精講解三角形考點

■河南省禹州市第一高級中學 田治業

高考有關解三角形的考題形式為選擇題、填空題或解答題,主要考查利用正弦定理、余弦定理、三角公式、三角函數圖像與性質解三角形及求三角形的面積,解實際問題,求平面圖形中的邊角關系,求與三角形有關的最值、取值范圍等綜合問題,難度為基礎題和中檔題。

考點一、已知三角形中的邊角關系解三角形

1.對已知三角形的邊角關系解三角形問題,若所給條件含邊又含角,要么把角化為邊,要么把邊化為角。

2.若條件給出三角形面積,則利用三角形面積公式化為邊角問題處理。

3.若以向量運算的形式給出條件,則利用向量運算的相關知識化為邊角關系,再利用余弦定理求解。

4.在利用正弦定理解題時,應注意利用大邊對大角來判斷所求角的范圍。

5.三角形中的三角變換：

(2)在△ABC中,熟記并會證明：A,B,C成等差數列的充分必要條件是B=60°；△ABC是正三角形的充分必要條件是A,B,C成等差數列且a,b,c成等比數列。

6.要熟記如下知識：

(1)正弦定理：

(2)在三角形中,大角對大邊,大邊對大角；大角的正弦值也較大,正弦值較大的角也較大,即在△ABC中,A＞B?a＞b?sinA＞sinB。

(3)在△ABC中,已知a,b和A時,解的情況如下：

(4)余弦定理：

例1在△ABC中,。

(1)求B的大小；(2)求的最大值。

分析：(1)根據余弦定理公式求出cosB的值,進而根據B的取值范圍求B的大小；(2)由輔助角公式對進行化簡變形,進而根據A的取值范圍求其最大值。

解：(1)由余弦定理及題設得cosB=

又因為0＜B＜π,所以B=。

(2)由(1)知A+C=。

因為0＜A＜,所以當A=時,cosA+cosC取得最大值1。

點評：正弦、余弦定理是應用極為廣泛的兩個定理,它將三角形的邊和角有機地聯系起來,從而使三角與幾何產生聯系,為求與三角形有關的量(如面積、外接圓、內切圓半徑和面積等)提供了理論依據,也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關等式的重要依據。其主要方法有：化角法,化邊法,面積法,運用初等幾何法。注意體會其中蘊含的函數與方程思想、等價轉化思想及分類討論思想。

考點二、利用正弦定理、余弦定理解平面圖形問題

對解平面圖形中的邊角問題,若在同一個三角形中,可直接利用正弦定理與余弦定理求解。若圖形中條件與結論不在同一個三角形內,思路1：要將不同的三角形中的邊角關系利用中間量集中到一個三角形內列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根據圖像分析條件和結論所在的三角形,分析由條件可計算出的邊角和由結論需要計算的邊角,逐步建立未知與已知的聯系。

例2在△ABC中,點D在BC邊上,AD平分∠BAC,AB=6,AD=,AC=4。

(2)求BC的長。

分析：(1)由正弦定理知,在△ABD中,①；在△ADC中,②。由∠ADB+∠ADC=π,∠BAD=∠DAC,得sin∠ADB=sin∠ADC,sin∠BAD=sin∠DAC,然后再由①÷②即可得到結果。(2)由(1)知,設BD=3x,DC=2x(x＞0),則BC=5x。由cos∠BDA+cos∠ADC=0及余弦定理知0,由此即可求出結果。

解：(1)由正弦定理知,在△ABD中,

由∠ADB+∠ADC=π,∠BAD=∠DAC,得 sin ∠ADB=sin ∠ADC,sin∠BAD=sin∠DAC。

由cos∠BDA+cos∠ADC=0,及余弦定理知。

解得x=1,所以BC=5。

考點三、利用正弦定理、余弦定理解測量,航行問題

1.把握解三角形應用題的四步：

①閱讀理解題意,弄清問題的實際背景,根據題意畫出示意圖；

②根據圖形分析圖中哪些量是已知量,哪些量是未知量,需要通過哪些量將未知與已知溝通起來,將實際問題抽象成解三角形問題的模型；

③根據題意選擇正弦定理或余弦定理求解；

④將三角形問題還原為實際問題,注意實際問題中的有關單位問題、近似計算的要求等。

2.要理解仰角和俯角、方位角、方向角的概念,并能將其化為三角形內角。

例3為了應對日益嚴重的氣候問題,某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣候儀器,這種儀器可以彈射到空中進行氣候觀測。如圖1所示,A,B,C三地位于同一水平面上,這種儀器在C地進行彈射實驗,觀測點A,B兩地相距100 m,∠BAC=60°,在A地聽到彈射聲音比B地晚(已知聲音傳播速度為340 m/s),在A地測得該儀器至高點H處的仰角為30°,則這種儀器的垂直彈射高度HC=____。

圖1

分析：在圖中標注出已知量,分析所求量與已知量的關系,在三角形中利用正弦定理與余弦定理求解。

解：設BC=x,則AC=x+×340=x+40。在△ABC中,由余弦定理,可得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos∠BAC,即x2=1002+(40+x)2-2×100×(40+x)×,解得x=380,所以AC=380+40=420(m)。因為∠HAC=30°,所以∠AHC=90°-30°=60°。

點評：解題中要認真分析與問題有關的三角形,正確運用正、余弦定理有序地解相關的三角形,從而得到問題的答案。