彈性板結構的聲表面波陀螺研究*

吳榮興, 李曉東, 于蘭珍, 鄭 東, 王海林

(1.寧波職業技術學院 建筑工程學院,浙江 寧波 315800；2.寧波大學 機械與力學學院, 浙江 寧波 315211)

0 引 言

由于聲表面波器件具有體積小、精度高和敏感性強等優點,已被廣泛地應用于各類傳感器技術領域[1,2]。聲表面波器件所處環境場特性的改變將引起聲波傳播特性的變化,因此,可以通過測量聲學特性的改變來檢測環境因素的變化[3～5]。各種聲表面波氣體、液體和質量等各類傳感器被設計出來,部分器件已經達到了實用化[6～8]。在慣性傳感領域,主要研究集中于理論方面,也就是陀螺效應對聲表面波的影響研究[9]。理論研究表面哥氏力對聲表面波的傳播有抑制作用,并且存在著對應關系,可以用來檢測旋轉場的角速率。但是這些模型都是基于半無限大彈性體結構,而真實聲表面波器件一般為層狀板型結構[10]。與此同時,聲表面波陀螺效應傳感器實驗研究被逐步開展,但實驗樣機分辨率不高,且對小速率旋轉場基本無法檢測到有效信號[11,12]。這樣就迫切需要建立更為精確的聲表面波陀螺效應傳感器模型,并精確分析聲表面波在其結構內部的傳播特性。

本文分析了考慮陀螺效應的聲表面波在各向同性彈性板中的傳播特性,獲得了波速、波形和旋轉場之間的對應關系,為實際聲表面波陀螺效應傳感器的制作提供了理論指導。

1 基本方程

帶旋轉場的各向同性彈性板如圖1所示,聲表面波沿著x1方向傳播,這里僅考慮繞x1和x2的旋轉場,不考慮繞x3方向的旋轉場。

圖1 帶旋轉場的各向同性彈性板

當聲表面波在如圖1所示的各向同性彈性板中傳播時[13～15],假設位移模式為

u1=A1ekβx2eik(x1-ct),u2=A2ekβx2eik(x1-ct)

(1)

式中u1(u2),A1(A2),k,β,x1(x2),c和t分別為各向同性彈性板的位移、振幅、波數、衰減系數、坐標、波速和時間。

基于式(1)的位移假設,獲得應變為

S1=ikA1ekβx2eik(x1-ct),S2=kβA2ekβx2eik(x1-ct),

S6=k(βA1+iA2)ekβx2eik(x1-ct),S3=S4=S5=0

(2)

式中Sj(j=1,2,…,6)為各方向的應變。

基于應變式(2),可以得到應力為

T1=k[(λ+2μ)iA+λβB]ekβx2eik(x1-ct),

T2=k[λiA+(λ+2μ)βB]ekβx2eik(x1-ct),

T3=kλ[iA+βB]ekβx2eik(x1-ct),

T6=kμ[βA+iB]ekβx2eik(x1-ct),

T4=T5=0

(3)

式中Tj(j=1,2,…,6),λ和μ分別為各方向應力和彈性板材料的拉梅常數。

帶旋轉場的各向同性彈性板的運動方程為[13]

(4)

式中ρ和Ω1(Ω2)分別為各向同性彈性板的材料密度和兩個方向旋轉場的頻率,ü1(ü2)為位移u1(u2)對時間變量t求導兩次。

將應力表達式(3)代入式(4),經整理后得到

(5)

給定波速c,對式(5)進行數值求解,可以獲得衰減系數β的4個根。這里需要指出的是,由于旋轉場的存在,這里獲得衰減系數β并不是成對的[14]。因此，保留全部4個衰減系數,重寫位移如下

u1=(B1ekβ1x2+B2ekβ2x2+B3ekβ3x2+B4ekβ4x2)eik(x1-ct),

u2=(B1α1ekβ1x2+B2α2ekβ2x2+B3α3ekβ3x2+B4α4ekβ4x2)

eik(x1-ct)

(6)

αj=A2(βj)/A1(βj),j=1,2,3,4

(7)

基于新的位移假設式(6),可以獲得各方向的應變和應力,這里給出相關應力表達式如下

T2=k[λi+(λ+2μ)α1β1]B1ekβ1x2+k[λi+(λ+2μ)α2β2]B2ekβ2x2+k[λi+(λ+2μ)α3β3]B3ekβ3x2+k[λi+(λ+2μ)α4β4]B4ekβ4x2,T6=kμ([β1+iα1]B1ekβ1x2+[β2+iα2]B2ekβ2x2+[β3+iα3]B3ekβ3x2+[β4+iα4]B4ekβ4x2)

(8)

