指南車廣義運動方程的創建

鄧崇林

(獨立研究員)

1 淺談指南車的來歷

指南車這個人造的物理系統是本文的研究對象，想來很多人對此都是一知半解。在本文開始深入探討之前，先簡單回顧指南車的來歷。指南車是中國古代的偉大發明之一，也是華夏文化重要遺產之一，在《古今注》及《志林》等中國古籍的記載中，相傳四千多年前東方一帶的九黎族，為了與炎帝爭奪黃河下游地區，為首的首領蚩尤帶領九黎族進入中原，并把炎帝趕到涿鹿，于是炎帝向黃帝求救。黃帝聯合統帥炎帝等部落，與蚩尤戰于涿鹿之野，然而蚩尤善用濃霧，使黃帝的部隊迷路陷入險境。黃帝為了克服霧中作戰的困難，發明了“指南車”以辨別方向，最終成功突破濃霧的重圍，戰勝蚩尤，史稱“涿鹿之戰”，是中國古代歷史上一個標志性的重大事件。

指南車乃黃帝與蚩尤之戰為破大霧迷陣的一項發明。該車上有一木童，在出發前，令其手指南方，當車啟程后，由于車內設有機關，能使該木童手指方向并不隨車行進轉彎而變，因而有了指向功能，又因其專司指南，又謂“司南”。現代研究者一般皆以齒輪系復原指南車，普遍認為黃帝時代并未發明齒輪，何來指南車，因此傳說不可信。雖然傳說不可考，但傳說并沒用一般神話手法講述涿鹿之戰，而是憑借著發明物“指南車”協助作戰，言之有物，況且現代已經有人發明了完全沒用到齒輪，而是使用了斜面、杠桿與曲軸等很原始的簡單機械做出指南車[4]，因此，傳說是可信的，然而這個問題，應該留給考古學家去傷腦筋。接下來，還是回到指南車有關其運動現象的研究吧。

2 研究動機與方法概要

關于大小近乎零的微型指南車之功能屬性，已經由文獻[1,2]證得它是一臺能夠在曲面上遂行向量平行移動的機器，然而這只完成了該車作用在曲面上的定性分析，卻沒有對其運動現象進行更深入的定量探索。前人遺珠后人拾穗，本研究將加以完善前人階段性成果，以方程為主體思路，發現在純滾動下，指向器表征的向量經平行移動后，測地曲率會造成其方向發生偏轉現象，進而創建微型指南車之廣義運動方程。如將作用曲面退化成平面時，該廣義運動方程也隨之簡并成一般在平面上的運動方程。相較于曲面上廣義運動方程的微分形式，其另有對封閉路徑積分形式的相位方程，這部分已于文獻[3]里推導立論。另，本文末尾會以一般指南車行進在平面上以及在球面緯圓上，進行曲、平面兩類不同性質的實驗，依此驗證理論的正確性。

在進行研究探索之前，除前面提到的純滾動條件之外，有些前提假設在這里補充說明，本文立論都是基于這些假設。由于本研究乃以運動學為基礎分析指南車的運動現象，即把一般指南車視為理想剛體同時不考慮指南車重量、施力、轉動慣量、力矩等力的作用，加上文獻[4]里所提到有關機械線性組件、車輪直立平面、輪軸與指向器平行于地面運動等諸多約束條件，在進行理想化之后，便能簡化讓指南車形同剛體的平面運動，而指向器的任意轉動，將原本由歐拉角表征的章動、進動和自旋3部分運動，跟著退化只剩自旋。至于行駛在曲面的運動情況，因為微型指南車的大小近乎零，同時也滿足前述理想化條件，所以可看成是個帶有自旋的質點，又由于這是將平面情況加以推廣，因而特稱為曲面廣義運動，該廣義一詞并非指廣義坐標，其乃借鑒廣義相對論名稱中的“廣義”(general)是也，此外，指南車曲面廣義運動還真的與廣義相對論有那么一點點微妙關系，其中的平行移動就是它們的共通紐帶，而且都會牽涉到彎曲空間里的運動情況，也都要考慮空間退化的議題。

