直擊解三角形的熱點題型

■河南省南樂縣第一高級中學 吉曉波

一、三角形中的求角或求邊問題

例1在平面四邊形ABCD中,∠ADC=90°,A=45°,AB=2,BD=5。(1)求cos∠ADB；(2)若DC=,求BC。

解：(1)在△ABD中,由正弦定理得。由題設知,,所以sin∠ADB=。由題設知,∠ADB＜90°,則cos∠ADB=。

(2)由題設及(1)知,cos ∠BDC=sin ∠ADB=。在△BCD中,由余弦定理得：

所以BC=5。

點評：正弦、余弦定理是解三角形強有力的工具,解題時要注意邊與角的互化。

二、求三角形的面積

例2在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c。已知c=2,C=

(1)若△ABC的面積等于,求a,b的值；

(2)若sinB=2sinA,求△ABC的面積。

解：(1)由余弦定理,得a2+b2-ab=4。又△ABC的面積等于,所以S=absinC=3,解得ab=4。聯立得方程組解得a=2,b=2。

(2)由余弦定理,得a2+b2-ab=4。由正弦定理,得b=2a。聯立得方程組解得所以△ABC的面積

點評：解答與三角形面積有關的問題時,如已知某一內角C的大小或三角函數值,就選擇S=來求面積,再利用正弦定理或余弦定理求出所需的邊或角。

三、與其他知識的交匯

例3已知f(x)=a·b,其中a=(2cosx,-sin 2x),b=(cosx,1),x∈R。

(1)求f(x)的單調遞增區間；

(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,f(A)=-1,a=,且向量m=(3,sinB)與n=(2,sinC)共線,求邊長b和c的值。

解：(1)由題意知,f?(x)=2cos2x-sin 2x=1+cos 2x-sin 2x=1+2cos（2x+）。令2kπ-π ≤2x+≤2kπ(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ-(k∈Z)。所以f(x)的單調遞增區間為[kπ-,kπ-](k∈Z)。

(2)由題意得f(A)=1+2cos（2A+）=-1,即cos（2A+）=-1。又＜2A+＜,所以2A+=π,即A=。又a=,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc=。又向量m=(3,sinB)與n=(2,sinC)共線,則2sinB=3sinC,由正弦定理得2b=3c。解得b=,c=1。

點評：解決這種問題的關鍵是利用向量的知識將條件“脫去向量外衣”,轉化為三角函數的相關知識進行求解。