初中數學教學的“三理解”

張建軍

[摘? 要] 數學教學的過程，是數學教師以熟悉的方式將自己理解的教學內容“傳遞”給學生的過程. 理解數學學科的本質與特點，理解學生尤其是學生的思維方式，理解“傳遞”的背后是學生的主動建構，是數學有效教學乃至核心素養培育的堅實基礎.

[關鍵詞] 初中數學;理解數學;理解學生;理解教學

數學教學的過程，就是教師將自己所理解的數學內容，通過自己熟悉的教學方式，“傳遞”給學生的過程. 當然，這個傳遞不是像傳遞物體那樣形象，而是為了促進學生的主體建構. 基于這樣的理解，可以看到數學教學離不開基本的“三理解”：理解數學、理解學生、理解教學. 可以說，只有這三個方面的理解到位了，數學教學乃至數學學科核心素養的培育才能真正落到實處. 本文試就這“三理解”做一簡述.

理解數學

理解數學的目的，在于讓教師知道自己所教的是什么. 顯然，數學教師所教的不僅僅是數學知識，因此數學教學就不能只是教學生學會數學知識，學生學習數學的過程也不是簡單的模仿，而應是進入數學領域，感受數學學科的內在規律，并領略數學魅力的過程.

例如，在等腰三角形的教學中，人教版教材緊隨其后設計了“最短路徑問題”這一學習課題. 從內容上看，這是因為最短路徑問題的解決過程中使用到了等腰三角形的知識，但如果我們再深入一點去理解，就會發現更多. 比如，最短路徑問題在數學中最初出現于“兩點之間，線段最短”，這也是學生最熟悉的基本規律，因此這是最短路徑問題的知識與經驗基礎，而等腰三角形后面的這一最短路徑問題，實際上是新情境下的最短路徑問題，其需要用到“兩點之間，線段最短”、軸對稱、等腰三角形等知識. 更重要的是，這類問題往往是從實際問題中抽象而來的，因此這一課題的學習，實際上是讓學生認識到數學與生活的聯系，能培養學生在生活中認識數學的意識與運用數學知識解決生活問題的能力.

再比如，從數學方法的角度講，解決最短路徑問題，需要將實際問題抽象為數學問題，即把飲馬、挑水類實際問題，轉換為由A點到直線l上某點再到B點的問題. 這是一個數學抽象的過程，而數學抽象既是一種重要的數學思想方法，也是數學學科核心素養的組成部分之一，因此數學教學的過程，應當把體驗數學思想方法作為一個顯性過程，讓學生經歷充分的數學抽象過程.

所以我們可以發現，要在初中數學教學中理解數學，實際上就是既要理解數學學習內容在整個數學體系中的地位，也要理解某一個數學知識在學生的學習過程當中按照什么樣的邏輯展開. 因為根據我們的教學經驗，數學知識的形成過程可能有兩個途徑：一是教師預設的途徑，也就是教師所希望的知識生成的過程;另一個途徑是學生學習過程當中，實際的知識發生過程. 這兩種途徑往往并不完全重合. 很多時候，教師教學中遇到的矛盾，其實就是這兩種途徑所展示出來的矛盾. 從這個角度講，理解數學，離不開理解學生.

理解學生

學生在教學中的主體地位不言而喻，但需要認清的一個事實是，認同學生的主體地位，不等于能夠真正理解學生. 筆者以為，在初中數學教學中，理解學生應當持久理解，同時應當具有下面三個方面的內涵.

1. 理解學生的數學基礎

教師在預設教學的時候，總是從數學知識的邏輯來設計，譬如讓學生解決“最短路徑問題”時，總是預設學生已經對軸對稱、等腰三角形的知識掌握得很熟練了，但事實上并非如此. 很多學生此前的知識基礎不同，哪怕是剛剛所學的知識，不同學生的理解程度也是不同的. 筆者就發現，在將實際問題抽象成“由A點到直線l上某點再到B點的問題”的過程中，就有學生無法想象在直線l上任取一點C對解決問題有什么作用. 說得再直白一些，這部分學生還沒有意識到軸對稱知識在此能夠發揮什么樣的作用. 因此，教師在教學時，不要因為前面已經學過了軸對稱知識，就認為其已經是所有學生都能熟練運用的工具，還是要針對不同學生的實際情況，單獨回憶甚至板書，以備隨時調用.

