數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效運(yùn)用

姚綺

摘 要：提升課堂教學(xué)效益以及發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是每一位高中數(shù)學(xué)教師堅(jiān)持不懈的努力方向。實(shí)踐證明，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中的巧妙運(yùn)用能夠大幅提升課堂教學(xué)效益和全面發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。在借鑒相關(guān)理論研究成果的基礎(chǔ)上，結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際，淺顯論述數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的有效運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;高中數(shù)學(xué);有效運(yùn)用

一直以來(lái)，數(shù)形結(jié)合既被當(dāng)作是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又被視作是一種常用的數(shù)學(xué)方法。之所以說(shuō)是一種重要的數(shù)學(xué)思想，是因?yàn)閿?shù)形結(jié)合就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)等與其反映的圖形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，從而促進(jìn)代數(shù)與幾何，抽象思維與形象思維的有機(jī)結(jié)合。之所以說(shuō)是一種常用的數(shù)學(xué)方法，是因?yàn)橥ㄟ^(guò)直觀圖形的觀察與分析，能夠化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問(wèn)題得以解決。

相比于初中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)而言，高中數(shù)學(xué)知識(shí)在廣度上有所拓展，在深度上有所延伸，在難度上有所提升。也正因?yàn)槿绱耍咧袑W(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面的困難明顯增多。對(duì)于高中數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)，為了引領(lǐng)高中學(xué)生擺脫數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困境，必須化抽象為直觀，化直觀為精確。鑒于此，教師正好可以巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。下面筆者將在借鑒相關(guān)理論研究成果的基礎(chǔ)上，緊密結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)際，淺顯論述數(shù)學(xué)結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的有效運(yùn)用。

一、數(shù)形結(jié)合釋概念

準(zhǔn)確透徹地理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的必要前提。然而，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，面對(duì)各種各樣抽象的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生總是一知半解。學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念理解得不夠透徹、深入、全面，那么，他們也就很難準(zhǔn)確無(wú)誤、靈活自如地運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解決各種實(shí)際問(wèn)題。

聚焦學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)：部分學(xué)生之所以對(duì)數(shù)學(xué)概念一知半解，最主要的原因是數(shù)學(xué)概念比較抽象，而學(xué)生的抽象思維能力又不盡如人意。顯而易見，在短期內(nèi)提升學(xué)生的抽象思維能力是不現(xiàn)實(shí)的。既然在短期內(nèi)提升學(xué)生的抽象思維能力不現(xiàn)實(shí)，那么，教師就要想方設(shè)法將原本抽象的數(shù)學(xué)概念形象化。為了將抽象的數(shù)學(xué)概念形象化，教師不妨恰如其分地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。

“任意角”是人教版A版高中數(shù)學(xué)必修四“三角函數(shù)”這一章中的一部分內(nèi)容。在這部分內(nèi)容中有諸多概念需要學(xué)生準(zhǔn)確透徹地理解，如，“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”和“旋轉(zhuǎn)定義角”等。

例如，在講解“正角”“負(fù)角”和“零角”的概念時(shí)，教師就可以巧妙地融入數(shù)形結(jié)合思想。通常情況下，我們將按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所成的角稱之為正角。在學(xué)生理解了正角的概念之后，教師可以進(jìn)一步啟發(fā)：什么是負(fù)角呢？什么是零角呢？

這時(shí)候，學(xué)生就可以完全自主利用數(shù)形結(jié)合的思想理解負(fù)角的概念了。因?yàn)檎鞘前凑漳鏁r(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所成的角，所以負(fù)角就是按照順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所成的角。而在一個(gè)任意角中，如果這個(gè)任意角的任何一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，那么，這樣的角就被稱之為零角。

