高中數學函數奇偶性的多重分析

董紅

摘 要：函數是數學學科中極為重要的內容，也是高中數學考查的重心。高中階段函數的學習緊密圍繞其單調性、奇偶性和周期性展開。在這些內容中，奇偶性是近幾年高考的熱點。從高考試卷分析情況來看，考查點側重對函數奇偶性的判斷，利用圖象解決問題，利用奇偶性、周期性求函數值或參數值等是重點，也是難點。從題型上看，以填空為主，輔以應用類問題。從學生的學習和答題情況來看，很多學生對函數奇偶性的概念掌握不到位，在解題中容易因概念理解錯誤或理解不到位而影響整個解題過程。因此，本文主要對高中數學函數奇偶性多重分析，進而提出以下內容，希望能夠為同行業工作人員提供相應的參考價值。

關鍵詞：高中數學;函數;奇偶性;多重;分析

一、對函數奇偶性定義的理解

（一）奇函數與偶函數的定義

一是奇函數的定義：對于函數f（x）定義域中的任意x，都存在f（-x）=-f（x），那么我們稱該函數為奇函數;二是偶函數的定義：對于函數f（x）定義域中的任意x，都存在f（x）=f（-x），那么我們稱該函數為偶函數;三是不管f（x）是奇函數或是偶函數，我們都稱該函數具有奇偶性.

（二）對函數奇偶性的理解

一是任意性：具有奇偶性的函數，其奇偶性是對該函數f（x）定義域內的任意值而言的，所以，函數的奇偶性是該函數在其整個定義域上的性質，與函數在其定義域某一區間上的單調性是存在差別的;二是對稱性：對數學函數f（x）來講，如果其為奇函數，那么其圖像必然關于原點對稱，如果其為偶函數，那么其圖像則必然關于y軸對稱;同樣，對于函數f（x）來講，如果f（x）為奇函數或者偶函數，則必然存在著f（-x）=-f（x）或者f（x）=f（-x），那么其定義域也必然會關于原點對稱;同時，對于任意函數f（x），如果其圖像關于原點對稱，那么該函數為奇函數，如果其圖像關于y軸對稱，那么該函數為偶函數。但是，如果一個函數的定義域關于原點對稱，那么該函數卻不一定具有奇偶性;三是同值性：對于奇函數或偶函數來講，當其自變量x取相反數值時，其函數的絕對值是相等的。

二、關于函數奇偶性的判斷及其性質的探究

首先，在對函數的奇偶性進行判斷時，要抓住兩點：一是定義域關于原點對稱，這個是必要條件;二是要看f（x）與f（-x）之間是否存在等量關系，根據等量關系轉化為f（x）-f（-x）=0或f（x）+f（-x）=0，再對函數進行判斷。其次，關于函數奇偶性的性質需要注意以下幾點：

（1）奇函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同;偶函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反;

（2）若f（x）為偶函數，則f（-x）=f（x）=f（|x|）;

（3）若奇函數f（x）定義域中含有0，則必有f（0）=0，f（0）=0是f（x）為奇函數的既不充分也不必要條件;

（4）定義在關于原點對稱區間上的任意一個函數，都可以表示成“一個奇函數與一個偶函數的和（或差）”;

（5）復合函數的奇偶性特點是“內偶則偶，內奇同外”;

（6）既奇又偶的函數有無窮多個（如f（x）=0，定義域是關于原點對稱的任意一個數集）。

三、對高中數學函數奇偶性的多重分析

（一）利用奇偶函數的定義對奇偶函數的應用進行分析

例1已知函數f（x）在R上為奇函數，當x<0時，f（x）=-xlg（2-x），求f（x）在R上的解析式。

利用奇函數的定義：對于函數f（x）定義域中的任意X，都存在f（-x）=-f（x），那么我們稱該函數為奇函數，

可以得到：f（-x）=-f（x），f（0）=0.

當x>0時，-x<0，所以，f（-x）=xlg（2+x），

所以，-f（x）=xlg（2+x），f（x）=-xlg（2+x）（x>0），

所以，

即f（x）=-xlg（2+|x|）（x∈R）.

（二）利用奇偶函數圖像的對稱性對奇偶函數的應用進行分析

如果一個函數的圖像關于原點成中心對稱，那么這個函數一定是奇函數，如果一個函數的圖像關于y軸成軸對稱，那么這一個函數必然是偶函數.對奇函數來講，其圖像關于原點對稱;對偶函數來講，其圖像關于y軸對稱。同時，不管是對奇函數還是對偶函數，其定義域都關于原點對稱。

例2已知函數y=f（x）在（0，2）上是遞增函數，函數y=f（x+2）是偶函數，比較f（1），f? ，f? 的大小。

解：因為函數y=f（x+2）是偶函數，由偶函數的定義f（x）=f（-x）可以得到：f（x+2）=f（2-x），由偶函數的圖像對稱性可知，f（x）的圖像關于x=2對稱。

因為f（x）在（0，2）上是單調遞增函數，所以，f（x）在（2，4）上為單調遞減函數，f（1）=f（2-1）=f（2+1）=f（3），

所以_______________________。

四、結論

通過上述分析可知，函數對于數學的重要性毋庸置疑的，數學作為一門思維性、邏輯性較強的學科，運用不同的思考方式對同一個問題進行分析理解，可以獲得意想不到的效果。本文以高中數學函數的奇偶性為例進行了多方面的分析，并運用實例對其應用加以說明，在一定程度上增強同學們對函數奇偶性的理解與掌握，進一步促進大家共同進步。

參考文獻：

[1]劉飛.高中數學函數奇偶性教學及數學思想方法導入[J].華夏教師，2018（33）：46.

[2]陳柯彤.高中數學函數的單調性，奇偶性及周期性的研究[J].科學技術創新，2018（32）：40-41.