Lagrange乘數(shù)法在幾何最值問題中的應(yīng)用

許震宇

(江蘇省無錫市江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院無錫旅游商貿(mào)分院 214045)

在考慮函數(shù)的極值或最值問題時(shí)，經(jīng)常需要對(duì)函數(shù)的自變量附加一定的條件．比如：

一、Lagrange乘數(shù)法

以三元函數(shù)為例，求目標(biāo)函數(shù)w=f(x,y,z)在限定條件G(x,y,z)=0,H(x,y,z)=0下的極值點(diǎn)，先作Lagrange函數(shù)L(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)+λG(x,y,z)+μH(x,y,z)，其中參數(shù)λ,u為Lagrange乘子，令L(x,y,z,λ,μ)對(duì)x,y,z,λ,μ的一階偏導(dǎo)數(shù)等于零，即

上述方程組的所有解(x0,y0,z0,λ0,u0)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x0,y0,z0)，就是目標(biāo)函數(shù)w=f(x,y,z)在限定條件G(x,y,z)=0,H(x,y,z)=0下的可能極值點(diǎn)．若可能極值點(diǎn)唯一，且根據(jù)實(shí)際問題最值一定存在，則可直接確定可能極值點(diǎn)即為最值點(diǎn)．

二、幾個(gè)結(jié)論

L(x,y,z,λ,μ)=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2+λ·G(x,y,z)+μ·H(x,y,z).

又因P0(x0,y0,z0)是曲線Γ上到定點(diǎn)Q最近或最遠(yuǎn)的點(diǎn)，故式(1)成立．

又因P0(x0,y0,z0)是曲線Γ上到平面π最近或最遠(yuǎn)的點(diǎn)，故式(2)成立．

命題3 設(shè)兩條平面曲線的方程分別為：C1:f(x,y)=0和C2:g(x,y)=0，其中f,g具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且C1∩C2=?．若P0(x0,y0)∈C1，Q0(a0,b0)∈C2，且P0,Q0是這兩條曲線上相距最近或最遠(yuǎn)的點(diǎn)，則有

L(x1,y1,x2,y2,λ,u)=(x1-x2)2+(y1-y2)2

+λ·f(x1,y1)+μ·g(x2,y2).

由此可知

又因?yàn)镻0(x0,y0)和Q0(a0,b0)是這兩條曲線上相距最近或最遠(yuǎn)的點(diǎn)，所以(3)式成立．

推論設(shè)兩個(gè)空間曲面的方程分別為：Σ1:F(x,y,z)=0和Σ2:G(x,y,z)=0，其中F,G具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且Σ1∩Σ2=?．若P0(x0,y0,z0)∈C1，Q0(a0,b0,c0)∈C2，且P0,Q0是這兩個(gè)曲面上相距最近或最遠(yuǎn)的點(diǎn)，則有

三、應(yīng)用舉例

聯(lián)立方程組

展開行列式，得xy=0．

例3在兩條平面曲線C1:y=x2+1與C2:x=y2+1上分別求兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，使兩點(diǎn)間的距離最短．