基于智能手機磁性傳感器測量重力加速

李 立,張皓晶,張 雄,邱龍斌,姚 蕊,吳楊峰

(云南師范大學 物理與電子信息學院，云南 昆明 650500)

隨著科學技術的不斷進步和發展，智能手機的功能也得到不斷提高. 近年來，智能手機與物理實驗教學相結合已經成為較為普遍的趨勢[1-4]. 越來越多的物理教師開始重視使用智能手機的相關功能進行物理課程教學[5-6]. 智能手機與物理實驗教學相結合，不僅能夠一定程度上簡化和優化實驗過程，提高實驗結果精確性，同時還能夠激發學生的學習興趣，對培養學生的創新思維具有一定的促進作用，而且隨著智能手機的高度普及，也增加了該教學方法推廣的可能性. 本文使用iPhone的磁性傳感器和Sensor Kinetics App與被磁化的雙線擺小球實驗相結合，消除了由于單擺實驗過程中計時不準確和擺球做圓錐擺運動等原因對實驗結果造成影響[7].

1 實驗原理

用2根不可伸長的輕質繩將1個小擺球系緊，保持2根輕質繩等長，將輕質繩兩端固定在1根水平直桿的兩端，使小球做幅角θ很小的擺動，此系統就構成了雙線擺. 假設小球的質量為m，作用在小球切向力的大小為mgsinθ，它總是指向平衡點O′. 當θ角很小時，則sinθ≈θ，切向力的大小為mgθ，根據牛頓第二定律，質點的運動方程為[8]

ma=-mgθ,

(1)

(2)

(3)

(4)

所以擺動的周期為

(5)

在雙線擺的實驗中l應為等效擺長L，結合幾何關系后可求得等效擺長為

(6)

其中,D是擺球的直徑，l為輕質繩長，s為輕質繩兩端點A和B之間的距離. 對式(5)兩邊平方整理得

(7)

令y=T2，x=L，式(7)可以改寫為

(8)

由式(8)可以看出，在實驗過程中使用Sensor Kinetics App精確測出不同等效擺長下的振動周期，然后根據實驗數據繪制“T2-L”，進一步通過最小二乘法線性回歸擬合求出直線斜率a1，就可以求得重力加速度.

本文主要通過改變兩繩線長度l，從而改變不同的等效擺長，運用iPhone手機中的磁性傳感器和Sensor Kinetics App得到雙線擺振動的“磁感應強度-時間”圖像，從而計算出雙線擺振動的周期，再利用Origin軟件繪制出所得數據“T2-L”的圖像，最后根據最小二乘法的線性回歸擬合求出直線斜率，進而求出重力加速度.

2 實驗裝置

實驗裝置如圖1所示. 主要實驗器材有: 鐵架臺、空白萬能板、磁鐵、均勻鐵質小球、安裝了Sensor Kinetics App的iPhone手機、載物臺、螺旋測微器等. 在圖1中A和B分別為雙線擺的2個端點，s是兩端點AB之間的距離.

圖1 雙線擺實驗裝置圖

3 實驗步驟

1) 用磁鐵將小球磁化.

2) 根據式(6)計算等效擺長. 用螺旋測微器測出小鐵球的直徑D，用手機長度測距儀測出擺線長度l和雙線固定端A和B點之間的距離，結合式(6)計算出等效擺L.

3) 如圖1所示，組裝實驗裝置. 用手機測出雙線的長度后，在線上做好標志，將線穿過萬能板的小孔，并在繩子標志的地方打結，將萬能板水平固定在2個鐵架臺之間，使用智能手機水平儀調整2個桌子和鐵架臺使其保持水平狀態.

4) 將裝有Sensor Kinetics軟件的智能手機放在載物臺上.

5) 調整載物臺與小球的位置使手機位于小球運動最低點的正下方. 打開手機中的Sensor Kinetics App并選擇Magnetometer Sensor進入測量準備界面.

6) 將雙線擺緩緩拉開較小的角度(與豎直鉛垂線夾角小于5°)，放開雙線擺后，按下Magnetometer Sensor中的start鍵開始測量，等待30～60 s后按下stop鍵取下手機. 根據Sensor Kinetics軟件繪制的“磁感應強度-時間”的曲線，算出此時等效擺長的擺動周期.

7) 通過改變繩線的長度，改變不同的等效擺長，重復步驟5)和步驟6)，得到多組不同等效擺長下的雙線擺動周期.

4 數據處理與討論

圖2為Sensor Kinetic App繪制的“磁感應強度-時間”的圖像. 以此例說明雙線擺振動周期的具體算法.

(a)

(b)

(c)圖2 Sensor Kinetic繪制的“磁感應強度-時間”圖

如圖2所示，“磁感應強度-時間”圖像中，綠色曲線為手機在雙線擺振動方向上的磁感應強度變化曲線. 在圖2中，綠色曲線的最高點即為雙線擺球離手機最近的一點. 將圖像進一步放大，讀出綠色曲線峰值點對應的時間值TA，再將圖像縮小，數20個峰值(即第21個峰值點)，放大后讀出第21個峰值點對應的時間點TB，則雙線擺的振動周期T為

(9)

根據以上的描述，雙線擺在不同等效擺長所測得的周期實驗數據如表1所示,實驗中擺球直徑D=20.015 mm，兩端點間距s=15.60 cm，表1中l為擺線長度，L為等效擺長.

表1 實驗數據表

根據表1數據，使用Origin軟件進行數據處理，繪制出“T2-L”的圖像，如圖3所示.

圖3 線性擬合圖

由圖3可知，使用Origin軟件最小二乘法的線性擬合求得其斜率a1=4.027 96，截距為-0.087 48，相關系數為r=0.998 94，δa1=0.02. 根據式(7)可知

所以求得重力加速度g為

重力加速度的不確定度為

所以求得重力加速度為

g=(9.79±0.04) m/s2.

由重力加速度理論計算式有

g=(980.616-2.592 cosφ+0.006 0cos2φ-

3.086×10-6h) cm/s2.

(10)

昆明位于北緯24°，平均海拔高度1 894 m代入式(10)后，求得重力加速度的理論值

g=9.795 11 m/s2,

可知實驗值和理論值的相對偏差為

Er=0.04%.

由此可知，實驗值和理論值吻合較好，即通過本實驗方法測得重力加速度的結果較為精確.