另，由文獻[4]指南車控制理論得知，指南車除了有制造上的系統誤差之外，它還無法克服車輛行進間地面顛簸或光滑所產生的誤差，總之(1)輪打滑則輪多轉，從而導致指向精度更差；(2)車跳動則車多轉，從而導致轉彎精度更差；(3)現實工藝非線性，從而導致構件精度變差等無法消除的三差環節，導致不可能將近似理想化指南車化為現實，換言之，在現實環境下為指南車進行定量實驗是沒有實質意義的，這也就是為什么一般指南車設計文獻并不討論其定向能力精度的重要因素，因此，本文在第6節中于緯圓上進行的指南車實驗，也局限于定性方面的演示，至于定量方面的演示，在不追求精度下可參考文獻[3]里的指南車平行動移整合實驗儀，它能進行指南車、物理與幾何、靜態與動態的整合實驗，能夠實時觀察曲面圖紙上向量方向與指南車指向器的偏轉變化的一次到位整合性實驗，并依靠曲面圖紙上的向量箭頭符號所代表的方位角刻度，能給出指南車指向器的定量角度，后續還會提到。至于要有良好精度的指南車運動量化量測，在現實里是無法實現的，只能靠計算機模擬出精確的向量平行移動，本研究后續也會做出計算機模擬，該動畫可在其參考文獻中直接執行。

3 曲面上原地打轉的微型指南車

今有一緊致定向曲面S，存在弧線元素第一基本形式為：ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2的參數坐標網(u,v)，現我們操作一臺微型指南車，并利用其能遂行向量平行移動的此一特性，令其純滾動行駛于前述二維曲面上的局部區域，讓車中央劃過曲面上一條路徑之正則曲線C，且車頭方向永遠保持與行駛路徑相同方向。這就等同于該路徑曲線上的切向量，其車架就相當于一個行駛路徑上該點的切平面，那么車上指向器就坐落在這個切平面上，而該指向器可看成是此切平面上的單位向量，使得這車平臺中央都會接觸到行經路徑曲線上的一點。那么，此車劃過曲線在該點的測地曲率kg可表示為下列克氏符號(Christoffel symbols)相關的Beltrami公式[5-7]

(1)

由于克式符號屬曲面的內蘊性質，而上述式(1)測地曲率公式只與克式符號和曲面第一基本形式有關，因此，測地曲率與坐標基底選取無關，實屬曲面的內蘊幾何量[8]。又該曲面S的度量張量為

(2)

(3)

如果曲面參數化改采正交坐標網，也就當F=0時，則所有克氏符號各分量與第一基本形式的參數關系式如下[10]：

(4)

現令該微型指南車在原地打轉Δθ，由于曲面屬黎曼流形，流形上每一點的有限鄰域不一定是“平”的，然而當這個鄰域夠小時，是可以當成平面來看，能滿足歐氏幾何三角形三邊的勾股定理，此時的曲面參數坐標網(u,v)在該點之式(1)測地曲率并不會對原地打轉的指向器造成影響，所以當車頭原地拐角產生Δθ的幾何相位變化時，指向器會隨之轉動Δφ，兩者運動關聯可表成下列的關系式：

Δφ=-Δθ

(5)

上式等號兩邊同時對時間微分，則可描述微型指南車的原地補轉運動現象，就如同一般指南車在平面上的運轉情況，其指向器會以車頭旋轉方向同時做等量反轉，使得指向器方向沒變，只有車頭在轉，這也就是式(5)中負號所起的作用，這在后續探索指南車平面運動時還會深入討論。

4 創建曲面上指南車的運動方程

當車頭停止拐角之后，此微型指南車所在曲面局部區域改采半測地坐標網，則該曲面有第一基本形式為：ds2=du2+Gdv2，且車頭將沿著v坐標線行駛，那么沿C曲線行進的指向器向量之各分量ξk必須滿足平行移動方程，其分量公式如下所示[11]：

(6)

(7)

(8)

以上推得指向器隨路徑的方向轉變量|dφ/ds|，正是沿該路徑各點的測地曲率kg，其負號表示相對于行駛路徑偏轉的反方向。此外，前述推導雖是基于半測地坐標網以及特定路線的選用，然著實與微分幾何專書[12]所得結果殊途同歸，同樣指出向量在曲線上平行移動時將伴隨著方向偏轉，且其背后唯一成因是測地曲率。又，該專書是以測地曲率定義結合向量運算方式得到上述式(8)的異曲同工推論，這也額外左證了測地曲率的確是個與坐標選取無關的不變量(invariant)。現把式(5)對時間微分以及將式(8)重新整理得出微型指南車的曲面廣義運動方程如下：

