動(dòng)態(tài)法測(cè)楊氏模量實(shí)驗(yàn)中的雙共振峰現(xiàn)象

洪子昕，郭無箏，白在橋

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

動(dòng)態(tài)法測(cè)楊氏模量實(shí)驗(yàn)[1-8]是大學(xué)物理課程中基礎(chǔ)的教學(xué)內(nèi)容. 該實(shí)驗(yàn)測(cè)量樣品的共振頻率而非微小形變，具有操作簡(jiǎn)單、精確度高的優(yōu)點(diǎn). 但在教學(xué)中也發(fā)現(xiàn)該實(shí)驗(yàn)存在一些問題. 比如實(shí)驗(yàn)用示波器觀察拾振器輸出波形，并根據(jù)其振幅達(dá)到極大值判斷共振頻率. 在共振峰頂端，振幅改變不明顯，導(dǎo)致共振頻率測(cè)量精度不夠高. 此外，在描頻率過程中，偶爾有學(xué)生發(fā)現(xiàn)拾振器輸出振幅出現(xiàn)勤率次極大值.

本文利用LabVIEW搭建自動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)，測(cè)量桿共振曲線的全貌和細(xì)節(jié)，從而驗(yàn)證雙共振峰的存在性，并研究它對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響.

1 理論背景

1.1 雙共振峰模型

根據(jù)2009年開始實(shí)施的《金屬材料彈性模量和泊松比試驗(yàn)方法》的國家標(biāo)準(zhǔn)[9]，動(dòng)態(tài)法測(cè)楊氏模量的實(shí)驗(yàn)裝置主體部分如圖1所示. 測(cè)試桿用細(xì)棉線懸掛于儀器架上，棉繩上端連接激振器和拾振器(圖中M和N下方). 激振器利用逆壓電效應(yīng)，將外界激勵(lì)電信號(hào)轉(zhuǎn)換為周期性的驅(qū)動(dòng)力，借助細(xì)棉線作用于測(cè)試桿. 測(cè)試桿的振動(dòng)通過棉線傳至拾振器，拾振器利用正壓電效應(yīng)將拉力轉(zhuǎn)換為電信號(hào)輸出.

以測(cè)試桿質(zhì)心為原點(diǎn)O，建立如圖1所示的坐標(biāo)系. 桿存在x和z方向的橫向振動(dòng). 理想的情況下，由于桿具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，激勵(lì)加在z方向，不會(huì)引起x方向上的振動(dòng). 但由于制備加工的因素，很難保證實(shí)際樣品的力學(xué)性質(zhì)具有精確的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性. 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的破壞導(dǎo)致原本簡(jiǎn)并的本征振動(dòng)頻率劈裂成2個(gè)略不相等的本征頻率，分別對(duì)應(yīng)2個(gè)相互垂直的本征振動(dòng)模式. 由于實(shí)驗(yàn)中只是隨意放置桿的方向，這2個(gè)本征振動(dòng)方向很可能都不與z軸垂直(在z軸方向的投影都不為零). 因此z方向的激勵(lì)很可能同時(shí)激發(fā)出這2個(gè)本征振動(dòng)，從而在掃描頻率時(shí)看到2個(gè)很接近的共振峰.

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置主體部分示意圖

假設(shè)系統(tǒng)處于線性響應(yīng)區(qū)間，根據(jù)線性系統(tǒng)的一般理論，如果激振器發(fā)出正弦波形式的驅(qū)動(dòng)信號(hào)

uin(t)=A0sin (ωt+θ0),

(1)

當(dāng)桿振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，拾振器接收的響應(yīng)信號(hào)一

定也是同頻率的正弦信號(hào)

uout(t)=A1sin (ωt+θ1).

(2)

而且它們的幅度比A1/A0和相位差Δθ=θ1-θ0都只是頻率的函數(shù)，分別稱為系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性. 實(shí)際上把二者合并成復(fù)數(shù)的頻率響應(yīng)曲線要更方便處理：

(3)

在線性電路中，H(ω)可用相量法計(jì)算. 比如對(duì)RLC串聯(lián)電路，若用電阻上的電壓作為響應(yīng)信號(hào)，則

(4)

(5)

其中Δ=R/L=ω0/Q為共振峰的寬度，Q為振子的品質(zhì)因數(shù). 一般而言，H(ω)在復(fù)平面上的每個(gè)極點(diǎn)都可以解釋為1個(gè)共振，極點(diǎn)的實(shí)部對(duì)應(yīng)共振頻率，虛部則等于共振峰的半寬度.

