李普曼-史溫格方程在耦合道中的應用

王 恩 宋開蘭 劉利娟 馬 冰 李德民

(鄭州大學物理工程學院，河南 鄭州 450001)

1 導出問題

強子之間的相互作用以及強子性質是強子物理領域的重要研究對象，基于強相互作用的規(guī)范理論——量子色動力學(Quantum Chromodynamics，QCD)理論發(fā)展了很多研究強相互作用的唯象理論。其中，手征微擾理論系統(tǒng)考慮了手征對稱性及其自發(fā)對稱性破缺，可以成功的用于描述最輕的贗標介子之間相互作用，然而，由于該理論中拉氏量是對動量和質量微擾展開，因此并不能直接用于描述共振態(tài)的性質。手征幺正方法從手征微擾論得到的振幅出發(fā)，利用耦合道的李普曼-史溫格(Lipmann-Schwinger，L-S)方程來描述無窮多s道散射圈圖[1,2]。手征幺正方法在解釋和預言強子共振態(tài)的動力學性質方面取得了很多成功[1-4]。例如，手征幺正方法預言在Λ(1405)共振態(tài)質量附近有兩個非常靠近的極點，這也被大量實驗所證實，相關討論可以參考粒子數(shù)據(jù)組(Particle Data Group， PDG)關于Λ(1405)共振態(tài)的綜述介紹[5]。

本文結構如下，首先在第2節(jié)從希爾伯特空間定態(tài)散射過程導出L-S方程，然后在第3節(jié)將L-S方程推廣到耦合道情況，并導出B-S方程，第4節(jié)并討論了Λ(1405)的雙極點結構，最后為本文的一個總結。

2 定態(tài)散射過程中李普曼-史溫格方程

對于兩粒子的散射過程，入射粒子受到散射中心的作用，其相互作用可以用勢場V(r)描述。在實際散射過程中，勢場一般是連續(xù)且光滑的，在r→∞時，勢場很快趨于零。 當勢場V(r)不隨時間變化時，由于入射粒子具有確定的動量p，散射過程中能量是守恒量，這便是定態(tài)散射[6]。

在希爾伯特空間中，入射平面波φ滿足的薛定諤方程為

H0|φ〉=E|φ〉

(1)

其中，H0為入射粒子的哈密頓算符；E為入射粒子的能量。描述定態(tài)散射過程的薛定諤方程為

[H0+V(r)]|ψ〉=E|ψ〉

(2)

其中ψ為定態(tài)散射波函數(shù)。式(2)減式(1)，得到

[E-H0]|ψ-φ〉=V|ψ〉

(3)

為了求解該方程，需要將逆算符1/(E-H0)作用于方程兩邊，可以得到

(4)

需要注意的是，這里假設了逆算符1/(E-H0)是存在的。一般情況下，算符H0的函數(shù)也是算符，其本征矢可以由算符H0的本征矢定義，即

f(H0)|Ei〉=f(Ei)|Ei〉

(5)

由于逆算符1/(E-H0)在H0的本征態(tài)φ上會出現(xiàn)奇點，為了解決這個問題，將能量Ei擴大到復數(shù)域上，即式(4)可以改寫為

(6)

其中ε為一個無窮小量，在全部運算完畢后再取ε→0極限。原則上ε前面的符號可正可負。當ε前面符號為正時，格林算符為推遲格林算符，表示較早時刻的態(tài)對當前態(tài)的影響；當ε前面符號為負時，格林算符為超前格林算符，表示未來的態(tài)對當前的態(tài)的影響，即超前格林算符沒有物理意義[6]。其中將能量Ei擴大到復數(shù)域上的逆算符為格林算符，即

(7)

式(6)即為李普曼-史溫格(Lipmann-Schwinger，L-S)方程，該方程是與式(2)的定態(tài)散射的薛定諤方程完全等價。

為了將散射振幅表示為算符的矩陣元，定義算符T，滿足

T|φ〉=V|ψ〉

(8)

T算符又稱為躍遷算符。將勢能V作用于式(4)兩邊，并利用式(7)可以得到

(9)

由上式可以得到算符滿足的關系為

(10)

將上式中算符T進行迭代，有

(11)

該式為T算符的波恩級數(shù)，其對應無窮多s道散射過程。當散射勢能遠小于哈密頓H0時，上式右邊的后一項遠小于前一項。由右邊第一項算出的截面為一級波恩近似，由右邊前兩項算出的截面為二級玻恩近似。

