電動力學(xué)觀點下的高中物理電磁學(xué)典型問題研究

張 雪 王文濤 龍玉梅 鄭泰玉

(1東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林 長春 130024； 2東北師范大學(xué)附屬中學(xué)，吉林 長春 130021)

知識結(jié)構(gòu)是影響物理教師教學(xué)能力的關(guān)鍵因素之一，而物理教師知識結(jié)構(gòu)的核心內(nèi)容之一就是教師的學(xué)科本體知識。物理學(xué)科本體知識對教師的影響包括3個方面：一是，物理學(xué)科本體知識的水平?jīng)Q定著教師對物理學(xué)的理解，從而也決定著教師對物理教科書的把握和運用；二是，物理學(xué)科本體知識的理念影響著教師的物理觀念，從而影響著教師物理教學(xué)行為的選擇和調(diào)控；三是，物理學(xué)科本體知識的思想在哲學(xué)層面上規(guī)約著教師的世界觀和教育觀，從而規(guī)約著教師物理教學(xué)活動的價值取向和活動方式。

當(dāng)今學(xué)生接受知識的渠道越來越多，知識面越來越廣，學(xué)生的求知欲對教師的知識結(jié)構(gòu)提出了更高的要求。要想送給學(xué)生一碗水，教師必須有一桶水。教師的知識結(jié)構(gòu)越全面，才能居高臨下地指導(dǎo)學(xué)生，讓他們抓住問題的實質(zhì)。因此，物理教師要盡可能地站在高觀點下(即大學(xué)電動力學(xué)角度)審視中學(xué)物理的內(nèi)容，加強挖掘中學(xué)物理問題背后隱藏的知識，從而提高自己的物理素養(yǎng)，形成全面、扎實、靈活的學(xué)科知識結(jié)構(gòu)。

下面結(jié)合教學(xué)中遇到的具體問題，談一談如何在電動力學(xué)觀點下對中學(xué)物理電磁學(xué)典型問題進(jìn)行深入研究。

問題一 帶同種電荷的物體一定相互排斥嗎

我們知道“同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引”指的是點電荷。但在實際教學(xué)中，一些教師和學(xué)生往往會認(rèn)為“帶同種電荷的物體相互排斥，帶異種電荷的物體相互吸引”。真的是這樣嗎？在不考慮萬有引力和磁力，僅考慮物體所帶電荷之間的相互作用力的情況下，我們來看這樣一個問題。

見圖1，一個半徑為R的金屬球帶正電，其電荷量為Q，將電荷量為q的一個正點電荷放在離球心a處，試求球上電荷作用在q上的力。

圖1

解析解答該問題需利用鏡像法，下面通過一個模型介紹鏡像法。

半徑為R的接地金屬球外有一電荷量為q的點電荷，點電荷與球心O相距a，如圖2所示。金屬球靠近點電荷一側(cè)將出現(xiàn)負(fù)感應(yīng)電荷，感應(yīng)電荷是面電荷。我們能否用假想點電荷q1來等效替代金屬球上的感應(yīng)電荷呢？根據(jù)對稱性，q1應(yīng)在Oq連線上，如圖3所示。在q和q1的共同作用下，球面上任一點P的電勢都為零，則

圖2

圖3

式中，r為q到P的距離；r′為q′到P的距離。因此對球面上任一點，有

(1)

選擇q1在合適的位置使△Oq1P與△Opq相似，則

(2)

設(shè)q1距球心為b，兩三角形相似的條件為

則

(3)

聯(lián)立(1)、(2)兩式，得

(4)

由式(3)、(4)可確定假想點電荷q1的位置和大小。

圖4

則

整理，得

(5)

第一種情況，從數(shù)學(xué)上看，對于給定的q、R、a來說，只要Q足夠小，式(5)總可以滿足。從物理上看，當(dāng)Q足夠小時，Q對q的排斥力小于感應(yīng)電荷對q的吸引力，則q受到金屬球上電荷的總的作用力仍為吸引力。

第二種情況，從數(shù)學(xué)上看，a-R很小，即式(5)右端分母很小，因而式(5)可以得到滿足。從物理上看，只要q距球面足夠近，即球上感應(yīng)出來的負(fù)電荷離它很近，雖然整個球的總電荷是正的，但q還是有可能受到金屬球的吸引力。

“同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引”是電荷之間相互作用的一般規(guī)律，而非帶電體之間相互作用的一般規(guī)律。當(dāng)兩個帶電體間距很小，不能再視為點電荷，而應(yīng)考慮其電荷分布及各部分電荷的受力情況時，帶同種電荷的物體之間就可能產(chǎn)生引力了。

速度選擇器是中學(xué)物理中涉及的一種重要儀器，與其直接相關(guān)的物理學(xué)原理便是帶電粒子在復(fù)合場中的運動。然而在實際教學(xué)中，大多數(shù)教師在對其選擇原理的理解與講授時不夠清晰明了。

圖5

列出粒子的運動學(xué)方程，求解其運動軌跡。建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)t=0時，粒子所處位置為原點O。

