用對立統一觀點判斷二元一次不等式(組)表示的平面區域

陳玉田

(福建省仙游縣蓋尾中學 351200)

通常，在判斷二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)所表示的平面區域時，要先確定直線Ax+By+C=0對平面區域的劃分情況，再取特殊點計算其所在區域，從而確定不等式所表示的區域.根據坐標軸本身所具備的正負這一個對立統一性，這里介紹一種直接通過不等式系數A(或B)的符號來確定不等式所表示的區域.它不同于有些教參里用系數來記憶區域方向.

方法說明：A為x的系數，故應用來判斷x軸的左右方向 (即水平方向)，將“>”、“<”視同“+”、“-”號(大于小于0嘛)，結合A的符號依“同號為正——區域在右，異號為負——區域在左”可以很容易判斷，因為這與x軸的方向為左負右正恰好高度統一.

同理，B為y的系數，故應用來判斷y軸的上下方向 (即豎直方向)，也將“>”、“<”視同“+”、“-”號，結合B的符號依“同號為正——區域在上，異號為負——區域在下”可以很容易判斷，因為這與y軸的方向為下負上正也恰好統一.如上圖.

舉例說明，如判斷不等式x-2y+3<0所表示的區域：將“<”視為負號，因為x的系數為正，則由異號為負，故知區域應在直線x-2y+3=0左側，又因為y的系數為負，由同號為正，知其在直線x-2y+3=0上方，故知原不等式在直線x-2y+3=0的左上方.

這里對判斷方法不作具體證明，只用極限值作簡單驗證.在平面上任取點P(x0，y0)，若令x0→+∞，y0=0，則易知點P(x0，y0)必在直線Ax+By+C=0右側，又當A>0時，Ax0+By0+C>0，從而根據特殊點定域法知：A>0時，不等式Ax+By+C>0表示的區域在直線Ax+By+C=0右側；不等式Ax+By+C<0表示的區域在直線Ax+By+C=0左側.A<0依此類推.

同理，令x0=0，y0→+∞同樣可判斷：B>0時，不等式Ax+By+C>0表示的區域在直線Ax+By+C=0上方；不等式Ax+By+C<0表示的區域在直線Ax+By+C=0下方.B<0依此類推.

此法很好地把x、y兩條不同的坐標軸本身的正負特性統一了起來，故判斷極為簡單，無需計算，也無需記憶.

分析不等式x-3y+4≥0中，視“≥”為正，因為x的系數為正，同號取右；y的系數為負，異號取下，故區域在直線x-3y+4=0的右下方；同理區域在直線x+2y-1=0的右上方，在直線3x+y-8=0的左下方，即知不等式組表示的區域如右圖所示.

最后順便一提，實際操作時，只需取x的系數作左右判斷(或取y的系數作上下判斷)，二選一即可.