利用函數的性質判定方程解的存在

徐可

摘 要 教材從學生熟悉的二次函數入手，建立二次函數零點與相應二次方程根的聯系，然后歸納出方程的根即為函數的零點的結論，接著又通過對函數零點左右兩側函數值符號的研究得出了方程根存在的充分不必要條件——即方程根存在定理，最后應用這個條件解決了簡單的方程根存在的判定。通過本節課學生會對方程的解和解方程以及函數與方程的關系有個全新的認識。同時本節課在“二分法求方程的近似解”和“算法”中都有著重要的應用，是中學重要思想方法“函數與方程思想”的理論基礎。

關鍵詞 函數;方程;零點;存在

中圖分類號： 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）15-0174-01

問題是數學的心臟，也是引發學生思考和探究的源動力。課堂中，有了問題，學生在好奇心驅使下才能真正激發思維，實現知識的邏輯結構向學生的認知結構轉化。因此，在教學過程中，我們可依據教學目標將教學內容設計成一系列問題，將這些問題由淺入深、由易到難、合理設計、適時呈現，引導學生通過問題的思考和探究來實現教學目標。

一、內容及內容解析

本節課是北師大版必修一第四章函數與方程的第一節。

本節課的核心概念是函數的零點，重點是根的存在定理的探究與應用。

二、目標和目標的解析

確定本節課的目標是：（1）理解方程的根與函數零點之間的關系。（2）通過圖形的直觀理解并會應用方程解的存在的判斷方法。（3）經歷方程根的存在條件的探究過程。（4）會利用函數的單調性判斷零點的個數及所在區間。

要實現讓學生理解應用根的存在定理的教學目標。主要通過問題設置讓學生參與定理推演落實的過程，讓學生感受到函數的零點個數決定了方程的解的個數，而連續函數在閉區間端點的函數值的符號決定著函數零點的存在性。在此過程中需引導學生觀察二重零點的情況，區分解的存在性與唯一性，關注連續函數的條件應用。

三、教學過程設計

問題一：引例1、判斷下列方程（1）2x+3=0;（2）x2-x-6=0的根是否存在若存在求出方程的解。

【設計意圖】從學生熟知的一元一次、二次方程的解法入手，學生易用構造法給出答案，這時可啟發是否還有其它解法？引導學生從圖形直觀角度考慮問題。初步體會方程的解即是圖像與X軸的交點。

引例2：求方程3x-x2=0的實數解。

【設計意圖】引發學生的認知沖突，進而啟發學生要研究困難的問題可以從特殊、簡單的問題出發。

問題二：1、對引例1的再探究：

方程2x+3=0和方程x2-x-6=0的解從圖像上看有什么特點？

【設計意圖】通過函數與方程的聯系及圖象，進一步體會方程的根即是圖像與X軸的交點，從而引入新概念——函數的零點。

思考1：為什么稱為函數的零點？

思考2：函數的零點兩側函數值的符號有什么特點？

思考3：觀察下表，分析函數在定義域內是否存在零點

x -2 -1 0 1 2

y -109 -10 -1 8 107

思考4：你能得出判斷方程有解的條件嗎？

問題三：解決引例二提出的問題

例1：已知函數f（x）=3x-x2，問：方程f（x）=0在區間【-1，0】內有沒有實數解？為什么？

【設計意圖】：此方程是一般方程沒有求解公式，學生很自然就會聯想到定理的應用，同時規范板書。把應用的主動意識交給學生，引導學生參與應用過程，發展思維。

四、小結

（一）零點的概念。

（二）方程在給定閉區間上是否有實解的判斷方法：

1.確定函數的圖象在給定區間【a，b】上是連續不斷的。

2.計算f（a）f（b）的值并判斷其符號。

3.若f（a）f（b）<0，則有實解。

4.有些問題除用上述方法外還需結合函數的圖象來作出判斷。

五、教學反思

（一）本節課借助一次函數，二次函數的圖象與x軸是否有交點的情況與一元二次方程的根的關系出發，建立一元二次方程的根與相應的二次函數的零點的聯系，然后將其推廣到一般方程與相應的函數的情形，引入了函數零點的定義，體現了從具體到一般的思維過程。隨后，利用函數圖像和四個思考引導探索函數零點的存在，初步得到函數零點存在的判定方法，體現了數形結合的思想方法。

在教學過程中，雖然導課花費時間有點長，但是從學生對例題的反應能感受到，學生已掌握了通過函數性質判斷方程根的存在性的方法。并體會到了根的存在性定理的生成過程，和定理中需注意的問題。

（二）改進措施：

在環節一：函數與方程的關系中可以臺階鋪的再多一些，引出零點概念的過程中，學生配合不是很好，應快速調整，令y=0，則函數就變成了方程。給出函數零點的定義。

環節二：不用再分析引例中的函數圖像特征，直接拋出3個思考問題，讓學生自己去發現圖像特征，這樣可以節約導課時間。