例析初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的滲透

史丹萍 任慶

[摘? 要] 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透是重要目標(biāo)之一. 滲透數(shù)學(xué)思想，可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 數(shù)學(xué)思想包括轉(zhuǎn)化思想、化歸思想、方程思想、函數(shù)思想等，文章以轉(zhuǎn)化思想為例，通過(guò)實(shí)踐案例，就如何將數(shù)學(xué)思想滲透于教學(xué)中談?wù)勛约旱目捶?

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);轉(zhuǎn)化思想;問(wèn)題解決

轉(zhuǎn)化思想就是將數(shù)學(xué)中待解決的問(wèn)題或難以解決的問(wèn)題，通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ê屯緩竭M(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決的問(wèn)題或者容易解決的問(wèn)題. 轉(zhuǎn)化，通常可以達(dá)到將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、化難為易的效果，其不僅有利于學(xué)生解決問(wèn)題，而且有助于學(xué)生看透問(wèn)題的本質(zhì)，更好地理解問(wèn)題，從而提高學(xué)習(xí)效率. 下面筆者以“等腰三角形復(fù)習(xí)”的教學(xué)片段為例，簡(jiǎn)要談?wù)勅绾螌⑥D(zhuǎn)化思想滲透于初中數(shù)學(xué)教學(xué)，希望能給同仁們一些參考.

回顧舊知，搭建基礎(chǔ)回顧舊知是復(fù)習(xí)課的必備環(huán)節(jié)，“萬(wàn)丈高樓平地起”，通過(guò)對(duì)舊知的回顧，搭建知識(shí)基礎(chǔ)，能為后續(xù)環(huán)節(jié)做鋪墊，能為能力的提升提供必要的條件.

（完成方式：教師引導(dǎo)，學(xué)生回答）

師：等腰三角形是初中數(shù)學(xué)中重要的幾何模型，在幾何問(wèn)題的解決中有著舉足輕重的作用. 通過(guò)前幾節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們對(duì)等腰三角形已有充分的認(rèn)識(shí)，現(xiàn)在請(qǐng)大家談一談你學(xué)到了哪些關(guān)于等腰三角形的知識(shí).

生1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，兩條腰相等.

生2：“等角對(duì)等邊”“三線合一”.

生3：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.

……

教師梳理后板書等腰三角形的定義及性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖 該環(huán)節(jié)是課堂的起始環(huán)節(jié)，所以讓學(xué)生知道這節(jié)課要“做什么”尤其重要. 以完全開(kāi)放的形式讓學(xué)生自主回答學(xué)到的知識(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行全面回顧及相互補(bǔ)充，教師梳理后即刻板書，能將學(xué)生腦海中瑣碎的知識(shí)系統(tǒng)化、完整化.

層層推進(jìn)，感悟思想

解決問(wèn)題是復(fù)習(xí)課的主要環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)需要通過(guò)層層深入的問(wèn)題讓學(xué)生體會(huì)到轉(zhuǎn)化思想的存在，并通過(guò)問(wèn)題的解決讓學(xué)生感悟到該思想的實(shí)際效用.

問(wèn)題1 如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°.

（1）∠ABC=_________，∠ACB=_________.

（2）作∠ABC的平分線BD，交AC邊于點(diǎn)D，則圖中共有幾個(gè)等腰三角形？

（3）在（2）的條件下過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線DE，交AB邊于點(diǎn)E，會(huì)不會(huì)產(chǎn)生新的等腰三角形？

（完成方式：學(xué)生合作完成，小組代表全班展示）

生1：（1）∠ABC=∠ACB=72°. （2）共有3個(gè)等腰三角形，即△ABC，△ABD和△BCD，由角度的計(jì)算可以得到此結(jié)論. （3）過(guò)點(diǎn)D作ED∥BC后，新增了2個(gè)等腰三角形，即△BED和△AED.

師：在你的解答過(guò)程中由角度得到等腰三角形的依據(jù)是什么？

生1：等角對(duì)等邊.

師：由角到邊的轉(zhuǎn)化過(guò)程，是哪種數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)呢？

生1：轉(zhuǎn)化思想.

變式 如圖1③，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB邊于點(diǎn)E，請(qǐng)找出圖中所有的等腰三角形.

師：你認(rèn)為這個(gè)變式的結(jié)論和問(wèn)題1中第（3）問(wèn)的結(jié)論一樣嗎？

生2：不一樣，該圖中只有3個(gè)等腰三角形.

師：和問(wèn)題1的第（3）問(wèn)相比，哪兩個(gè)三角形不是等腰三角形了呢？

生2：由角度可知，△ABD和△BCD不是等腰三角形了.

師：你考慮問(wèn)題很細(xì). 問(wèn)題1的第（3）問(wèn)之所以存在5個(gè)等腰三角形，是因?yàn)樗亲钐厥獾摹包S金等腰三角形”，而普通的等腰三角形并不會(huì)存在這樣的特殊性.