根據(jù)疊加原理(并用頻率代替角頻率)，假設(shè)測(cè)試桿的頻率響應(yīng)曲線在共振頻率附近可表示為包含5個(gè)復(fù)參量的函數(shù)形式

(6)

其中，f1和f2為頻率響應(yīng)函數(shù)在復(fù)平面上的極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)2個(gè)本征振動(dòng)模式，c1和c2的模長(zhǎng)與幅角分別表示這2個(gè)振動(dòng)模式的響應(yīng)強(qiáng)度與相位延遲. 在擬合實(shí)測(cè)曲線時(shí)，發(fā)現(xiàn)引入常數(shù)b可以顯著提高擬合效果. 該常數(shù)可以理解為通過測(cè)試架直接傳到拾振器的信號(hào)，或者，如果考慮位移共振，也會(huì)引入常數(shù)項(xiàng).

1.2 懸掛點(diǎn)位置對(duì)頻率的影響

計(jì)算楊氏模量需要桿的固有頻率. 除非懸掛點(diǎn)在波節(jié)處，否則懸線的影響會(huì)導(dǎo)致共振頻率偏離固有頻率. 如果將懸掛點(diǎn)放在波節(jié)處，由于波節(jié)處振幅為零，又無法激勵(lì)和探測(cè)桿的振動(dòng). 通常的做法是測(cè)量懸掛點(diǎn)在波節(jié)點(diǎn)兩側(cè)不同位置的共振頻率，然后依照經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢?nèi)插得到桿的固有頻率[1-2]. 教學(xué)中常采用多項(xiàng)式模型擬合數(shù)據(jù)，這種方法雖然合理可行，但存在一定的任意性(比如多項(xiàng)式的階數(shù)).

文獻(xiàn)[6]對(duì)懸掛點(diǎn)對(duì)共振頻率的影響做過理論分析. 假設(shè)懸線的勁度系數(shù)為k，利用微擾方法得到，當(dāng)懸掛點(diǎn)對(duì)稱地位于y和-y處時(shí)，共振頻率ω(y)與固有頻率ω0滿足

(7)

其中G(y)為基頻振動(dòng)的本征函數(shù),

(8)

式中，L為桿長(zhǎng)，cosxcoshx=1的最小正根x1≈4.730 04，M為桿在基頻振動(dòng)時(shí)的廣義質(zhì)量,

(9)

式中ρ為桿的線密度. (7)式右邊第二項(xiàng)為修正項(xiàng)，數(shù)值上遠(yuǎn)小于第一項(xiàng)，因此有

(10)

如果(10)式成立，就可以用ω(y)與G2(y)做直線擬合，所得截距就是固有頻率ω0. 從教學(xué)上考慮，這種線性擬合要比純經(jīng)驗(yàn)的多項(xiàng)式擬合更有物理意義. 本文將用測(cè)量結(jié)果檢驗(yàn)這個(gè)方法的有效性. 需要說明的是，在推導(dǎo)(7)式時(shí)假設(shè)振動(dòng)只發(fā)生在z方向，并沒有考慮桿的各向異性. 如果測(cè)量結(jié)果與(10)式不完全相符，應(yīng)全面地分析應(yīng)該考慮2個(gè)本征模式與懸線的相互作用[10].

2 實(shí)驗(yàn)裝置與方法

實(shí)驗(yàn)是在杭州大華生產(chǎn)的DHY-2 動(dòng)態(tài)法楊氏模量測(cè)定儀基礎(chǔ)完成的，主要器材包括測(cè)試金屬桿、支架、激振器、拾振器和信號(hào)放大器. 其他器材包括信號(hào)發(fā)生器、數(shù)據(jù)采集卡(NI-myDAQ)和裝有LabVIEW軟件的計(jì)算機(jī)，其中信號(hào)發(fā)生器有USB-device接口，可以用LabVIEW控制. 使用LabVIEW軟件編程控制信號(hào)發(fā)生器的輸出，用于激勵(lì)桿的振動(dòng)，然后通過數(shù)據(jù)采集卡獲得拾振器輸出(經(jīng)過儀器放大后)的響應(yīng)信號(hào).

測(cè)量程序自動(dòng)掃描激發(fā)頻率，在每個(gè)頻率點(diǎn)采集激勵(lì)信號(hào)與響應(yīng)信號(hào)，計(jì)算振幅比與相位差，并把結(jié)果保存在文件中. 程序可以設(shè)置掃頻的范圍、步長(zhǎng)和方向. 為了觀察共振曲線的細(xì)節(jié)，還可以在一定區(qū)間內(nèi)采用更細(xì)的掃頻步長(zhǎng). 為了確保測(cè)量時(shí)振動(dòng)已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，程序在激勵(lì)信號(hào)頻率改變1 s之后連續(xù)測(cè)量20次信號(hào)(每次采集時(shí)間50 ms). 測(cè)量20次響應(yīng)信號(hào)的振幅，計(jì)算幅值與1到20序號(hào)之間的線性相關(guān)系數(shù)r. 如果r2接近1，說明響應(yīng)振幅還在穩(wěn)定地增加或減小. 把r2小于某閾值(實(shí)驗(yàn)中取0.65)當(dāng)作振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定的判據(jù). 如果判據(jù)滿足，就將這20次測(cè)量結(jié)果取平均作為測(cè)量結(jié)果，然后將信號(hào)源頻率調(diào)至下一個(gè)頻率點(diǎn)，繼續(xù)測(cè)量. 如果r2大于閾值(這種情況一般只出現(xiàn)在共振峰附近)，則保持頻率不變，重復(fù)上面的測(cè)量-判斷過程，直至滿足穩(wěn)定判據(jù). 程序最快2 s就可以完成1個(gè)頻率點(diǎn)的測(cè)量，完成1條頻率特性曲線的測(cè)量需要8～10 min.