圖6

粒子所受的力為

其中i、j、k分別是x、y、z軸正方向上的單位矢量。則粒子的運動微分方程為

對式(7)微分，得

(8)

將式(8)代入式(6)，整理得

(9)

解得

(10)

將式(10)微分后代入式(7)，得

(11)

因為t=0時刻，vx=v，代入式(11)，得

(12)

所以

對式(13)和式(14)分別積分，得

圖7

圖8

圖9

圖10

問題三 帶電小球是否受洛倫茲力

在高中階段，運動電荷在磁場中受到的力稱為洛倫茲力。電荷量為q的粒子以速度v運動時，如果速度方向與磁感應(yīng)強度B方向垂直，那么粒子受到的洛倫茲力的大小為F=qvB。關(guān)于“洛倫茲力”的教學(xué)，常常遇到一些容易混淆的概念問題，例如，洛倫茲力中電荷的運動速度v是相對于什么參考系的速度？一般書上只是說，v是電荷q在磁場中的運動速度。而在實際中，存在下面兩種觀點。

觀點一：洛倫茲力F=qvB中的v是電荷相對于磁場B的速度；

觀點二：洛倫茲力F=qvB中的v是電荷相對于觀察者的速度。

那么，這兩種觀點哪一個是正確的呢？我們來看下面的模型。

圖11

如圖11所示，有界勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B0，方向垂直紙面向內(nèi)(俯視圖)。當(dāng)磁場以速度v0(?c)勻速向右平移，通過一水平光滑絕緣的細(xì)桿時，桿上套有一個電荷量為q(設(shè)q>0)的小球，則帶電小球是否受洛倫茲力？

持觀點一的人認(rèn)為：當(dāng)磁場以速度v0勻速向右平移時，可以看作帶電小球相對磁場以速度v0向左運動。因此，小球受到洛倫茲力的作用。

持觀點二的人認(rèn)為：因為在物理學(xué)中，場這類非實物物質(zhì)不能夠充當(dāng)參考系，“相對于磁場的速度”是沒有意義的，應(yīng)理解為“相對于觀察者的速度”。該模型中，盡管磁場向右運動，但小球相對于觀察者靜止，故不受洛倫茲力。

那么帶電小球是否受洛倫茲力呢？要弄清這個問題的本質(zhì)，必須用電動力學(xué)的相關(guān)規(guī)律進(jìn)行分析。由電動力學(xué)的基本方程式可知，帶電粒子在電磁場中運動時，所受的作用力為

F=qE+q×B

這個公式被稱為洛倫茲力公式。它包括兩部分：一部分是電場力qE，另一部分是磁場力q×B(即中學(xué)階段所認(rèn)為的洛倫茲力)。理論和實驗都已證明，洛倫茲力公式中的速度是相對于觀察者的，而不是相對磁場的，E和B也是相對于觀察者而言的。在應(yīng)用這個公式時，首先要明確在哪個慣性參考系中。在不同的慣性參考系中，、E和B是不同，必須先變換，再代入公式。那么在有界勻強磁場以速度v0勻速向右平移的過程中，小球的受力情況如何呢？下面作進(jìn)一步分析。

如圖12所示，有兩個慣性系Σ、Σ′，Σ系靜止，Σ′系相對于Σ系以速度v0勻速向右運動。

圖12

選Σ′系固定在磁場上，磁場方向為y′軸負(fù)方向。位于Σ′系的觀察者認(rèn)為，這個磁場是靜止的，在其周圍空間只存在靜磁場，其電場強度和磁感應(yīng)強度分別為

在Σ′系上觀察，小球以大小為v0的速度向x′軸負(fù)方向運動，其受到的磁場力大小為qv0B0，方向沿z′軸正方向。

由于不同參考系中所觀測到的電磁場情況并不完全一致，一個參考系中僅存在磁場，在另一個參考系中看來，還可能會存在電場。位于Σ系的觀察者認(rèn)為，磁場勻速向右運動，在其周圍空間既存在電場，又存在磁場。由不同參考系之間的非相對論電磁場的變換公式

可得Σ系中的電場強度和磁感應(yīng)強度分別為

即Σ系中的觀察者認(rèn)為，空間同時存在沿z軸正方向的電場Ez=v0B0和沿y軸負(fù)方向的磁場By=-B0。在Σ系上觀察，小球靜止，即速度v=0，則小球不受磁場力而受電場力，大小為qv0B0，方向沿z軸正方向。

由此可見，在Σ系和Σ′系中，帶電小球受到電磁場的作用力大小和方向是相同的。在Σ′系中，帶電小球受到的是洛倫茲力的磁場力部分；而在Σ系中，帶電小球受到的是洛倫茲力的電場力

部分。

除此以外，還有許多類似的問題需要探討。本文旨在引導(dǎo)中學(xué)的一線教師，要終身學(xué)習(xí)，不斷重溫大學(xué)的物理課程，尤其引導(dǎo)物理專業(yè)的師范生要認(rèn)真學(xué)好課程，提高自身的物理素養(yǎng)，能站在高觀點下(即大學(xué)電動力學(xué)角度)審視中學(xué)物理的內(nèi)容，解決教學(xué)中難題。