正余弦定理 錯解得真知

■江蘇省鹽城市時楊中學 劉長柏

正弦、余弦定理及其應用問題綜合性強,解題有一定的技巧。同學們在解題時,往往看似嚴謹,實際上卻隱藏著各種知識盲點或邏輯錯誤,經常出現因為審題不細、分類不清、方法不當、忽視隱含條件等原因而導致錯解的情況。下面探究正弦、余弦定理運用中的幾個易錯點的病根。

易錯點一：制約條件被忽視

例1不等邊△ABC中,a為最大邊,如果a2＜b2+c2,則A的取值范圍是_____。

解析：因為a2＜b2+c2,所以b2+c2-a2＞0,cosA=＞0。

由于cosx在(0°,180°)上為減函數且cos 90°=0,故A＜90°。

又因為a為最大邊,所以A＞60°。

因此,A的取值范圍是(60°,90°)。

易錯點分析：有同學審題不細,已知條件弱用,忽視題設a為最大邊,而得到錯誤結論：A的取值范圍是(0°,90°)。

易錯點二：機械套用定理、公式和已有結論,導致解題失誤

例2在△ABC中,已知a=5,b=4,A=120°,不解三角形,則三角形解的個數為____。

解析：由題意知a＞b?A＞B。

易錯點分析：因為bsinA=4sin 120°=,所以△ABC有兩組解。產生錯誤的根源在于錯誤套用人教版必修5P9第3題的結論(3),而這個結論使用前提是A為銳角,且a＜b,顯然本題不具備這些條件。

易錯點三：不能正確使用數形結合的思想方法解題,導致解題過程煩瑣或漏解

例3在△ABC中,若,則△ABC的形狀是____。

因為sinA＞0,sinB＞0,所以sinAcosA=sinBcosB,即sin 2A=sin 2B。

故2A=2kπ+2B或2A=2kπ+π-2B(k∈Z)。

因為0＜A＜π,0＜B＜π,所以k=0。

則A=B或A=

故△ABC為等腰三角形或直角三角形。

易錯點分析：由sin 2A=sin 2B,得2A=2B,這是三角變換中常見的錯誤,原因是不熟悉三角函數的性質。沒有深刻理解sin 2A=sin 2B的含義,出現漏解情況。事實上,由2sinAcosA=2sinBcosB知道,A,B都是銳角,則2A,2B∈(0,π),由三角函數的圖像可知要么2A=2B,要么。因此,A=B或A+B=。所以△ABC為等腰三角形或為直角三角形。

易錯點四：不能恰當使用正弦定理和余弦定理進行邊與角的有效互換,導致解題失誤

例4在△ABC中,a,b,c分別為內角A,B,C的 對 邊,若a-b=c(cosB-cosA),求證

解析：由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,兩式相減

易錯點分析：不能恰當地使用正弦定理和余弦定理進行邊與角的有效互換,從而解題陷入不著邊際的盲目變換。處理邊與角混合在一起的式子時,應考慮利用正弦定理或余弦定理,要么把角化為邊,要么將邊化為角,減少變量,便于解答。

易錯點五：斷章取義,錯誤推理

例5若a,b,c是三角形的三邊長,證明：以長為的三條線段能構成銳角三角形。

解析：不妨設0＜a≤b≤c,只要考慮最大邊c的對角θ為銳角即可。

由于a,b,c是三角形的三條邊,根據三角形三邊關系,有a+b＞c。

故cosθ＞0。

易錯點分析：三條線段構成銳角三角形,要滿足兩個條件：①三條邊滿足三角形邊長關系；②最長線段的對角是銳角。容易出的問題是驗證了第二個條件cosθ＞0,而缺少對第一個條件的驗證。