(9)

查式(9)之隨行運動方程，會發現其運動與所耗時間多寡毫無關聯，此時，微型指南車其指向器偏向角隨運行路徑的微分變量，是完全依據微型指南車行經該曲面路徑上的測地曲率來描述其運動現象，這是純然的幾何效應。另查式(9)之拐角運動方程，由于指向器是反車頭打轉方向進行等量的自旋運動，方向上因車頭打轉所生的虧角能立即完全得到補償而不發生變化，保證了其方向固定不變，同時，也可從式(5)知車頭原地拐角Δθ時，表示曲線切線方向的幾何相位也產生等量變化。

5 創建平面上指南車的運動方程

圖1 取自文獻[1].B.1.指南車在平面上小轉彎示意圖

這里暫且撇下方向只看相關量的變化，首先來建立前述(1)、(2)情況與指南車的關聯性。由于曲面上曲線的“測地曲率”，是平面曲線其“曲率”的推廣[13]，反過來說，就是當曲面退化成平面時，測地曲率kg就會變成一般的曲率κ[14]。又由物理直觀得知，在同一小段時間內，上述3種情況是同時發生的，而且前兩種情況有共同的曲率中心，這同時，指南車車架中央指向器也會自旋δΨ，因此，曲面上的式(9)之隨行運動方程也會退化演變成下列平面上中央弧線曲率κ與指南車兩輪行程差的關系式：

(10)

以上算式表明中央弧線線素與曲率的乘積，等于一般指南車在平面純滾動行駛時，其內部機構能將左右輪之行程差變成指向器轉角δΨ的證明，這正是那個由車輪直徑等于兩輪間距又等于2ε所建構而成的Lanchester型指南車機構之運轉公式[1]。這有雙層意義，第一層表示一般指南車兩輪行進劃過平面的雙軌等距曲線，可以改用由車架中央微型指南車劃過平面的單條路徑曲線來取代，因此，一般指南車車心與車頭連線方向就是該中央曲線的切線方向，換句話說，曲面上退化的隨行運動方程是可以描述一般指南車在平面上小轉彎的運動現象；第二層則是微型指南車其指向器運動現象，是等同于一般指南車中心之指向器運動現象，都擁有隨行轉角的共同基因，也就是平面上微型指南車與一般指南車這兩者是等效的。余下的問題是，該如何正確描述其指向器轉角的運動現象。

現在定義一般指南車右左輪子相對輪軸心的旋轉角速度ωi≡d(si/ε)/dt,i=R,L，以及定義θ為車架以車心到車頭為準的方向旋轉角度，并令指南車以車架中心為圓心做原地旋轉一圈行打轉動作，又車輪轉一圈所走的長度為2Rπ，且兩輪間距L=2R=2ε，而車輪轉一圈所走的長度剛好是輪車架繞滿車心一圈的圓周長(Lπ=2επ)。所以當車輪以輪軸心自轉一圈，這同時輪車架也繞車心公轉一圈，也就是兩者具有完全同步化且相等的角速度，若對時間微分，則有ω=dθ/dt。又由于兩側車輪需反向等量的轉速才能原地打轉，且令左輪之ωL=ω，那么車架做原地旋轉的另一側右輪角速度則為ωR=-ω，代入式(10)，可得指向器轉角Ψ與車架原地打轉θ的關系式為

(11)

前述是指向器補償自旋、車輪自轉與繞車心圓周運動此3者同步的特征，完全符合實際運動現象，所以車輪以輪軸心自轉一圈，同時輪車架繞車心公轉一圈，恰好指向器也反向自旋一圈(相對于車架)，是同時開始進行也同時繞滿一圈之故，其中，輪車架公轉與指向器反向自旋剛好相互抵消，使得指南車具有指向不變作用。此處計算是居于車架原地打轉的結果，直覺上，式(11)乃是指南車平面運動中的一個特例，我們要問果真是如此嗎？是否另有文章，這得繼續深究下去尋找答案。

設T(s)是曲線C的單位切向量場，s是弧長參數，用δθ表示向量T(s) 與T(s+δs) 之間微小弧長變化下的微小夾角，也就是車架轉向的微轉角，又文獻[15]對曲率可定為κ(s)=|T′(s)|=|dθ/ds|，它表征著平面曲線的彎曲度，也就是曲率度量了曲線在兩鄰近點之切向量其間夾角對弧長的變化率。此時將該公式代入到式(9)之隨行運動方程同時對時間取微分，可得到退化的隨行運動方程式為