實(shí)測(cè)的頻率特性曲線都包含2個(gè)共振峰. 圖2和圖3給出了2個(gè)典型的頻率特性曲線. 圖2中的2個(gè)共振峰重疊部分很小，此時(shí)把幅頻特性曲線極大值的位置當(dāng)作共振頻率，不會(huì)引入可觀的誤差. 圖3是小而窄的共振峰和大而寬的共振峰的疊加. 2個(gè)峰的中心很接近，但相位幾乎相反. 疊加的效果是在大共振峰的中心附近出現(xiàn)向下的凹陷. 此時(shí)把幅頻特性曲線的2個(gè)極大值點(diǎn)位置當(dāng)作共振頻率顯然不合適.

(a)幅頻特性

(b)相頻特性圖2 銅桿的幅頻特性和相頻特性曲線

編寫擬合程序，采用非線性函數(shù)擬合常用的Levenberg-Marquardt(L-M)算法按照式(6)擬合實(shí)測(cè)頻率響應(yīng)曲線，得到2個(gè)共振頻率及其寬度. 需要說明的是，一般的L-M算法(包括LabVIEW自帶的)都只針對(duì)實(shí)參量的情況. 對(duì)于復(fù)參量情況，需要將梯度的轉(zhuǎn)置變成共軛轉(zhuǎn)置. 擬合效果的優(yōu)劣常用決定系數(shù)來衡量，其定義為

(11)

(a)幅頻特性

(b)相頻特性圖3 不銹鋼桿的幅頻特性和相頻特性曲線

為檢驗(yàn)頻率測(cè)量的可重復(fù)性，連續(xù)多次測(cè)量了向上掃頻和向下掃頻的頻率響應(yīng)曲線，發(fā)現(xiàn)擬合共振頻率相差都在0.01 Hz以內(nèi). 此外，從1 V到3 V改變激發(fā)信號(hào)的峰峰值，對(duì)結(jié)果的影響也沒有超過這個(gè)限度.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

使用相同的測(cè)試架(包括懸線)，改變懸掛點(diǎn)位置，測(cè)量了黃銅和不銹鋼桿的共振曲線并擬合得到2個(gè)共振頻率及其寬度. 為了減小桿各向異性的影響，在測(cè)量過程中盡量保持桿懸掛的角度不變. 測(cè)量結(jié)果見表1和表2. 在2個(gè)共振頻率中，虛部較小的記作f1，虛部較大的記作f2. 為方便參考，表中還給出了對(duì)應(yīng)懸掛位置的G2(y)(取L=180 mm).

圖4畫出了黃銅桿共振頻率與G2(y)的關(guān)系. 可以看出f1的實(shí)部和虛部變化都很小，它們與G2(y)都沒有明顯的相關(guān)，但f2的實(shí)部和虛部都與G2(y)顯著地線性相關(guān). 將f2的實(shí)部線性外推到G2(y)=0，所得桿的固有頻率為539.831 Hz，與f1的實(shí)部相差在1 Hz左右. 這個(gè)差異體現(xiàn)了桿本身的各向異性. 共振頻率的虛部大小體現(xiàn)了振動(dòng)能量耗散的快慢.f1的虛部與G2(y)關(guān)系不大，表明它對(duì)應(yīng)的振動(dòng)受到懸線的阻尼比較小. 而f2的虛部隨G2(y)線性增大，表明對(duì)應(yīng)的振動(dòng)受懸線的阻尼比較大.

