例說“從特殊到一般”

葉小紅

蘇州高新區(qū)第二中學(xué)，江蘇蘇州 215000

數(shù)學(xué)是一門充滿樂趣、充滿奧妙、充滿探索的學(xué)科，數(shù)學(xué)是對思維的一種挑戰(zhàn)，特別是幾何圖形，更是變幻無窮，因此有些同學(xué)一提起幾何就感到頭痛，不知如何入手，現(xiàn)在就讓我為大家介紹一種方法——從特殊到一般的探究解題方法，它可以讓你更快、更有效地求出幾何圖形的。不信，就讓我們一起來瞧瞧吧！

題目1：如圖1，一副直角三角板滿足AB ＝BC，AC ＝DE，∠ABC ＝∠DEF ＝90°，∠EDF ＝30°

【操作】將三角板DEF 的直角頂點E 放置于三角板ABC 的斜邊AC上，再將三角板DEF 繞點E 旋轉(zhuǎn)，并使邊DE 與邊AB 交于點P，邊EF與邊BC 于點Q

【探究】在旋轉(zhuǎn)過程中，（1）如圖2，當(dāng)CE/EA=1 時，EP 與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明.

（2）如圖3，當(dāng)CE/EA=2 時EP 與EQ 滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說明理由.

（3）根據(jù)你對（1）、（2）的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)CE/EA=m 時，EP 與EQ 滿足的數(shù)量關(guān)系式

為_________,其中的取值范圍是_______(直接寫出結(jié)論，不必證明)

（2）利用特殊圖形（圖⑤）猜想一般結(jié)論，證明的方法由圖①、②的全等變?yōu)楦话愕南嗨?/p>

由圖③、④構(gòu)造輔助線,而證明的方法由全等變?yōu)橄嗨?/p>

（3）而（3）的結(jié)論又是由（1）（2）特殊的數(shù)學(xué)知識歸納形成。

像這樣圖形逐漸變化，方法逐漸由特殊變一般，講解過程中加上老師巧妙的設(shè)問，學(xué)生聽起來很輕松，思維量卻不小，相信學(xué)生再碰到類似的問題自己也會舉一反三。

題目2：如圖，已知⊙O 的半徑為6cm，射線PM 經(jīng)過點O，OP=10cm，射線PN 與⊙O 相切于點Q.A、B 兩點同時從點P 出發(fā).

點以5cm/s 的速度沿射線方向運動，點以4cm/s 的速度沿射線方向運動.設(shè)運動時間為ts.

（1）求 PQ 的長；

（2）當(dāng)為何值時，直線與相切？

AB 運動過程中始終保持AB‖OQ,關(guān)注到這一點就能解決問題，但更顯一般的是運動過程中找全所有的情形。

變式一 點A 以7cm/s 的速度沿射線PM 方向運動，點B 以 5cm/s 的速度沿射線PN 方向運動.設(shè)運動時間為ts.當(dāng)t 為何值時，直線AB 與圓O 相切？

變式二 點A 以5cm/s 的速度沿射線PM 方向運動，點B 以8cm/s的速度沿射線PN 方向運動.設(shè)運動時間為ts.當(dāng)t 為何值時，直線AB 與⊙O 相切？

變式三（百變神通）若點A 與點B 的速度比為1：k，其余條件都不變，設(shè)運動時間為ts.

當(dāng)t 為何值時，直線AB 與⊙O 相切.

在運動變化中尋找不變的方法，是探究圖形性質(zhì)的一個很好的方法，它不僅能夠指導(dǎo)我們尋找解題思路，還能幫助我們在數(shù)學(xué)王國里去探究發(fā)展。

有特殊與一般是對立統(tǒng)一的，特殊融于一般之中.解題中通常是將一般問題特殊化，先用特殊情形探討解題的思路或問題的結(jié)論，然后在一般的情況下給出結(jié)論.雖然通常情況下對特殊情況的討論不能代替一般情況的研究，就是說若干特例得到的結(jié)論，不能確保一般命題的成立，但是它仍是一種快捷有效的思維方式，由于它的事半功倍很容易被人接受.