借力函數(shù)思想 巧解數(shù)列問題

■浙江省麗水中學(xué) 周杰華

數(shù)列是高考數(shù)學(xué)的核心知識(shí),經(jīng)常采用“一大一小”的形式考查數(shù)列的概念、基本方法和重要思想。在人教版必修5的課本中有這么一段話：“你能從函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列嗎? 數(shù)列實(shí)際上是定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。”一般地,等差、等比數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系如下圖所示。

下面談?wù)剰暮瘮?shù)的視角研究解決數(shù)列問題,如等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì),數(shù)列中的單調(diào)性、有界性與最值、數(shù)列不等式等。

一、運(yùn)用函數(shù)模型解題

例1已知等差數(shù)列｛an｝,SP=q,Sq=p(p≠q),求Sp+q。

解析：因?yàn)槭顷P(guān)于n的一次函數(shù),所以當(dāng)n∈N*時(shí),點(diǎn)共線。

化簡(jiǎn)得：

例2(1)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若{an},{}分別是公差為d,的等差數(shù)列,則an=_____；Sn=____。

(2)兩個(gè)等差數(shù)列{an},{bn}前n項(xiàng)和分別為An,Bn,滿足

解得a1=1,d=2。

所以an=2n-1,Sn=n2。

(2)由題意可設(shè)An=an(7n+2),則Bn=an(n+3)。

點(diǎn)評(píng)：借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)這一特點(diǎn)來研究等差數(shù)列有關(guān)項(xiàng)與和的問題,在解題過程中利用這一特點(diǎn)能使問題簡(jiǎn)單化。

二、運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解題

例3設(shè)函數(shù)f(x)=2x-cosx,{an}是公差為的等差數(shù)列,f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,則[f(a3)]2-a1a5=( )。

解析：因?yàn)閒(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,所以2(a1+a2+a3+a4+a5)-(cosa1+cosa2+cosa3+cosa4+cosa5)=5π。

構(gòu)造函數(shù)g(x)=2x-sinx,g(x)是在R 上單調(diào)遞增的奇函數(shù)。

又因?yàn)閧an}是公差為的等差數(shù)列,所以a3-=0,即a3=

故[f(a3)]2-a1a5=,選D。

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)和數(shù)列的綜合運(yùn)用,運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性是解題的關(guān)鍵。

三、函數(shù)思想的深度應(yīng)用

例4設(shè)a,b∈R,數(shù)列{an}中a1=a,,n∈N*,則( )。

A.當(dāng)b=時(shí),a10＞10

B.當(dāng)b=時(shí),a10＞10

C.當(dāng)b=-2時(shí),a10＞10

D.當(dāng)b=-4時(shí),a10＞10

解析：令f(x)=x2+b,an+1=f(an)。

選項(xiàng)B,當(dāng)b=時(shí),由x2+=x,得x=,即x=為函數(shù)f(x)=x2+b的不動(dòng)點(diǎn)。若a=,此時(shí)an=,a10＜10,不合題意。

選項(xiàng)C,當(dāng)b=-2時(shí),由x2-2=x,得x=2或-1,即x=2或-1為函數(shù)f(x)=x2+b的不動(dòng)點(diǎn)。若a=2,則an=2＜10不合題意。

選擇D,當(dāng)b=-4時(shí),由x2-4=x,得x=,即x=為函數(shù)f(x)=x2+b的不動(dòng)點(diǎn)。

若a=,則an=＜10,不合題意。

所以選A。

點(diǎn)評(píng)：本題給出了首項(xiàng)與遞推關(guān)系,既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列,因此無法從常規(guī)的基本量入手分析。像這類二次遞推數(shù)列,若能從函數(shù)圖像入手即從比較直觀的角度觀察數(shù)列的迭代變化,也就是我們常說的借助蛛網(wǎng)法研究數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)問題。

例5已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an},各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{bn},滿足：an+1=,n∈N*。

(1)證明：數(shù)列{an}是常數(shù)列；

解析：

又因?yàn)閧an}為等比數(shù)列,所以數(shù)列{an}是常數(shù)列。

(2)由(1)知{an}為常數(shù)列,不妨設(shè)an=a1=a＞0。

從(*)式可以看出,bn至多兩項(xiàng),正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}有界且不趨于0,所以數(shù)列{bn}的公比=1,a=。代入(*)式得+2=0,即(bn-)2=0,bn=。

所以數(shù)列{an}和{bn}都是各項(xiàng)為的等比數(shù)列,故

點(diǎn)評(píng)：本題以等比數(shù)列為背景,給出一個(gè)遞推關(guān)系,數(shù)列的基本量無法確定,因此需要改變角度,從式子的整體結(jié)構(gòu)出發(fā),結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)去求解。本題從函數(shù)的角度來看等比數(shù)列,即一正項(xiàng)等比數(shù)列若有界,則該等比數(shù)列必為常數(shù)列,另外也還體現(xiàn)了整體思想與方程的思想。