正弦定理的八大功能

■湖北省巴東縣第三高級中學 廖慶偉

正弦定理：在△ABC中,(R為△ABC的外接圓半徑)。

正弦定理是解三角形的重要理論依據之一,解題時要靈活運用,主要有下面八大功能。

一、三角形解的判斷

例1在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,則此三角形( )。

A.無解

B.有兩解

C.有一解

D.解的個數不確定

解析：因為,所以sinB=sinA=。

又因為a＜b,所以B的值有兩個,三角形也有兩個。

故選B。

點評：三角形解的判斷：

二、求角

例2在△ABC中,角A、B、C所對應的邊分別為a、b、c,若a=,b=2,sinB+cosB=,則角A的大小為____。

解析：由sinB+cosB=,得1+2sinBcosB=2,即sin 2B=1。

因為0＜B＜π,所以B=45°。

又因為a=,b=2,所以在△ABC中,由正弦定理得

因為a＜b,所以A＜B=45°,A=30°。

點評：已知兩角和一邊可求第三角,解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可。

已知兩邊和其中一邊的對角,利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論角的范圍,這是解題的難點,應引起同學們的注意。

三、求邊長

例3已知△ABC的周長為+1,且sinA+sinB=sinC,則AB=____。

解析：由題意及正弦定理,得AB+BC+AC=+1,且BC+AC=AB。

兩式相減,解得AB=1。

點評：求值問題的實質還是解三角形,直接用正弦定理把角化成邊,本題列方程組可求解。

四、求面積

例4在△ABC中,若AB=,AC=1,B=30°,則△ABC的面積為____。

圖1

解析：如圖1 所示,由正弦定理,得sinC=。而c＞b,所以C=60°或C=120°。

對應A=90°或A=30°。

點評：三角形中的計算問題歸根結底還是解三角形問題,抓住三角形的可解條件,對應問題就迎刃而解。

五、求范圍

例5在銳角△ABC中,BC=1,B=2A,則AC的取值范圍為____。

解析：由正弦定理得,所以=1,即AC=2cosA。

由銳角△ABC得0°＜2A＜90°,所以0°＜A＜45°。

又0°＜180°-3A＜90°,所以30°＜A＜60°。

故30°＜A＜45°。

故AC=2cosA∈(2,3)。

點評：求解這類問題的關鍵是把用角A的三角函數表示出來,利用函數y=cosx的性質求解,易錯點是判斷角A的取值范圍。

六、判斷三角形的形狀

例6在△ABC中,若,則△ABC的形狀為____。

解析：由正弦定理,得,即

已知sinA＞0,sinB＞0,則sinAcosA=sinBcosB,即sin 2A=sin 2B。

所以2A=2kπ+2B或2A=2kπ+π-2B(k∈Z)。

因為0＜A＜π,0＜B＜π,所以k=0。

則A=B或A=-B。

△ABC為等腰三角形或直角三角形。

點評：判斷三角形的形狀的基本思想是利用正弦、余弦定理進行邊角的統一,即將條件化為只含角的三角函數關系式,然后利用三角恒等變換得出內角之間的關系式,或將條件化為只含有邊的關系式,然后利用常見的化簡變形得出三邊的關系。

七、正弦定理與余弦定理的綜合運用

例7在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,證 明：。

證明：由余弦定理得：

a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB。

所以a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB,整理得

點評：三角形中的有關證明問題基本方法同三角恒等式的證明,但要注意靈活選用正弦定理或余弦定理。

八、用正弦定理解決實際問題

例8如圖2 所示,設A,B兩點在河的兩岸,一測量者在A的同側,在A所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,則可以計算出A,B兩點的距離為( )。

圖2

解析：由題意,得B=30°。

點評：解此類問題,首先要弄清題意,合理將條件歸結到某一個三角形中處理是常見策略,同時要靈活運用正弦定理及平面幾何的相關知識。