(12)

上式原本是將與路經有關的隨行運動方程代入運算，結果弧長參數居然消失了，即此運動方程與坐標選取無關，也與路徑無關，當然也就與曲率無關。不僅僅如此，連整個方程都與原地打轉的式(11)一模一樣，于是原本用于曲面上的兩個運動方程式(9)，若退化成平面，那么將簡并為單一個運動方程，現加入方向考慮，也就是，車架打轉與指向器自旋是等量反向關系，于是重新整理如下：

(13)

圖2 在平面上任意行駛

圖3 與任何行經路徑無關示意圖

圖4 原地打轉方向不變

上式運動方程表明，等號前面左項之車架轉向的角速度dθ/dt與右項之指向器的角速度dΨ/dt等兩者之和永遠為零，無論指南車運動狀態是原地打轉或是任意行駛，只要當車架轉向產生角速度變量，這同時，其指向器會反車頭旋轉方向做等量反轉的角速度，這兩項運動現象疊加起來剛好相互抵消，這樣就能讓指向器一直保持所指定的方向。從式(13)中可觀察到，此運動方程與坐標基底選取無關，也與行駛路徑無關，這就是一般指南車在平面上進行任何運動時，其指向器絲毫不受影響并一直保持特定方向的密秘所在。指南車無論在平面上原地打轉或任意行駛，基于其自身機械機構的補償旋轉作用[4]，讓指向器就如同一般向量在歐氏幾何平面里任意自由平移，因此特稱式(13)為平面上指南車的“自由平移方程”。圖2與圖4是指南車在平面上任意行駛的實際實驗照片，其指向器始終保持固定方向，與任何行經路徑無關，就像圖3的示意圖，其運動與原地打轉無異。由于此處物理系統是選取指南車一整體的運動，因而其輪子、機構等運作細節被當成似內力傳遞般不做表述。

回顧第2節中所說的，在理想化條件下，能簡化讓指南車形同剛體在平面上的運動，根據運動的疊加原理，剛體平面運動可看成是剛體的平動與轉動的疊加，又前述式(12)已證得指南車在平面上的運動完全與選取路徑無關；或者，采另外一個觀點，由于平面時克氏符號為零，使得直角坐標中平行移動任一向量V的協變導數將縮減成只有一項：dVi/ds=0，這也充分證明了此時的向量平移移動與路徑毫無關聯，這與圖2至圖4之指南車平面運動的觀察十分吻合，同時也驗證了指南車平面運動是其曲面平行移動的特例。以第5節這樣分析指南車在平面上的運動現象，就能再次化簡成剛體在平面上如式(11)的轉動而已，于文獻[4]中就是采此條件另用控制理論證明任何一種車軸輪徑比例設計的指南車在平面上運動都遵守著式(13)自由平移方程，這是一般認知的經驗公式。

6 緯圓上的指南車實驗

在這個例子中，我們感興趣的是微型指南車繞某個閉曲線尤其是在單位球面緯圓作平行移動一周之后，經式(9)之隨行運動方程主導下，其指向器所表征的向量方向或幾何相位的變化。首先選用球極坐標系(θ,φ)，其第一基本形式為：ds2=dθ2+sin2θdφ2，其中θ是極角，與緯度λ的角度變換為：λ=π/2-θ，這使得cosθ=sinλ兩者成余角關系，則其度量張量可表成下列關系式：

(14)

由式(14)知E=1,F=0且G=sin2θ，再代入式(4)中便可求得球面上微型指南車式(9)之隨行運動方程中測地曲率所需的相關克氏符號系數為

(15)

今微型指南車行經緯圓曲線是沿著v=φ(s) 坐標線，使得u=θ是常數值，那么其測地曲率可從式(3)中化簡為

(16)

又，緯圓的弧長元素為ds=sinθdφ，經式(9)之隨行運動方程對封閉路徑作線積分，就能計算出向量于北緯λ平行移動繞該緯圓一圈后指向器之方向變化量或幾何相位如下：

(17)

