“錯誤”不容錯過
——對勾股定理典型解題錯誤的分析與思考

沈忠良

江蘇省蘇州市吳江區銅羅中學，江蘇蘇州 215237

1.概念模糊導致的知識性錯誤

知識性錯誤是指學生對有關概念、定理、公式和法則等理解不清、運用不當，因而未能正確陳述解題過程和結論而導致錯誤。數學概念和定理是學生解題的基本依據，若對基本數學概念理解不透徹，對相近的概念混淆不清，或不能區分判定定理與性質定理，則容易造成解題錯誤。

【案例1】

教學思考：只有讓學生深入理解有關概念，準確掌握數學知識，才能防止知識性錯誤的發生。為了預防知識上的缺漏，在平時的教學中要做到既不脫離教材，又不拘泥于教材，要讓學生體驗概念的產生和發展過程.在進行概念教學時，應做到以下五步：①從模型、實物等直觀形象中抽象出概念，讓學生初步領悟概念產生的背景，并嘗試用自己的語言表達新概念；②把握概念的內涵與外延，抓住其本質，使學生明確概念的來龍去脈；③建立新概念與認知結構中已有概念的內在聯系，明確概念之間的從屬關系；④進一步運用概念，針對學生的困惑點和易錯點，設計靈活多樣的變式題，從不同角度進行訓練，鞏固新的認知平衡；⑤學生從正面接觸概念后，再從反面創設一些錯誤情境，并引導學生運用已有的知識和經驗去分析錯因，嘗試糾正錯誤，讓學生在反思中深化對概念的理解。

2.以偏概全導致的邏輯性錯誤

邏輯性錯誤主要是指由于違反邏輯思維的形式和規律而產生的計算、推理或論證上的錯誤.邏輯性錯誤本質上也是知識性錯誤，但究其導致錯誤的知識盲點主要在于邏輯。

【案例2】

如圖1，一架長10m 的梯子AB 斜靠在豎直的墻上，梯子的底端A到墻根O 的距離為6m。當梯子的頂端B 沿墻下滑1m 到處時，梯子的底端A 向外移動到處，此時的長（ ）。

A.小于1m B.大于1m C.等于1m D.無法確定

錯解1：在這個變化過程中，梯子底端移動的距離始終比頂端下滑的距離小，所以的長小于1m。

錯解2：在這個變化過程中，梯子底端移動的距離不一定比頂端下滑的距離大。因為當梯子頂端下滑到地面時，頂端下滑了8m，而底端只向外移動4m，所以的長無法確定。

錯解3：梯子底端移動的距離始終等于頂端下滑的距離.因為當梯子頂端下滑2m 后，頂端離地面6m，此時由勾股定理可得梯子的底端到墻根的距離為8m，那么底端也移動了2m，所以長度必定相等。分析：錯解1 中，學生沒有運用勾股定理進行計算，僅憑主觀臆斷得出結論，顯然是不可靠的.錯解2、3 主要是由于學生在解題時對問題缺乏深入、全面的思考，從而產生了以偏概全的錯誤。

教學思考：讓學生養成解題時遵循正確的邏輯規律的習慣，并提高學生思維的嚴謹性和推理的嚴密性是減少學生發生邏輯性錯誤的重要途徑。由于邏輯性錯誤是由學生對邏輯規律的模糊或無意識而造成的，糾錯時可以適當地向學生介紹一些有關邏輯的知識，使學生解題時能夠及時意識到所犯的邏輯性錯誤。講評本案例中的題目時，可先運用《幾何畫板》進行模擬實驗，讓學生初步感受梯子的頂端與底端移動的距離不一定相等，然后讓學生運用勾股定理進行計算，從而發現的長大于1m.事實上，梯子上端下滑的距離與下端外移的距離之間的大小關系跟梯子的初始位置有關.假設梯子初始放置時AO=a,BO=b 梯子上端下滑的距離為x，下端外移的距離為y.若b ＞a，則當x ＜b－a 時，x ＜y；當x ＝b－a 時，x ＝y；當x ＞b－a 時，x ＞y.若b ≤a，則x ＞y 恒成立.經歷了這個探究過程以后，學生對錯誤的認識會更深刻，對梯子滑動問題的把握會更準確。

總而言之，糾錯是跨過障礙、達到目標的必經之路，也是接受洗禮、走向成熟的必要磨煉，糾正解題錯誤需要找原因、挖根源。學生出現解題錯誤在所難免，面對錯誤解法撥亂反正固然重要，還應該對錯誤持有積極的態度，幫助學生消除出錯帶來的挫敗感，保護學生的自尊心，引導每一個學生積極參與學習活動。教師只要善于將錯誤資源轉化為有效資源，那么“錯誤”會變得美麗，學生會更愿意接近和走進數學！