再以“算法初步”這一章內(nèi)容為例，理解算法的基本概念是這一章中的教學(xué)重點(diǎn)。關(guān)于算法的概念，學(xué)生并不陌生。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，在四則混合運(yùn)算中先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的，先乘除，后加減等都屬于算法的基本概念。另外，像乘法口訣和珠算口訣等都屬于算法的具體體現(xiàn)。再?gòu)?fù)雜一些，比如說(shuō)，求解一元二次方程、一元一次不等式、一元二次不等式以及求解線性方程組等屬于算法的范疇。算法，說(shuō)到底，就是做某一件事情的具體步驟和基本程序。因此，從廣義上來(lái)說(shuō)，菜譜也可以稱之為菜肴的算法，電視機(jī)的操作說(shuō)明書也可以稱之為電視機(jī)的算法，樂譜則可以稱之為樂曲的算法等。算法還可以用自然語(yǔ)言來(lái)描述，通常情況下，為了使得算法的程序和步驟表現(xiàn)得更為直觀，教師可以指導(dǎo)學(xué)生以數(shù)形結(jié)合的方式理解算法的概念，如圖所示：

比如說(shuō)，為了讓學(xué)生更為準(zhǔn)確透徹地理解“函數(shù)單調(diào)性”這一概念，教師同樣可以指導(dǎo)學(xué)生巧妙利用數(shù)形結(jié)合思想，即函數(shù)圖象。數(shù)形結(jié)合思想的巧妙運(yùn)用不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣，還有助于學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程。

可見，正是因?yàn)樾蜗笾庇^的圖像，讓學(xué)生對(duì)于增函數(shù)和減函數(shù)的概念有了更為準(zhǔn)確透徹的理解。

在引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中，得益于數(shù)形結(jié)合思想恰如其分的運(yùn)用，教師能夠?qū)⒃境橄蟮臄?shù)學(xué)概念變得形象具體，進(jìn)而讓學(xué)生更深、更透、更全地理解數(shù)學(xué)概念。

二、數(shù)形結(jié)合破難點(diǎn)

突破課堂教學(xué)難點(diǎn)是每一位教師絞盡腦汁努力的方向。在突破課堂教學(xué)難點(diǎn)的過(guò)程中，因?yàn)槭艿浇處熃虒W(xué)方法的限制以及學(xué)生思維能力的束縛，所以課堂教學(xué)難點(diǎn)的突破會(huì)遭遇重重困難。為了更好地突破課堂教學(xué)難點(diǎn)，對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，必須想方設(shè)法優(yōu)化自身教學(xué)方法;對(duì)學(xué)生而言，必須千方百計(jì)突破自身的思維束縛。

有鑒于此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要在緊扣教材教學(xué)內(nèi)容的前提下，準(zhǔn)確無(wú)誤地確定教學(xué)難點(diǎn)。圍繞教材難點(diǎn)，教師可以巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想優(yōu)化自身教學(xué)方法以及擺脫學(xué)生的思維束縛。如此這般，數(shù)形結(jié)合思想就會(huì)成為突破高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)難點(diǎn)的一大利器。

比如說(shuō)，在教學(xué)人教版A版高中數(shù)學(xué)必修四“任意角的三角函數(shù)”這部分內(nèi)容的時(shí)候，教師在深入挖掘教材教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確無(wú)誤地確定了這節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，即利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的集合形式表示出來(lái)。

從這個(gè)角度來(lái)講，數(shù)形結(jié)合思想就好比是一種利器，能夠在突破課堂教學(xué)難點(diǎn)的過(guò)程中披荊斬棘，最終引領(lǐng)學(xué)生突破難點(diǎn)，準(zhǔn)確透徹地理解相關(guān)知識(shí)。

三、數(shù)形結(jié)合理思路

正所謂“養(yǎng)兵千日，用兵一時(shí)。”對(duì)于高中學(xué)生而言，無(wú)論是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，還是理解數(shù)學(xué)公式，其最終目的都是能夠準(zhǔn)確無(wú)誤、靈活自如地運(yùn)用這些數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)公式解答各種數(shù)學(xué)題目。而在解答各種數(shù)學(xué)題目的過(guò)程中，學(xué)生的解題思路至關(guān)重要。如果學(xué)生的解題思路含糊不清、模棱兩可，那么，學(xué)生在解答的過(guò)程中肯定也會(huì)困難重重。反之，如果學(xué)生的解題思路脈絡(luò)清晰、步驟清楚，那么，學(xué)生的解題效率自然也會(huì)得到大幅提升。

那么，教師究竟應(yīng)該怎樣指導(dǎo)學(xué)生理清解題思路呢？實(shí)踐證明，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師恰如其分地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學(xué)生理清解題思路。而一旦學(xué)生理清了解題思路，準(zhǔn)確解答相關(guān)題目也就成了水到渠成的事情。

