要構造的數學模型是指那些反映特定問題的數學對象及其關系結構的具體、直觀、典型的模式，除以上舉例說明的之外，還有實數、復數、式、變量、數列、不等式、集合、輔助命題等.構造模型是一種創造性思維，但離不開對題目結構特點的深刻認識.
　　二、構造對應關系——利用新的對應關系解題
　　這種方法是通過建立題設與結論之間的對應關系，利用對應關系的性質解題.在多數情況下是建立確定的函數關系式，然后利用函數的性質解題.
　　例8.（2008江蘇理，附加題）在平面直角坐標系xoy中，設P（x，y）是橢圓+y=1上的一個動點，求S=x+y的最大值.
　　
　　解：因橢圓的參數方程為x=cosφ，且y=sinφ（φ為參數），故可設動點P（cosφ，sinφ），其中0≤φ＜2，因此，S=x+y=cosφ+sinφ=2sin（φ+）.所以當φ=時，S=2.
　　例9.（2010江蘇，12）設x，y為實數，滿足3≤xy≤8，4≤≤9，則的最大值是?搖?搖?搖?搖?搖.
　　解：設xy=m，=n，解得x=mn，y=mn，∴=.又3≤m≤8，4≤n≤9，∴≤≤，16≤n≤81.∴2≤≤27，即2≤≤27，∴的最大值是27.
　　例8可利用二元函數的幾何意義構造直線，利用判別式解題.此題的解法是利用橢圓的參數方程把求二元函數的最值問題轉化為求三角函數的最值問題.
　　例9一般解法是對已知不等式首先取對數再用待定系數法，解法繁瑣；或者采用拼湊方法，但技巧性太強，這兩種解法都不理想.本題的解法是通過引入兩個參數，構造新的對應關系，解法簡單明了.
　　三、構造存在實例或反例——存在性問題的構造性解法
　　所謂存在性問題，是指結論中含有“存在”一詞的問題，是討論某一數學對象是否存在，或某一數學對象是否具有某種性質的問題.這種問題的表現形式有肯定型、否定型和討論型三類.存在性問題的解法有構造性和非構造性的兩種.
　　非構造的解法是利用反證法論證具有某種性質的數學對象存在，但不提供求解方法.構造性的解法則不同，不但需要指出數學對象存在的實例或提供怎樣求法，而且證明滿足題設條件.簡言之，就是“構造+證明”.特別指出，反證法在構造法中起著重要作用.
　　例10.（2010江西理，22）證明以下命題：
　　（1）對任一正整數a，都存在整數b，c（b　　（2）存在無窮多個互不相似的三角形△，其邊長a，b，c為正整數且a，b，c成等差數列.
　　證明：（1）考慮到結構特征，取特殊值1，5，7，易知成等差數列.只需取b=5a，c=7a，則a，（5a），（7a）也成等差數列，所以對一切正整數a均能成立.
　　（2）結合第一問的特征，將等差數列分解，通過一個可做多種結構分解的因式說明能構成三角形，再用反證法證明互不相似，且無窮.（證明略）
　　尋找存在實例常從簡單、特殊情況入手探索，這也是構造存在實例常用的方法.一些存在實例往往具有簡單、對稱、統一、和諧、奇異等數學美的特征，追求數學美是發現存在實例的重要手段；有些存在實例是通過經驗歸納和類比猜測獲得的，一些具有特殊性質的元素，往往是構造存在實例時要優先考慮的對象.
　　構造法是一種靈活性很強的數學解題方法，沒有統一的構造模式，在數學高考中有著廣泛的應用.使用構造法解題要求解題者具備扎實的基礎知識，敏銳的觀察能力，豐富的想象能力和嫻熟的轉化能力.構造法是一種創造性思維方法，要想提高自己使用構造法解題的能力，在數學學習中應學會積極開動腦筋，主動思考，互動交流，學會善于分析問題與解決問題，并在不斷地思考與交流中，經常對同一問題進行不同形式的構造，善于對問題進行靈活的構造和將實際問題抽象為數學模型.長期堅持訓練，對于鞏固基礎知識，培養解題能力，啟迪思維具有重要意義，同時我們的創新意識就能不斷增強，創新能力就能不斷提高，在高考考場上就能做到靈活應試，適時應用構造法快速解答相關考題，贏得寶貴的考試時間，為取得優異的高考成績奠定基礎.
　　
　　參考文獻：
　　［1］鄭毓信.數學方法論.南寧：廣西教育出版社，1991.
　　［2］陳傳理，張同君.競賽數學教程.北京：高等教育出版社，1996.
　　［3］肖柏榮，潘娉姣主編.數學思想方法及其教學示例.南京：江蘇教育出版社，2000.