式中 為了表達方便,各式省略了eik(x1-ct)。

如圖1所示各向同性彈性板的邊界條件為

T2(x2=0)=T6(x2=0)=0,

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T2(x2=-h)=T6(x2=-h)=0

(9)

式中h為彈性板的厚度。

將應力表達式(8)代入邊界條件式(9),可以得到

MB=0

(10)

式中 振幅向量為B={B1,B2,B3,WB4}T。

這里沒有列出系數矩陣M的非零元素。若帶旋轉場的各向同性彈性板中存在聲表面波振幅的非零解,必然要求系數矩陣M的行列式值為零[15,16]。這樣就建立了聲表面波在帶旋轉場的各向同性彈性板中的傳播方程,可以用于分析旋轉場對聲表面波傳播特性的影響。

2 數值計算

為了計算簡單,對彈性板厚度進行歸一化處理

H=h/ξ,kξ=2π,kh=2πH

(11)

式中H和ξ分別為彈性板的歸一化厚度和聲表面波波長,這里取鋁板作為研究對象。為了驗證推導的正確性,可以繪制無旋轉場時波速和歸一化彈性板厚度的關系曲線圖如圖2所示。

圖2 各向同性彈性板的波速—板厚曲線

從圖2可以發現,隨著彈性板厚度的逐漸增加,聲表面波波速的上下分支分別趨向半無限大彈性體的聲表面波波速[14,15]。特別是彈性板厚度在4個波長以上,獲得的波速與半無限大彈性體的結果非常接近,這就說明聲表面波的振動能力主要集中于4個波長以內。并且這里獲得歸一化波速與先前的研究結果一致[14,15]。

可以進一步繪制繞不同坐標軸旋轉時旋轉頻率和波速的關系曲線圖如圖3所示。

圖3 各向同性彈性板的波速—旋轉頻率曲線

這里需要指出的是圖3的各向同性彈性板的厚度都是2個波長,ω是聲表面波的頻率。從圖3可以發現,隨著旋轉場轉速的增加,聲表面波波速逐漸減小。由旋轉場引起波速變化的靈敏度來看,繞x1軸旋轉靈敏性更大,并且波速和轉速的一一對應關系完全提供了檢測的可能。因此，在實際聲表面波陀螺效應傳感器設計中,應該將器件設計在旋轉場的合理方向[12]。

旋轉場不僅改變了聲表面波波速,而且將會對聲表面波的波形存在影響。常用器件都是將傳感器放置在繞x2軸的中心位置,因此，可以進一步分析陀螺效應對聲表面波波形的影響[1]。基于式(10)的求解,可以進一步定義位移為

u1=(Cekβ1x2+Cζ2ekβ2x2+Cζ3ekβ3x2+Cζ4ekβ4x2)eik(x1-ct),

u2=(Cα1ekβ1x2+Cα2ζ2ekβ2x2+Cα3ζ3ekβ3x2+Cα4ζ4ekβ4x2)

eik(x1-ct)

(12)

式中C和ζ1(ζ2,ζ3,ζ4)為重新定義的振幅和振幅比,定義如下

ζj=Bj(βj)/B1(βj),j=1,2,3,4

(13)

基于新位移表達式(12),可以繪制出位移的波形圖如圖4所示。

圖4 各向同性彈性板的位移

圖4的縱坐標是歸一化各向同性彈性板的厚度,橫坐標是基于式(12)的位移表達式,沒有給出振幅C的數值,因此橫坐標不存在單位。圖4表明當聲表面波在2個波長厚度的各向同性彈性板中傳播時,位移呈現出對稱和反對稱模態,圖4(a)和圖4(d)是位移的反對稱模態,圖4(b)和圖4(c)是位移的對稱模態。圖4也表明繞x2軸旋轉效應對聲表面波波形影響不大,沒有破壞其對稱和反對稱模態的基本波形[13]。這就表明在實際低轉速的聲表面波陀螺效應感應器設計中,可以不考慮聲表面波波形變化的影響[13]。

3 結 論

分析了陀螺效應對聲表面波在各向同性彈性板中傳播特性的影響。研究結果表面陀螺效應對聲表面波波速有著顯著影響,特別繞聲表面波的傳播方向旋轉時,影響效應更為明顯。隨著旋轉場轉速的增加,聲表面波各波速都將減小。對應的關系可以為實際聲表面波陀螺效應傳感器提供指導。通過繪制聲表面波波形圖,發現低轉速的陀螺效應會輕微改變聲表面波的波形的對稱和反對稱模態,但是這種影響不大。各種聲波器件一般都是層狀結構,因此,這里建立的模型更接近于實際的聲表面波陀螺效應傳感器。