比如說(shuō)，教師在引領(lǐng)學(xué)生解答“與方程有關(guān)的問(wèn)題”時(shí)，就可以指導(dǎo)學(xué)生恰當(dāng)?shù)乩脭?shù)形結(jié)合思想。

毫無(wú)疑問(wèn)，當(dāng)學(xué)生熟練掌握利用數(shù)形結(jié)合思想理清解題思路這種方法之后，學(xué)生的解題速度與準(zhǔn)確率就能夠得到明顯提升。

四、數(shù)形結(jié)合梳知識(shí)

數(shù)學(xué)知識(shí)之間是縱橫交錯(cuò)、環(huán)環(huán)相扣、緊密聯(lián)系的。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，如果學(xué)生能夠脈絡(luò)清晰地梳理各種數(shù)學(xué)知識(shí)，那么，學(xué)生對(duì)于相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解就會(huì)更加準(zhǔn)確、更加全面、更加透徹。不僅如此，以脈絡(luò)清晰地梳理各種數(shù)學(xué)知識(shí)為契機(jī)，學(xué)生綜合運(yùn)用這些數(shù)學(xué)知識(shí)解決各種實(shí)際問(wèn)題的能力也就能夠得到不斷提升。

基于高中學(xué)生想要脈絡(luò)清晰地梳理各種數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)需要，高中數(shù)學(xué)教師要想方設(shè)法指引學(xué)生找準(zhǔn)梳理數(shù)學(xué)知識(shí)的“梳子”。而事實(shí)上，數(shù)形結(jié)合的思想正是高中學(xué)生梳理數(shù)學(xué)知識(shí)的一把梳子。之所以這樣說(shuō)，是因?yàn)閷W(xué)生巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)⒏鞣N各樣的數(shù)學(xué)知識(shí)脈絡(luò)清晰、層次分明地展現(xiàn)出來(lái)。

以高中數(shù)學(xué)“不等式”這部分內(nèi)容為例，教師可以圍繞“不等式”勾勒一張數(shù)形結(jié)合圖。在這張數(shù)形結(jié)合圖中，“不等式”是核心關(guān)鍵詞，圍繞“不等式”這一核心關(guān)鍵詞又可以發(fā)散出“不等式的性質(zhì)”“一元二次不等式”“簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃”和“基本不等式”等一級(jí)關(guān)鍵詞。圍繞這些一級(jí)關(guān)鍵詞又可以發(fā)散出二級(jí)關(guān)鍵詞。如圍繞“簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃”又可以發(fā)散出“可行域”“目標(biāo)函數(shù)”和“應(yīng)用題”等二級(jí)關(guān)鍵詞。

再以“概率”這部分內(nèi)容為例，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生可以將“概率”作為核心關(guān)鍵詞。圍繞這一核心關(guān)鍵詞，學(xué)生可以繼續(xù)延伸出“隨機(jī)事件的概率”“古典概型”“幾何概型”“離散型隨機(jī)變

量”“條件概率和事件的獨(dú)立性”和“正態(tài)分布”等一級(jí)關(guān)鍵詞。而圍繞“隨機(jī)事件的概率”這個(gè)一級(jí)關(guān)鍵詞又可以延伸出“隨機(jī)事件的概率”“概率的定義”和“概率的基本性質(zhì)”等二級(jí)關(guān)鍵詞。

還比如說(shuō)，在學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)完“三角函數(shù)”這部分內(nèi)容的時(shí)候，教師可以布置一項(xiàng)課后復(fù)習(xí)作業(yè)，即讓學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想歸納與梳理這部分知識(shí)的要點(diǎn)以及各部分知識(shí)之間的關(guān)系。“三角函數(shù)”這部分內(nèi)容主要包括“任意角的概念、終邊相同角、象限角、區(qū)間角、角度制和弧度制、任意角的三角函數(shù)、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、誘導(dǎo)公式、符號(hào)法則、三角函數(shù)線、弧長(zhǎng)與扇形面積公式、同角函數(shù)關(guān)系以及三角恒等變換等”，具體可以用下圖表示：