表1 黃銅桿的共振頻率

表2 不銹鋼桿的共振頻率

(a)頻率的實(shí)部

(b)頻率的虛部圖4 黃銅桿的共振頻率與懸掛點(diǎn)G2(y)的關(guān)系

不銹鋼桿的結(jié)果則有些令人意外(見圖5). 一方面這里f1的虛部和f2的實(shí)部與G2(y)的相關(guān)不顯著，而f1的實(shí)部以及f2的虛部與G2(y)線性相關(guān)度比較高. 另一方面，f1的實(shí)部與G2(y)呈負(fù)相關(guān). 式(10)中的系數(shù)為懸線的勁度系數(shù)，不可能為負(fù). 因此猜想懸線不僅會(huì)引入額外的彈性，還可能引入額外的質(zhì)量. 事實(shí)上，懸線上存在彈性波，其力學(xué)性質(zhì)應(yīng)該與頻率有關(guān). 為了檢驗(yàn)懸線在對(duì)共振頻率的影響程度，換了更細(xì)、更硬的懸線重新測(cè)量了不銹鋼桿的共振頻率，結(jié)果見表3和圖6.

(a)

(b)圖5 不銹鋼桿的共振頻率與懸掛點(diǎn)G2(y)的關(guān)系

y/mmf1/Hzf2/Hz70822.186+0.109 i821.950+5.068 i65822.473+0.091 i822.239+2.883 i60822.622+0.095 i822.331+1.309 i55822.700+0.108 i822.339+0.344 i45822.682+0.121 i822.302+0.216 i40822.612+0.117 i822.433+0.832 i35822.570+0.094 i822.436+1.805 i30822.442+0.093 i822.429+2.899 i

(a)

(b)圖6 更換懸線后不銹鋼桿的共振頻率與懸掛點(diǎn)G2(y)的關(guān)系

新懸線的結(jié)果看起來又“正常”了：f1與G(y)2關(guān)系不大，f2的實(shí)部與虛部都與G(y)2線性正相關(guān). 不過圖5(a)中線性外推波節(jié)點(diǎn)f1的實(shí)部為822.728 Hz，而表3中最靠近波節(jié)點(diǎn)的2個(gè)f1的實(shí)部的平均值為822.691 Hz，二者相差并不大. 按照相同的做法，從表2得到波節(jié)點(diǎn)f2的實(shí)部為822.321 Hz，從圖6(a)線性外推得波節(jié)點(diǎn)f2的實(shí)部為822.300 Hz，二者相差也不大. 這說明雖然懸線對(duì)桿的共振頻率影響比較大，但用直線外推或者近鄰點(diǎn)取平均，在推斷固有頻率時(shí)基本可以消除懸線的影響.

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果，提出改進(jìn)的計(jì)算固有頻率的方法：如果共振頻率隨懸掛位置變化較大，可用線性外推法計(jì)算固有頻率；如果變化不明顯，則用近鄰點(diǎn)取平均計(jì)算. 用此方法求得桿的2個(gè)固有頻率，并根據(jù)

(12)

計(jì)算楊氏模量，結(jié)果見表4.

表4 黃銅和不銹鋼(2次)楊氏模量測(cè)量結(jié)果

4 總結(jié)與討論

利用LabVIEW精確地測(cè)得了樣品的頻率響應(yīng)曲線，確認(rèn)了雙共振峰的存在. 通過擬合雙共振頻率響應(yīng)曲線，比較準(zhǔn)確地確定了2個(gè)共振頻率及其寬度. 通過測(cè)量不同懸掛位置以及不同懸線對(duì)共振頻率的影響，發(fā)現(xiàn)懸線的影響不止是提供了額外的彈性，使共振頻率增加. 懸線的影響還包括提供阻尼造成桿共振峰寬度增加(品質(zhì)因數(shù)減小)以及提供額外的附加質(zhì)量使共振頻率減小. 桿的各向異性以及懸線和桿(甚至包括激振器和拾振器)耦合構(gòu)成的多自由度振動(dòng)系統(tǒng)，在實(shí)驗(yàn)中表現(xiàn)出相當(dāng)豐富的現(xiàn)象. 基于本文的工作，對(duì)這個(gè)實(shí)驗(yàn)提出2條建議：

1)盡量減小樣品力學(xué)性質(zhì)的各向異性，否則2個(gè)固有頻率相差過大會(huì)影響楊氏模量測(cè)量的準(zhǔn)確度. 為此應(yīng)避免在樣品上刻線(必要時(shí)可用噴涂代替)，對(duì)樣品退火處理也可以減小其各向異性.

2)在外推桿的固有頻率時(shí)，可以用共振頻率與G(y)2作圖. 如果線性度較好，可以把擬合直線的截距當(dāng)作固有頻率(筆者用此方法分析了文獻(xiàn)[1]的數(shù)據(jù)，結(jié)果為R2=0.988). 如果共振頻率變化很小，可以取最靠近節(jié)點(diǎn)的2個(gè)測(cè)量的平均值作為固有頻率. 如果線性度不高但共振頻率本身變化比較大，則很可能測(cè)量數(shù)據(jù)有問題.

致謝:感謝北京師范大學(xué)研究生呂博文在實(shí)驗(yàn)過程中給予的幫助.