3 L -S方程在耦合道中的應用

(12)

結合式(10)，可以得到散射振幅在相應耦合道中的矩陣元為

另外，公式(13)～(15)也可以表示為如下矩陣方程，

(16)

上式中第二項包含了對四動量q的積分(這里是在相對論框架下進行討論的)，

(17)

上式中k，p為散射過程中初態(tài)耦合道中兩個介子的四動量；k′和p′分別為末態(tài)耦合道中兩個介子的四動量。一般情況下，在計算式(17)中的積分時，矩陣元v和t均不在殼。不在殼部分的散射振幅的結構與樹圖振幅的結構相似，因此在實際的計算過程中，將不在殼部分的貢獻吸收到樹圖中，所以可以取矩陣元v和t都在殼[4]，這時式(17)可以簡化為

(18)

式(16)描述的耦合道散射過程可以用圖1表示。圖1(a)對應耦合道之間的散射振幅t；圖1(b)對應式(16)右側第一項所示的耦合道之間的相互作用勢v；圖1(c)對應于式(16)右側第二項的vGt(或vijGjjtjk)，其中矩陣元Gjj對應于第j個耦合道中兩個介子的圈圖傳播子，vijGjjtjk表示第i個耦合道中的介子對通過相互作用勢vij首先散射到作為中間態(tài)的第j個耦合道的介子對，之后再通過tjk轉化為作為末態(tài)的第k個耦合道的介子對。當把式(16)右邊的散射振福t進行迭代，就可以得到，

(19)

圖1 耦合道的散射過程

上式右側第n(n>1)項，代表包含n-1個s道散射圈圖的貢獻，即初態(tài)耦合道中的介子對通過n-1次重散射轉化為末態(tài)耦合道中的介子對。

需要注意的是式(17)和(18)中的矩陣元Gjj不再是由式(7)描述的格林算符給出的矩陣元，而是相對論情況下耦合道中兩個介子的圈圖傳播子[4]，由量子場論可得

(20)

式中，P為介子-介子耦合道系統(tǒng)的總的四動量；q為圈圖中其中一個介子的四動量。

(21)

將矩陣元v和t提到動量積分外面，由式(16)可以計算出散射振幅為

(22)

上式即為耦合道的L-S方程，又稱為Bethe-Salpeter方程。

(23)

在某些情況下，散射振幅第一黎曼面上會有實的極點，這對應于動力學產(chǎn)生的束縛態(tài)(1)此處所謂的束縛態(tài)，指的是其質量小于最低耦合道的閾值的態(tài)。。這些動力學產(chǎn)生的共振態(tài)與第i個耦合道的耦合常數(shù)gi可以通過計算散射振幅在極點位置的留數(shù)得到，即

(24)

一般來說耦合常數(shù)gi為復數(shù)。

4 Λ(1405)的雙極點結構

本節(jié)將從贗標介子和最低質量的八重態(tài)重子出發(fā)，利用B-S方程計算Λ(1405)的雙極點結構。首先，包含八重態(tài)贗標介子和JP=1/2+八重態(tài)重子的最低階相互作用拉氏量為[2]

(25)

符號〈〉代表對矩陣求跡，f為耦合常數(shù)，f=1.15fπ，fπ=92.4 MeV[2,7]。其中Φ和B分別為介子和重子的SU(3)矩陣元，

(26)

由式(25)可得到耦合道之間的最低階的相互作用勢能，

(27)

(28)

Mi和Ei分別為第i個耦合道中重子的質量和能量。

(29)

(30)

對于式(20)表示的圈圖傳播子，此處我們采用維數(shù)正規(guī)化的解析表達式[7]，即，

(31)

(32)

圖和πΣ→πΣ的散射振幅的模方

5 結語

手征幺正方法是從最低階的手征微擾理論得到的振幅出發(fā)，利用推廣到耦合道的李普曼史溫格方程來描述無窮多個s道散射圈圖，手征幺正方法在描述強子共振態(tài)的性質方面取得了成功。本文中，我們從希爾伯特空間的定態(tài)散射過程出發(fā)，首先介紹了李普曼-史溫格方程，然后推廣到耦合道的散射過程，并得到計算耦合道的散射振幅的Bethe-Salpeter方程，并介紹了散射振幅的極點與共振態(tài)的對應關系。最后，我們利用計算耦合道散射振幅的B-S方程計算了Λ(1405)的雙極點結構。