顯而易見，數(shù)形結(jié)合思想在梳理數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中的巧妙運(yùn)用，有助于學(xué)生找準(zhǔn)各個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，有助于學(xué)生更深、更全、更透地理解相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)。

五、數(shù)形結(jié)合激興趣

歌德說(shuō)：“哪里沒有興趣，哪里就沒有記憶。”學(xué)生對(duì)于所學(xué)知識(shí)的興趣決定著他們學(xué)習(xí)的實(shí)效性。對(duì)于高中學(xué)生而言，如果他們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)缺乏濃厚的興趣，那么，他們的學(xué)習(xí)效益肯定會(huì)不太理想。相反，如果高中學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生了濃厚的興趣，那么，他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的實(shí)效性自然也會(huì)得到顯著提升。

實(shí)踐證明，數(shù)形結(jié)合是激發(fā)高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的一種有效途徑。數(shù)形結(jié)合之所以能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣，主要是因?yàn)閿?shù)形結(jié)合能夠?qū)⒃境橄蟮臄?shù)學(xué)知識(shí)形象化。形象化的數(shù)學(xué)知識(shí)能夠極大地激發(fā)高中學(xué)生的濃厚興趣。

比如說(shuō)，在教學(xué)人教A版高中數(shù)學(xué)必修四“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”這部分內(nèi)容的時(shí)候，教師可以巧妙地利用數(shù)形結(jié)合思想激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的興趣。

教師利用數(shù)形結(jié)合思想可以引領(lǐng)學(xué)生興致勃勃地總結(jié)與歸納同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，具體如下：（1）在對(duì)角線上的兩個(gè)三角函數(shù)值的乘積等于1，有倒數(shù)關(guān)系;（2）帶有陰影的三個(gè)倒置三角形中，上面兩個(gè)三角函數(shù)的平方和下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方，有平方關(guān)系;（3）六邊形上任意一個(gè)頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上的函數(shù)值的乘積，可演化為商數(shù)關(guān)系。就這三層關(guān)系，教師可以指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想清晰地展現(xiàn)出來(lái)，具體如下圖：

很顯然，相比于讓學(xué)生直接用語(yǔ)言文字總結(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系而言，數(shù)形結(jié)合思想的恰當(dāng)運(yùn)用能夠切實(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的濃厚興趣。不僅如此，數(shù)學(xué)結(jié)合思想的恰當(dāng)運(yùn)用還能夠顯著降低學(xué)生學(xué)習(xí)新知的難度，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生更為條理清晰地梳理同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。

在解答這道題目的過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的圖象討論方程（特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程）的解的個(gè)數(shù)，這正是數(shù)形結(jié)合思想的具體表現(xiàn)。當(dāng)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)圖象這種數(shù)形結(jié)合思想解答各種復(fù)雜方程的時(shí)候，就會(huì)對(duì)解答復(fù)雜方程產(chǎn)生濃厚的興趣。因?yàn)榕d趣濃厚，所以學(xué)生原本解答復(fù)雜方程的畏難情緒也就會(huì)消失殆盡。用函數(shù)圖象討論方程解的個(gè)數(shù)，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式（不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)），然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù)。

由此可見，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的有效運(yùn)用不僅將原本抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化，將原本復(fù)雜的知識(shí)簡(jiǎn)單化，還能夠切實(shí)激發(fā)高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣。這樣一來(lái)，在濃厚興趣的推波助瀾下，學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)效性自然會(huì)得到顯著提升。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的巧妙運(yùn)用有助于學(xué)生釋概念、破難點(diǎn)、理思路、梳知識(shí)和激興趣。當(dāng)然，為了更好地發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的這些作用，教師一定要找準(zhǔn)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中融入數(shù)形結(jié)合思想的切入點(diǎn)，即教師要將數(shù)形結(jié)合思想與高中數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)恰如其分、貼切入微地結(jié)合起來(lái)。如此這般，數(shù)形結(jié)合思想才能夠成為提升高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效益和發(fā)展高中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有力推手。

參考文獻(xiàn)：

[1]侯招琴.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效運(yùn)用[J].吉林教育，2017（31）：74-80.

[2]朱倫.數(shù)形結(jié)合走出數(shù)學(xué)的迷宮：論數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中的有效運(yùn)用[J].考試周刊，2018（41）：99.