2. 理解學生的思維方式

學生的思維方式對學習結果有直接的影響，數學本身就是思維的學科，思維方式對數學知識的建構結果非常明顯. 思維方式的研究成果是豐富的，筆者在工作中發現，如果從學生思維與教師講授之間的時間差關系角度來分析，會出現很有意思的結果：有的學生在數學學習中思維是跟著教師走的，這類學生的思維慢教師半拍，通常沒有自主性;有的學生則喜歡想在教師的前面，他們會下意識地猜教師下面會講什么知識、問什么問題，如果猜想不一致，他們會對自己的學習進程做出調整. 我們說課堂上學生容易分心，通常就是前一類思維方式的學生. 在解決“最短路徑問題”的時候，有的學生只是呆呆地思考，有的學生則眼珠直轉，立即思考其與前面所學的軸對稱、等腰三角形是不是有什么關系. 教師在教學中把握了學生這一思維方式的不同，并盡量培養后一種思維方式，對提高教學效果非常有幫助.

3. 理解學生的數學語言、數學建模運用

初中生學習數學的過程，可以理解為初中生掌握數學語言的過程. 掌握數學語言，意味著學生已經進入數學范式，意味著學生能夠用數學語言來表達自己的思想，這對于初中生來說，并非一件輕而易舉的事情. 如“最短路徑問題”中，我們可以看到班上不同層次的學生在思考這個問題時，內心的想法是不一樣的. “學困生”大腦中想的往往是問題本身，即題目問怎樣的路徑最短，他就想怎樣的路徑最短，而沒有將最短路徑問題轉換為數學語言的意識，這實際上就是數學思維方式沒有養成的表現;而中等生往往知道將此問題與軸對稱知識結合起來，但是由于建立數學模型比較困難，所以他們最終也難以解決;只有學優生既能將軸對稱知識運用進來，又能順利地建立數學模型. 需要指出的是，對于“學困生”和中等生，教師必須明確教學是為他們服務的，只有這樣，才是真正的以生為本.

理解教學

關于數學教學，有經驗的教師都知道，課程改革中曾經有過對建構主義學習觀的爭論. 盡管不少專家不承認建構主義的作用，但筆者基于學生的學習實際依然認為，初中生的數學學習確實存在著明顯的建構性，根據建構主義學習理論去為學生準備先前經驗，促進學生自主建構，確實可以提高學生的數學學習水平. 因此，從建構主義角度理解數學教學，筆者以為是恰當的.

比如，上面提到的部分學生由于對軸對稱知識和等腰三角形知識掌握不牢，導致解決最短路徑問題出現障礙的情形，筆者所采用的“課堂上即時回憶，板書前面的知識要點”這一策略就非常有用;再比如，在數學抽象的過程中，通過直線l上任意一點的假設，來建立初步的模型，這也是非常重要的一步，因為C點的選擇與確定，實際上就是在數學抽象的過程中幫學生確認問題解決的關鍵點. 從建構主義學習觀的角度來看，這就是幫學生建構，但這個幫又不是完全替代，教師要通過對C點的分析，讓學生意識到直線l上只有一點保證路徑最短，而該點的最終選擇，要從對一般情形的分析中得出. 于是，基于經驗試錯，借助軸對稱知識去論證，就成為主動建構的核心組成部分. 事實也證明，這樣的過程雖然略顯耗時，卻能讓學生在學習的過程中知道如何規避經驗的缺陷，如何準確地選擇數學工具（軸對稱知識）來解決問題，這就是能力的提升.

理解教學，實際上是理解教育學的關系，也是理解教師與學生的關系. 通過十多年的課程改革，師生之間教與學、幫助與被幫助、服務與被服務的關系已較為明確. 但這還是一種宏觀的描述，如果再精細一點，具體到數學學習過程中的某一個知識或某一個環節，教師仍然要思考自己在這個過程當中應該充當什么樣的角色. 只有角色恰當，師生之間的教學關系才能清晰. 從這個角度講，理解教學包括三個元素，即教師、學生以及數學學習內容，其中數學學習內容是教師與學生之間產生教學聯系的橋梁. 當然，我們還可以尋找另外一個比喻，那就是初中數學學習的過程，就是教師帶著學生沿著數學學習內容這條途徑一同前行的過程，在這個過程當中，學生走在前面，他們有可能會遇到困難，遇到困難時，教師及時提示并提供幫助，那這個幫助的過程實際上就是教學的過程.

總之，在初中數學教學中，有效的教學離不開理解數學、理解學生、理解教學. 真正做到了這“三理解”，那初中數學教學就是有效的. 同樣的，也必然可以為數學學科核心素養的培育奠定一個堅實的基礎.