符合“歐氏幾何”的洛倫茲變換圖示法的設計

劉 遠

(《山東財經大學學報》編輯部，山東財經大學，山東 濟南 250014)

洛倫茲變換是相對論理論的重要內容，其變換公式及物理圖像通常用一個光錐來表示。閔可夫斯基時空圖是最常見的洛倫茲變換的圖示法，鄧魁英[1]通過閔可夫斯基時空圖實現(xiàn)洛倫茲變換的幾何導出。梁燦彬[2]總結這種作圖方法：“要先選一個慣性系作標準(t軸和x軸分別畫成豎直和水平)”，即只能有一個以直角坐標系表示的參考系，這是特殊的“閔氏幾何”，魏益煥[3]驗證“歐氏空間”的圓對應“閔氏空間”的雙曲線。初學者往往不習慣“閔氏幾何”作圖，而需要借鑒其他圖示法來理解洛倫茲變換，如繆勁松[4,5]介紹狹義相對論的物理現(xiàn)象，采用了多種示意圖。

對這一問題，黃獻民[6]提出將時空圖畫成對稱的特例，黨興菊[7]設計了斜交坐標軸時空圖。在此基礎上，文章嘗試設計符合“歐氏幾何”的洛倫茲變換圖示法。

1 簡化洛倫茲變換

按照張元仲[8]討論，建立有特殊設計的兩慣性參考系：S′系沿S系x軸正方向以不變速度運動，兩參考系在各自零時刻重合(即時空軸重合)。對兩參考系，僅討論時間和沿運動方向的空間，以x、x′表示空間坐標，使用特殊的時間坐標(單位：米)

其中t0、t′0為通常的時間。設兩參考系相對速度為u，c為光速，設有角度μ，使

sinμ=u/c

可將洛倫茲變換逐步簡化過程如下：

經過類似步驟，將洛倫茲變換的4個公式改寫為

因其能被改寫為以上幾何函數(shù)形式，故可以設計符合“歐氏幾何”的圖示法來表示洛倫茲變換。

2 圖示法的設計過程

2.1 x′=0條件下的洛倫茲變換圖示法

將x′=0代入洛倫茲變換，設t′為任意值t′1，得到式(1)、式(2)

式(2)表示：當S系t時刻，S′系空間坐標零點的S系空間坐標為t×sinμ。

由以上兩式，x′=0條件下，可構造x和t′1為兩直角邊，t為斜邊的直角三角形，如圖1所示。

圖1 x′=0條件下的洛倫茲變換示意圖

2.2 x=0條件下的洛倫茲變換圖示法

將x=0代入洛倫茲變換，設t為任意值t1，得到式(3)、式(4)

圖2 x=0條件下的洛倫茲變換示意圖

圖2中三角形CBE可表示火車觀察月臺。按照日常生活經驗，當月臺上的接站人看到行駛中火車的尾端車廂里的乘客時，乘客自然也可以看到接站人，按照洛倫茲變換則不同。從洛倫茲變換，月臺上的S系觀察者在t1時刻，會看到火車尾端車廂的掛鐘指向t′1，但這是一種單方面的觀察。如果月臺上的接站人此時向火車揮手，在S′系t′1時刻，火車上的乘客能看到嗎？從洛倫茲變換，他不能。

2.3 一般性的洛倫茲變換圖示法

設x、t為任意值(x1,t1)，代入洛倫茲變換，得到

(9)

(10)

圖3 一般性的洛倫茲變換圖示法

3 “異地同時性的破壞”“長度收縮”的圖示法

設t′為定值t′2，代入洛倫茲變換，得到

由上式，當t′為定值t′2，x和x′一一對應，當x增大，x′也增大；x和t一一對應，當x增大，t也增大。“火車—鐵軌”模型中，這相當于火車上的乘客在t′2時刻拍攝的一幅鐵軌、月臺和火車的照片。當照片中某節(jié)鐵軌上掛鐘指向t2時刻，想知道這是哪段鐵軌(求x)、對應哪節(jié)車廂(求x′)，可由圖4表示。

圖4 定值t′2條件下，兩特定事件的洛倫茲變換示意圖

圖4中，易知E和H的S′系空間坐標相同，即

因此，對E的S′系空間坐標與H′的S′系空間坐標之差，有

4 結語

本文設計圖示法以符合“歐氏幾何”的形式表示洛倫茲變換和狹義相對論的各種物理現(xiàn)象，可作為初學者和愛好者學習中的借鑒。最后需要指出，論文討論的僅是一維空間、一維時間的洛倫茲變換，洛倫茲變換的核心在于變換要保持兩個慣性系光速不變，因此三維空間的旋轉，也是一種洛倫茲變換。更為廣義的空間反射、時間反演等分立變換都可以保持光速不變，因此也都可以看做是洛倫茲變換。

論文寫作和修改過程中，先后得到山東財經大學李秀榮教授、山東建筑大學郝懷杰教授、山東大學許心光教授提出的寶貴意見，以及編輯和審稿人對本文的修改意見，在此表示感謝。