費馬原理在旋轉二次曲面理想成像中的應用
——主軸上物點

萬建杰 趙鑫婷

(西北師范大學物理與電子工程學院，甘肅 蘭州 730070)

費馬原理即光沿光程為極值的路徑傳播，其數學公式為

(1)

筆者在文獻[1]和文獻[2]中給出了直接應用費馬原理推導得到主軸外物點經過球面界面反射和折射的會聚光線方程和發散光線方程的一般過程。另外，文獻[3]研究了旋轉二次曲面的成像公式，具體推導了凸曲面折射的會聚光線方程及相應的物像公式，然而并未對會聚光線和發散光線作出區分。

本文將從新笛卡爾坐標系[4，5]出發，直接應用費馬原理，討論主軸上物點經旋轉二次曲面反射和折射過程中產生的會聚光線和發散光線。

1 主軸上物點的旋轉二次曲面反射

1.1 凹曲面反射的會聚光線

(2)

由于

(3)

圖1 主軸上物點的凹曲面反射

(4)

光程可以寫成

(5)

先將式(5)對φ求導，即

(6)

(7)

根據費馬原理，要使式(7)對任意φ都成立，只需

(8)

考慮到

即

(9)

或

(10)

此即主軸上物點凹曲面反射的會聚光線方程，該結果與文獻[3]的式(17)略有不同。另外，當偏心率e=0時，凹曲面反射的會聚光線方程退化為凹球面反射的會聚光線方程[1, 4，5]。

1.2 凸曲面反射的發散光線

(11)

由于

(12)

圖2 主軸上物點的凸曲面反射

(13)

則

(14)

先將式(14)對φ求導，即

(15)

(16)

根據費馬原理，要使式(16)對于任意φ都成立，只需

(17)

或

(18)

此即主軸上物點經凸曲面反射的發散光線方程。可以看出，該方程與主軸上物點經凹曲面反射的會聚光線方程式(9)或式(10)不同。另外，當偏心率e=0時，凸曲面反射的發散光線方程退化為凸球面反射的發散光線方程[2]。

1.3 旋轉二次曲面反射的理想成像

1) 凹曲面鏡會聚光線的理想成像

在近軸光線條件下φ很小，因此

代入式(10)可得

(22)

即

(23)

上式即旋轉二次曲面反射的實像物像公式。

2) 凸曲面鏡發散光線的理想成像

在近軸光線條件下φ很小，因此

代入式(18)可得

(27)

即

(28)

上式即旋轉二次曲面反射的虛像物像公式，在新笛卡爾坐標系中的物像公式(27)與實像物像公式(22)完全相同。可以看出，當偏心率e=0時，式(22)和式(27)即成為球面界面反射的物像公式[1，2,4，5]。當e=1時，可得出旋轉拋物面反射的物像公式，焦點恰好是拋物面頂點O的曲率中心C。

2 主軸上物點的旋轉二次曲面折射

2.1 凸曲面折射的會聚光線

(29)

圖3 主軸上物點的凸曲面折射

由于

則

(32)

先將式(32)對φ求導，即

(33)

(34)

根據費馬原理，要使式(34)對任意φ都成立，只需

(35)

或

(36)

此即主軸上物點凸曲面折射的會聚光線方程，與文獻[3]的式(5)一致。當偏心率e=0時，凸曲面折射的會聚光線方程退化為凸球面折射的會聚光線方程[1, 4，5]。

2.2 凹曲面折射的發散光線

圖4 主軸上物點的凹曲面折射

(37)

其中，p為半正焦弦。由于

光程可以寫成

(40)

先將式(40)對φ求導，即

(41)

(42)

根據費馬原理，要使式(42)對任意φ都成立，只需

(43)

即

(44)

或

(45)

此即主軸上物點經凹曲面折射的發散光線方程，可以看出，該方程與主軸上物點經凸曲面折射的會聚光線式(35)或式(36)明顯不同。另外，當偏心率e=0時，凹曲面折射的發散光線方程退化為凹球面折射的發散光線方程[2]。

2.3 旋轉二次曲面折射的理想成像

1) 凸曲面折射會聚光線的理想成像

在近軸光線條件下φ很小，因此

代入式(36)可得

(49)

即

(50)

上式即旋轉二次曲面折射的實像物像公式。

2) 凹曲面折射發散光線的理想成像

在近軸光線條件下φ很小，因此

代入式(45)可得

(54)

即

(55)

上式即旋轉二次曲面折射的虛像物像公式。可以看出，在新笛卡爾坐標系中，旋轉二次曲面折射的實像和虛像物像公式具有相同的形式。另外，當偏心率e=0時，式(49)和式(54)退化為球面界面折射的物像公式[1-2,4-5]。

3 總結

本文運用費馬原理直接推導得到了主軸上物點經旋轉二次曲面反射和折射過程中產生的會聚光線和發散光線滿足的幾何關系，然后在近軸條件下得出旋轉二次曲面的物像公式。結果表明凹曲面反射的會聚光線和凸曲面反射的發散光線滿足不同的光線方程，凸曲面折射的會聚光線和凹曲面折射的發散光線也滿足不同的光線方程。然而，在近軸條件下反射過程的(實像和虛像)物像公式和折射過程的(實像和虛像)物像公式在新笛卡爾坐標系中都分別具有統一的形式。特別地，當偏心率e=0時，旋轉二次曲面退化為球面界面，相關方程也都退化為球面界面的光線方程和物像公式。

另外，根據文獻[1,2,4,5]可以看出，當n′=-n時，凹球面折射發散光線方程變為凹球面反射會聚光線方程，而凸球面折射會聚光線方程變為凸球面反射發散光線方程，并且球面折射物像公式也會變成球面反射物像公式。同理，我們發現對于旋轉二次曲面而言，當n′=-n時，凹曲面折射發散光線方程變為凹曲面反射會聚光線方程，而凸曲面折射會聚光線方程變為凸曲面反射發散光線方程，并且旋轉二次曲面折射物像公式也變成相同曲面的反射物像公式。