從理論上推導便知該當如何操作微型指南車，使其指向器向量圍繞單連通區域的閉曲線作平行移動，但其微型化在實務上往往并不是那么容易成為現實。所幸球面的對稱性與指南車中心相對于兩側雙輪具左右對稱性，只要指南車相對球面是夠小的話，其實這個指南車操作式實驗證明是容易實施的。在本文段落下方圖5至圖9布置了此項實際實驗經過照片，正是拿一般指南車置于夠大的地球儀上，且車架中心恒對準北緯30°線，只要穩當操作，讓指南車純滾動向東行駛一圈后，可以觀察到指南車上頭的指向器會順時鐘方向轉180°，與前述理論推算值Ψ=-2πsin(30°)完全吻合。另，這個指南車在球面上的操作式實驗，也能給出傅科擺擺面進動的理論與實驗證明[3]。若在北緯48.8°巴黎做傅科擺實驗一天偏轉約270°，當然用指南車也能做出同效演示。雖然傅科擺是一種動態的物理系統，綜合來看，它確實具有物理與幾何更深層的連結，研究[16-19]指出不同緯度傅科擺擺面周期互異，其擺面一天幾何相位也是一樣同式(17)的數學模式：Ψ=-2πsinλ。另，傅科擺在巴黎展出的第二年，傅科更發明了機械式的陀螺儀來證明地球自轉[20]，當陀螺儀里的轉子高速轉動時，由于角動量守恒使其軸永遠指向一固定方向，這和傅科擺的擺面向量是相通的，他用希臘字根 gyros(旋轉)和scope(看)兩字合為“gyroscope”一字來命名這種儀器并沿用至今。

圖5 北緯30°開始向東出發

圖6 指南車過境美國

圖7 指南車快到地中海

圖8 指南車經過中國

圖9 繞回到原出發處

在前面第2節已經提起過，由于各種無法消除的誤差存在，這里只能進行定性方面的演示，至于定量方面的演示，在不追求精度下可參考文獻[3]里像圖10所示的指南車平移整合實驗儀，該圖是這個指南車行駛于曲面能觀察指向器運動的整合實驗視頻[21]里記錄的一幕，百聞不如一見，相信在觀賞該視頻之后，會對老祖宗傳下來的古科技刮目相看，它居然也能探索曲面空間的新領域。

圖10 指南車平移整合實驗儀

7 再論平行移動方程與隨行運動方程

曲面上操作微型指南車已經能用平行移動方程描述其指向器隨行偏轉過程，那為何還要多此一舉，另行尋找廣義運動方程呢？此處會將該理由說個明白。這里沿用前述在單位球面緯圓上向量作平行移動的例子，并且改符號選用了球極坐標系(φ,θ)及第一基本形式為：ds2=dφ2+sin2φdθ2，其中φ是極角，現在要對其平行移動方程進行求解。首先，可以從式(4)中很容易求得與平行移動方程相關且不為零之克氏符號系數有：

(18)

今在極角φ=φ0的緯圓上有任一向量(θ)=(vφ(θ),vθ(θ))進行平行移動，則該緯圓曲線的參數表示式為γ(θ)=(sinφ0cosθ,sinφ0sinθ,cosφ0)，那么將該向量套用式(6)平行移動方程可得到下列兩個微分方程：

(19)

(20)

接著運用矩陣指數(matrix exponential)技巧套用到式(20)之矩陣方程并求得其解為

(21)

上述式(21)告訴我們新位置向量是通過對初始位置向量經2×2旋轉矩陣的一個順時針旋轉所生成的。雖然解出來的這個向量在長度上不同于先前的v(θ)向量，但其順時針旋轉角度卻是一致的，也就是說，在極角φ=φ0緯圓曲線上任一點該向量會順時針旋轉且其角度為((cosφ0)θ)。如果初始條件是一個朝南方的單位向量，即vφ(0)=1,vθ(0)=0，代入式(21)將會得到新向量其分量如下：

(22)

今于緯度30° 向東繞一圈θ=2π回到原出發點時，也就是φ0=π/3，((cosφ0)θ)=π，代入式(22)將求得繞一圈回到原出發處之向量變為：vφ(2π)=-1,vθ(2π)=0，這是個朝北方的單位向量，于是我們可以看到如圖11所示的單位向量在單位球面緯圓30°向東繞一圈之平行移動的運動圖像。

