淺析一元二次方程待定系數(shù)的求解方法

孫人銳

湖北省潛江市周磯辦事處周磯初級(jí)中學(xué) 湖北省 潛江市 433114

求一元二次方程中的待定系數(shù)，既是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)，但為了使學(xué)生深刻地掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，拓展一元二次方程待定系數(shù)的求解思路，明確其相關(guān)的學(xué)習(xí)方法、數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生發(fā)展性思維能力。本文介紹幾點(diǎn)不成熟的解此類問題的常用方法與策略，期望得到讀者與同仁的指點(diǎn)。

一、由根與系數(shù)的關(guān)系求解

例1、關(guān)于x 的方程x 2 +（3-k）x+k 2 -3=0 的兩實(shí)數(shù)根互為倒數(shù)，則k=____

解：設(shè) 1x、x2是方程的兩實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系及題意可知

∴解得k=-2

例2、已知關(guān)于x 的方程x2+（m-2）x+m2=0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩根的平方和比兩根的積大33，求m 的值。

解：設(shè)x1、x2是方程的兩實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知

x1＋x2＝（m-2）x1·x2＝m 2

又（x1＋x2）2－x1·x2＝33

∴（x1＋x2）2－3x1·x2＝33

即m2-16m-17=0

∴解之得m1=17，m2=-1

此時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)根。

∴m=17 應(yīng)舍去。

說(shuō)明：此類型題主要是考查根與系數(shù)的關(guān)系，并能熟練運(yùn)用。

練習(xí)：1、若方程x2－2x－4=0 的兩個(gè)這實(shí)數(shù)根為α，β，則α2+β2的值為( )

A.12 B.10 C.4 D.－4.

2、已知1x 、x2是關(guān)于x 的方程x2-ax-2=0 的兩根，下列結(jié)論一定正確的是（ ）

A.x1≠x2B.x1+x2＞0 C.x1·x2＞0

D.x1＜0，x2＜0

二、由根的定義求解

例3、當(dāng)取何值時(shí)，方程x2+kx -3=0 和方程x2+x -3k=0 有公共根？求出公共根。

分析：當(dāng)兩個(gè)一元二次方程有公共根時(shí)應(yīng)分兩種情況討論：①有一個(gè)公共根，②有兩個(gè)公共根。

解：設(shè)兩個(gè)方程的公共根為α，則

∴（k-1）α=-3(k-1)

即（k-1）(α+3)=0

當(dāng)k ≠1 時(shí)，α=-3，此時(shí)k=-2 方程有一個(gè)公共根-3

當(dāng)k=1 時(shí)，兩個(gè)方程均為x2+x -3=0，解這個(gè)方程得

說(shuō)明：此類型題考查的是方程的根及公共根在實(shí)際當(dāng)中的運(yùn)用。

練習(xí)：關(guān)于x 的一元二次方程2x2-x-k ＝0 的一個(gè)根為1，則k 的值是多少？

三、由根的判別式求解

A 2 B 1 C 0 D -1

解：根據(jù)題意及根的判別式可知

又m 取最大整數(shù)值，∴m=1

故選B

說(shuō)明：在運(yùn)用根的判別式解決類型題的同時(shí)，還應(yīng)結(jié)合不等式及整數(shù)的有關(guān)知識(shí)。

練習(xí)：

1、關(guān)于x 的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0 有實(shí)根，則m 的最大整數(shù)解是---.

2、已知等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、4，且a、b 是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+m+2 ＝0 的兩根，則m 的值是（ ）

A.34 B.30 C.30 或34 D.30 或36

四、結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)求解

例5、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B 的正弦值是方程（m+5）x2+(5-2m)x+12=0 的兩個(gè)根，求m 的值。

解：∵sinA、sinB 是方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系

整理得：m 2 -18m-40=0

解之得 m1=20,m2=-2

當(dāng)m=20 時(shí)，△＞0

當(dāng)m=-2 時(shí)，△＞0

又當(dāng)m=-2 時(shí)，sinA+sinB=-3 不合題意，應(yīng)舍去。

∴m=20

說(shuō)明：解這類題不僅注意到根的判別式，還應(yīng)考慮0 ＜sinA ≤1,

0 ＜cosB ≤1

五、一元二次方程綜合運(yùn)用求解

例6、已知m ＞0，關(guān)于x 的一元二次方程（x+1）（x-2）-m＝0 的解為x1，x2（x1＜x2），則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.x1＜-1 ＜2 ＜x2B.-1 ＜x1＜2 ＜x2

C.-1 ＜x1＜x2＜2 D.x1＜-1 ＜x2＜2

分析“可以將關(guān)于x 的方程（x+1）（x-2）-m ＝0 的解為x1，x2看作是二次函數(shù)m ＝（x+1）（x-2）與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而與x 軸交點(diǎn)坐標(biāo)可以通過二次函數(shù)的關(guān)系式求得，即可以求出x1與x2，當(dāng)函數(shù)值m ＞0 時(shí)，就是拋物線位于x 軸上方的部分所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍，再根據(jù)x1＜x2，做出判斷.

解：關(guān)于x 的一元二次方程（x+1）（x-2）-m ＝0 的解為x1，x2，可以看作二次函數(shù)m ＝（x+1）（x-2）與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

∵二次函數(shù)m ＝（x+1）（x-2）與x 軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（2，0），如圖：

當(dāng)m ＞0 時(shí)，就是拋物線位于x 軸上方的部分，此時(shí)x ＜-1，或x ＞2；

又∵x1＜x2

∴x1＝-1，x2＝2；

∴x1＜-1 ＜2 ＜x2，

故選：A.

例7 已知關(guān)于x 的一元二次方程x2-2x+a=0 的兩實(shí)數(shù)根滿足x1x2+x1+x2>0，求a 的取值范圍

分析：由方程根的個(gè)數(shù)，利用根的判別式可得到關(guān)于a 的不等式，可求得a 的取值范圍，再由根與系數(shù)的關(guān)系可用a 表示出x1x2和x1+x2的值，代入已知條件可得到關(guān)于a 的不等式，則可求得a 的取值范圍.

解：∵該一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴△=（-2）2-4×1×a=4-4a ≥0，

解得：a ≤1，

由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x2=a，x1+x2=2，

∵x1x2+x1+x2＞0，

∴a+2 ＞0，

解得：a ＞-2，

∴-2 ＜a ≤1.

說(shuō)明：本題主要考查根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，掌握根的個(gè)數(shù)與根的判別式的關(guān)系及一元二次方程的兩根之和、兩根之積與方程系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.除以上方法與策略之外，還有很多適用的方法應(yīng)具體問題，具體分析，具體解決，這樣才有助于提高我們的解題水平與質(zhì)量。