問(wèn)題2 如圖2，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC邊于點(diǎn)D，DE∥BC交AB邊于點(diǎn)E，尋找圖中的等腰三角形，并證明.

（完成方式：教師引導(dǎo)學(xué)生完成）

師：觀察這個(gè)圖形，與上述2道題中的圖形相比，有何不同與相同？

生3：不同的是△ABC的形狀變了，它不再是等腰三角形，而且也沒(méi)有固定的角度大小. 相同點(diǎn)在于條件依舊是角平分線與平行線.

師：你觀察得真仔細(xì). 那這個(gè)圖形中有幾個(gè)等腰三角形呢？

生3：只有一個(gè)，即△BDE.

師（追問(wèn)）：你是怎么找出來(lái)的？說(shuō)出你的證明方法.

生3：由BD平分∠ABC可以得到∠EBD=∠CBD，由DE∥BC可以得到∠EDB=∠DBC. 等量代換即可得到∠EDB=∠EBD，因此EB=ED.

師：你的證明過(guò)程是否滲透了某種數(shù)學(xué)思想？

生3：角與角之間的轉(zhuǎn)化、角與邊之間的轉(zhuǎn)化.

師：非常好！轉(zhuǎn)化思想在你的證明過(guò)程中得到了充分的體現(xiàn).

變式 如圖3，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線，分別交AB，AC于點(diǎn)E和點(diǎn)F.

（1）找出圖中所有的等腰三角形并證明;

（2）猜想線段EF和BE，CF的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（完成方式：學(xué)生板演）

（學(xué)生板演過(guò)程略）

師（追問(wèn)）：該同學(xué)給我們展示了一個(gè)完整的證明與解答過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，轉(zhuǎn)化思想是否有體現(xiàn)呢？

生4：有體現(xiàn)，這個(gè)過(guò)程有角與角的轉(zhuǎn)化、角與邊的轉(zhuǎn)化、邊與邊的轉(zhuǎn)化.

設(shè)計(jì)意圖 該環(huán)節(jié)的主要教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生充分體會(huì)到等腰三角形中存在的轉(zhuǎn)化思想，因此教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)該思想的存在性. 該環(huán)節(jié)設(shè)置了兩個(gè)例題及兩個(gè)變式，逐層遞進(jìn)，前后問(wèn)題之間有著緊密的聯(lián)系，問(wèn)題整體難度不大，學(xué)生基本可以獨(dú)立解決，如此便可以通過(guò)簡(jiǎn)單的解決問(wèn)題過(guò)程讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)，形成初步的數(shù)學(xué)思想意識(shí).

題后總結(jié)，穩(wěn)固思想總結(jié)過(guò)程即知識(shí)的內(nèi)化過(guò)程，學(xué)生通過(guò)題后總結(jié)可以實(shí)現(xiàn)將解決問(wèn)題過(guò)程中的思路、方法納入自己的知識(shí)體系，因此題后總結(jié)不僅是教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，而且是學(xué)生解題所必需的一環(huán).

教師引導(dǎo)學(xué)生共同總結(jié)解決問(wèn)題過(guò)程中所滲透的轉(zhuǎn)化思想并板書如下：

[轉(zhuǎn)化思想

1. 角與角的轉(zhuǎn)化：相等角之間的等量代換.

2. 邊與角的轉(zhuǎn)化：等角對(duì)等邊，等邊對(duì)等角.

3. 邊與邊之間的轉(zhuǎn)化：相等線段之間的等量代換.]

設(shè)計(jì)意圖 本節(jié)課在方法與能力上的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，因此總結(jié)環(huán)節(jié)直接圍繞轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行，能直達(dá)目標(biāo).

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)關(guān)鍵在于靈活與變通，因此將問(wèn)題舉一反三是學(xué)生提高能力的途徑，也是發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造能力的平臺(tái).

舉一反三 如圖4，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，DE∥BG且分別交AB，AC于點(diǎn)E和點(diǎn)F，則EF，BE，CF三者之間有何數(shù)量關(guān)系？

（完成方式：學(xué)生課后獨(dú)立完成）

設(shè)計(jì)意圖 該環(huán)節(jié)的問(wèn)題通常作為教學(xué)中的備用問(wèn)題來(lái)呈現(xiàn)，若有時(shí)間，則課上完成;若沒(méi)有時(shí)間，則留至課后由學(xué)生自主完成. 這樣一方面給學(xué)生的進(jìn)一步探究提供了資源，另一方面則可以養(yǎng)成學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的習(xí)慣.

思想是問(wèn)題的本質(zhì)，是數(shù)學(xué)的靈魂. 新課程改革背景下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，將數(shù)學(xué)思想滲透至數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中是必需的，因?yàn)閿?shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的依據(jù)，體悟數(shù)學(xué)思想的存在性是理解數(shù)學(xué)的必要條件，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來(lái)解決問(wèn)題是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的有效途徑.