在單位球面向東繞緯圓一圈之同一個問題上，回顧前兩個理論計算例子中，前一個運用隨行運動方程手法只求得向量順時針旋轉了180°；至于后一個運用平行移動方程手法，從平行移動方程求解中，不僅能與隨行運動方程一樣求得向量經平行移動回轉一圈后發生相同的順時針旋轉角度，另外還能得到向量在緯圓參數曲線上任一點如式(22)的參數表示式，有了這個參數式就能用計算機為其繪制如圖11所示的明確圖像，這一特點是隨行運動方程辦不到的。現在該是時候進一步討論，微型指南車需要怎么樣的運動方程。雖說平行運動方程兩者都是與坐標選取無關的數學表述，然而從前面探討得知平行移動方程能帶來更多物理內涵的優勢，那為何還要額外為其界定廣義運動方程呢？這會牽涉到下列7項議題：

圖11 向量在北緯30 度向東平行移動圖

(1) 物理系統的運動方程主要是以其物理量作為表征。針對微型指南車這個人造的古典物理系統，當其在曲面上行進運動時，如式(9)所示會帶來路徑變量與其指向器伴隨的角度變量，但平行移動方程并沒有涉及到這些直觀物理量。

(2) 物理系統的運動方程最好能明確表征造成運動與其作用量的因果關系。式(9)之隨行運動方程能表明微型指南車在曲面上其指向器角度的隨行偏轉運動，其作用量是來自測地曲率，但平行移動方程并無法指出該偏轉運動與其成因之間的直接關系。

(3) 物理系統的運動方程最好能有簡明的數學形式。很顯然，平行移動方程的數學形式要比隨行運動方程復雜得多。

(4) 方程能充分表征其對應的物理模型特征。微型指南車在曲面上行進運動，其指向器之角度變量是依賴行經路徑的，這個重要特征在平行移動方程里直觀上找不到。

(5) 方程能方便帶出幾何相位。若將微型指南車其指向器之角度視為相位角，由于我們對相位角的絕對值和瞬時值都不感興趣，至于在曲面上行進運動其始末狀態間的相位角偏差量方具有物理意義，然而在求得這個幾何相位方面，在前面對平行移動方程探索例子中，要先運用聯立微分方程解題技巧求解之后方能得到；反觀隨行運動方程就簡明多了，只要進行相關路經積分就得了。

(6) 運動方程無論在曲面或平面要有直接演繹關聯性。式(13)自由平移方程是式(9)曲面廣義運動方程跟隨作用面退化成平面之后自然衍生而導出的結果，然而當作用曲面退化成平面時，曲面上平行移動方程卻無法依作用面退化條件直接演繹成平面上的自由平移方程。

(7) 理論與實驗的自洽性。本文從微型指南車在曲面上行駛滿足平行移動方程的假設開始，經嚴謹數理推導出式(9)，之后可退化成平面上的式(10)，如將該式中行程里的輪半徑因子提出來，那將會是個一般指南車的角速度特征公式[4]；回頭看文獻[1]的推導方式則是倒過來的，一開始先把式(10)取微型化推廣至曲面，接著用一階近似方式算得其協變導數為零，證明了微型指南車在曲面上運動乃遂行平行移動，因此，本文與文獻[1]相互論證了指南車遂行平行移動的理論自洽性，而且可由式(9)能自然衍生出平面上的式(13)自由平移方程，而式(13)乃傳統設計指南車必須遵循的經驗公式，這樣，理論與實驗完全一致自洽。

平行移動方程是微分幾何中的一般通用公式，并經文獻證明[1,2]可套用解析微型指南車行駛在曲面上的運動現象，然而綜觀上述分析，就知此方程如要做為微型指南車的運動方程是有所欠缺或針對性不足，因為該方程并不針對微型指南車這個物理系統來表征其運動現象，是個純數學觀點下的產物。至于隨行運動方程，則能很好地滿足前述7項議題要求，它正是為微型指南車量身訂做的微分方程，因此將其納入式(9)微型指南車廣義運動方程里面的一員。

8 結論

看似積木玩具般的指南車，以前覺得它只會木童遙指向南且不隨行而偏轉，之外，就沒別的能耐了，何曾想到，當指南車從平面走向曲面，深入研究發現，竟有如此有趣的運動現象。現總結一下探究其運動規律心得如下：

