淺議高中數學基本解題方法

宋紅霞

遼寧省葫蘆島市第一高級中學，遼寧葫蘆島 125001

數學思想方法與數學基礎知識相比較，它有較高的地位和層次。高考中常用的數學思想：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化（化歸）思想。下面就數學思想方法進行分析，談談我的體會：

一、數形結合思想方法

數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，數學中的知識，有的本身就可以看作是數形的結合。如：銳角三角函數的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數是借助于直角坐標系或單位圓來定義的。

二、分類討論思想方法

在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。

引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：

①問題所涉及到的數學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a>0、a ＝0、a<0 三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。

②問題中涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數列的前n 項和的公式，分q＝1 和q ≠1 兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質型。

③解含有參數的題目時，必須根據參數的不同取值范圍進行討論。如解不等式ax>2 時分a>0、a ＝0 和a<0 三種情況討論。這稱為含參型。

進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。

解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統一、不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最后進行歸納小結，綜合得出結論。

三、函數與方程的思想方法

函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。笛卡爾的方程思想是：實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。

四、等價轉化思想方法

等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價轉化思想無處不見，我們要不斷培養和訓練自覺的轉化意識，將有利于強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧。

【注】 本題在用分析法證明數學問題的過程中，每一步實施的都是等價轉化。此種題型屬于分析證明型。

可以說，“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數學素質的核心就是提高學生對數學思想方法的認識和運用，數學素質的綜合體現就是“能力”。我們要有意識地應用數學思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數學素質，使自己具有數學頭腦和眼光。