導數中的數列型不等式

胡貴平

(甘肅省白銀市第一中學 730900)

導數是研究函數的利器,數列是離散的點構成的特殊的函數，數列型不等式問題,既需要解決不等式的基本思路和方法,又要結合數列本身的結構和特點,一般是通過導數來探究函數的單調性或最值，然后構造函數相對應的不等式，進而對x取值,得到數列型不等式，經過適當的放縮，實現問題的解決.

類型1lnx

(1)討論函數f(x)的單調性；

類型2ln(x+1)≤x

例2 (2017全國卷3,21)已知函數f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0 ，求a的值；

解(1)f(x)的定義域為(0，+).則且f(1)=0.

由于f(1)=0，所以當且僅當a=1時，f(x)≥0,故a=1.

(2)由(1)知，當a=1時，f(x)=x-1-lnx≥0，即lnx≤x-1，則有ln(x+1)≤x，當且僅當x=0時等號成立.

所以m的最小值為3．

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)設m∈R，對任意的a∈(1,1)，總存在x0∈[1,e]，使得不等式ma-f(x0)<0成立，求實數m的取值范圍；

解(1)f(x)的定義域為(0，+).則令f′(x)>0，得x>1，因此函數f(x)的單調遞增區間是(1，+)．

令f′(x)<0，得0

(2)依題意，ma

(3)由(1)知函數f(x)在[1，+)上單調遞增，故所以以x2替代x，得

由柯西不等式，(ln21+ln22+…+ln2n)(12+12+…+12)≥(ln1+ln2+…+lnn)2．

(1)用a表示出b,c；

(2)若f(x)≥lnx在[1,+)上恒成立，求a的取值范圍；

解(1)易得到b=a-1，c=-2a+1.

將上述的n個不等式依次相加，

當00；當x>1時，f′(x)<0.所以f(x)在(0,1)上單調遞增；在(1,+)上單調遞減.所以函數f(x)在x=1處取得極大值.

故g(x)在[1,+)上也單調遞增，所以[g(x)]min=g(1)=2,所以a≤2.

例6(2014陜西理)設函數f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0，其中f′(x)是f(x)的導函數.

(1)g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+，求gn(x)的表達式；

(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數a的取值范圍；

(3)設n∈N+，比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明.

下面用數學歸納法證明.

由①②可知，結論對n∈N+成立.

當a≤1時，φ′(x)≥0(僅當x=0,a=1時等號成立).

所以φ(x)在[0,+)上單調遞增，又φ(0)=0，

所以φ(x)≥0在[0,+)上恒成立，

當a>1時，對x∈(0,a-1]有φ′(x)<0，所以φ(x)在(0,a-1]上單調遞減，所以φ(a-1)<φ(0)=0.

綜上可知，a的取值范圍是(-,1].

……

上述各式相加可得

結論得證.

不等式的放縮

變形1 當x>-1時，有x≥ln(x+1)，當且僅當x=0時等號成立.

變形2 當x>0時，x-1≥lnx，當且僅當x=1時等號成立.

事實上，在x≥ln(x+1)中用x-1代x即可得.也是x>lnx，將直線y=x向右平移一個單位后與函數y=lnx的圖象在點(1,0)處相切可得.

事實上，在x-1≥lnx中兩邊同乘以-1即可得.

變形5 當x>0時，xlnx≥x-1，當且僅當x=1時等號成立.