(1) 指南車保守方向的守恒律。在保守力場且無摩擦力的力學系統下，保守力所做的功可用位能的形式表示，物體運動將遵守著機械能守恒律，其數學關系式表為：ΔE+ΔU=0，其中等號前面左項E為動能而右項U為位能，且這兩項總合的總能量始終為零。其實像這樣的特征，是具有更為豐富的普遍性，換言之，當一個物理系統有這種不變量的物理內涵，正意味著一種守恒律，例如，平面上的指南車，由于幾何空間的平坦對稱性以及在純滾動的力學系統下，其自由平移方程式(13)也有著兩項總合為零的特征，在該方程式中，等號前項車架轉向θ與后項指向器反其方向偏轉Ψ這兩項運動現象疊加起來始終相互抵消，使得平面上指南車其指向器保守著方向上的守恒律。

(2) 指南車的幾何相位。微型指南車在不考慮力的作用下，若將式(9)之隨行運動方程中的左項里分別對分子、分母加入對時間的微分，這樣會將原式中指向器偏向角隨行駛路徑的微分變量，變成是指向器自旋角速度除以車輛動作路徑的切線速度，就能得到式(9)新的數學形式，那么運動學物理圖像的感覺就復活了，然而這樣會顧此失彼，喪失了對該運動現象本質上是純然幾何效應的直觀描述，又由于微型指南車每每在曲面相鄰兩點運動時，其法線方向也隨之改變，因此在回到閉合回路的原出發處之前，是無特定基準來衡量其指向器方向的偏轉量，因而有意義的觀察是讓車繞回到原出發處，即從幾何觀點對運動方程進行封閉路徑積分，這已于文獻[3]里推導立論，可視為一種對曲面上高斯-博內公式的操作式證明，其結果只呈現幾何效應。在前述文獻[3]中之式(8)，正是本文之式(9)對封閉路徑積分與累積拐角的相位方程，其指向器偏向角總量，稱之為指南車的幾何相位。

(3) 以方程為主體思路。很多微分幾何專書能從測地曲率定義切入，運用向量運算，最后推導出向量方向隨行偏轉變化量與測地曲率的關系式，例如文獻[12]。毋庸置疑這些數學家的超強能力，但似乎沒能認識到這項公式對指南車的運動有重要意義，其主要障礙應來自兩個癥結，首先是缺乏跨領域的學習，無法有效地將微分幾何知識鏈接跨越到機械領域的指南車；其次是缺乏以方程為主體的思路，這在量子力學科學史上，就曾發生涅盤般的方程之戰。在1925年，瑞士蘇黎世每兩周會舉辦一場物理學術研討會，有次研討會里，薛定諤做完有關德布羅意波粒二象性的報告后，德拜(Peter Debye)指出，既然粒子具有波動性，應該有一種能夠作為表征的波動方程式。薛定諤深受這種以方程為主體思路的引領，很快地，在下一輪研討會中，薛定諤就提出了量子力學的波動方程[22]。本文乃以方程為主體思路，先是從“平行移動方程”切入，發現指向器表征的向量經平行移動后其方向會產生偏轉現象，并找到造成方向偏轉的原因是測地曲率，進而創建微型指南車之廣義運動方程。

(4) 古代指南車的新時代詮釋。本文以黎曼幾何切入討論了指南車在彎曲空間的平行移動特性，這些都不是古人能夠想到，或者總結出來的。不僅如此，這也創新突破了用復原或復興訴求進行指南車的研究，更把英國學者李約瑟對指南車的研究[23]帶到全新篇章，本研究重新發現其曲面運動規律之奧妙，而一般對指南車所認知的平面運動，只是其曲面運動規律退化后的特例。

(5) 應該是首次用微分幾何為中國古科技創建數理模型。對于學習或研究非歐氏空間例如微分幾何、廣義相對論或量子物理的相位因子等等的初學者而言，由于那些純然數學符號充滿高度抽象且艱澀難懂，很難有具體化的感覺，讓人望而生畏。一般會借助計算機繪圖幫助建立平行移動概念，本研究也做出計算機模擬，其源碼放在參考文獻[24]中，執行結果如圖11所示，它雖是動態演示，然而卻無法與指南車相比，因為指南車恰好提供一種手腦并用效果，只要動手做，能很快地把非常抽象的數理概念予以具體化，這對學習效果大有幫助，對前沿研究的養成教育亦有幫助，也提供看問題的多元角度，并有助提升中高等自然科學教育。

(6) 本文視指南車內在運作機理為黑箱。本文乃研究指南車外在的運動規律，至于其內在運作機理則視為黑箱，已與本文做了切割。關于指南車內在運作機理的探討，將于文獻[4]做進一步的研究。