初中數(shù)學(xué)建模有效教學(xué)策略研究

錢良均 葉春燕

【摘要】數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象.初中數(shù)學(xué)課程應(yīng)體現(xiàn)綜合與實(shí)踐中“問題情境——建立數(shù)學(xué)模型——理解、應(yīng)用與拓展”的建模設(shè)計(jì)流程，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程.初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)宜低起點(diǎn)、小步子、多活動(dòng)，要重視數(shù)學(xué)知識，更應(yīng)突出數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，在獲得對數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感、態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)模型;課例分析;綜合與實(shí)踐

一、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模

所謂數(shù)學(xué)模型，是指對現(xiàn)實(shí)世界的某一特定研究對象，為了某個(gè)特定的目的，在做了一些必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，并通過數(shù)學(xué)語言表述出來的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)中的各種基本概念，都以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型作為背景而抽象出來的數(shù)學(xué)概念.各種數(shù)學(xué)公式、方程式、定理、理論體系等等，都是一些具體的數(shù)學(xué)模型.而通過對問題數(shù)學(xué)化，構(gòu)建模型，求解檢驗(yàn)使問題獲得解決的方法被稱之為數(shù)學(xué)模型方法.我們的數(shù)學(xué)教學(xué)說到底實(shí)際上就是教給學(xué)生前人給我們構(gòu)建的一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)模型和怎樣構(gòu)建模型的思想方法，以使學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題.確實(shí)，我們常常可以通過模型來了解“母本”物體的信息和性質(zhì).用模型來研究“母本”物體是一種非常重要的技術(shù)方法.而數(shù)學(xué)模型往往不是一個(gè)實(shí)體模型，它是用來近似表達(dá)事物或其現(xiàn)象特征的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是用一組數(shù)學(xué)規(guī)則和定理來描述、刻畫事物和現(xiàn)象的理論模型.因此，我們也把設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的過程叫數(shù)學(xué)建模.

由此，我們可以看出，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的能力關(guān)鍵是把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，要求學(xué)生有一定的抽象能力，而且要有相當(dāng)?shù)挠^察、分析、綜合、類比能力.

二、初中開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的課例及分析

（一）初中數(shù)學(xué)建模的類型

初中數(shù)學(xué)建模的類型主要是數(shù)學(xué)概念模式、數(shù)學(xué)原理教學(xué)模式、數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)模式、數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)模式、數(shù)學(xué)講評課模式、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)模式等十一類.現(xiàn)在，就前兩種模式表達(dá)一些自己的看法：

1.數(shù)學(xué)概念模式

數(shù)學(xué)概念模式分“啟發(fā)討論模式”“自學(xué)輔導(dǎo)模式”.“啟發(fā)討論模式”將教師教學(xué)的著力點(diǎn)放在“導(dǎo)”上，在課堂教學(xué)中，教師通過啟發(fā)、引導(dǎo)、指導(dǎo)、輔導(dǎo)等方式與講授結(jié)合起來，以提高學(xué)生的參與程度，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，另外學(xué)生通過自主探究、發(fā)現(xiàn)、嘗試、提問、討論、反饋、練習(xí)等，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念形成的過程，從而加深對概念的理解，使其主體作用得到更充分的發(fā)揮，從而使教學(xué)與學(xué)法能夠較好地相融共進(jìn).同時(shí)，學(xué)生在此過程中所獲得的體驗(yàn)和經(jīng)歷，可以使他們在后繼的學(xué)習(xí)中，逐漸提高理解能力，掌握教學(xué)思維方法，學(xué)會數(shù)學(xué)思維.“自學(xué)—輔導(dǎo)教學(xué)模式”以學(xué)生為主，以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、適應(yīng)未來社會發(fā)展的需要為目的，在教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)，在教師的輔導(dǎo)下，學(xué)生通過系統(tǒng)的自學(xué)，彼此交流、合作、研討，掌握概念、獲取新知.同時(shí)在獲取新知的過程中，掌握自主學(xué)習(xí)的方法，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力.建構(gòu)主義理論認(rèn)為，知識產(chǎn)生于主體與客體的作用過程之中，數(shù)學(xué)知識不是簡單機(jī)械地從一個(gè)人遷移到另一個(gè)人，而是基于個(gè)人對經(jīng)驗(yàn)的操作、交流，通過反省來建構(gòu)的，學(xué)生可以充分感受到成功與失敗的情感體驗(yàn)，為建構(gòu)新的認(rèn)識結(jié)構(gòu)奠定扎實(shí)的基礎(chǔ).

2.數(shù)學(xué)原理教學(xué)模式

數(shù)學(xué)原理教學(xué)模式主要有“發(fā)現(xiàn)——滲透式”，其特點(diǎn)是由學(xué)生發(fā)現(xiàn)，證明由學(xué)生完成，應(yīng)用中加深理解，將數(shù)學(xué)思想方法的滲透貫穿于始終.其操作過程是創(chuàng)設(shè)情境以舊托新—引導(dǎo)探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論—科學(xué)論證形成原理—示例練習(xí)促進(jìn)保持—變式訓(xùn)練點(diǎn)撥方法—挖掘內(nèi)涵體驗(yàn)鑒賞.其次是“討論—反饋”模式，其特點(diǎn)是在富有情趣的氛圍中，以教師與學(xué)生的互動(dòng)方式，通過教師的引發(fā)、反饋、指導(dǎo)、評價(jià)，學(xué)生的探究、討論、交流、練習(xí)，不斷激發(fā)學(xué)生對問題的好奇心，使其在積極的自主活動(dòng)中學(xué)到知識，享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來的樂趣.其操用過程是設(shè)問激發(fā)興趣引出課題—分組討論指導(dǎo)探究—交流結(jié)果互辯互啟—反饋評價(jià)統(tǒng)一認(rèn)識—深入探討獲取定論—練習(xí)鞏固反思矯正.再次，“理解鏈—雙主性”模式，其特點(diǎn)是利用皮亞杰的同化、順應(yīng)、平衡理論建立了數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的理解鏈，由這種特定的思維途徑建立起新舊知識的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系.并以雙主性的作用方式，在教師的主導(dǎo)下充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，使學(xué)生通過對理解鏈的操作學(xué)習(xí)，提高自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)參與程度，真正理解數(shù)學(xué)新知識，建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).其操作過程是表層理解—依托理解—深刻理解—應(yīng)用理解—內(nèi)化理解.

（二）初中數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的課例分析

課例 利用“狀態(tài)轉(zhuǎn)移法”，解決“分油問題”

分油問題是一個(gè)古老的益智問題，其中一個(gè)問題是這樣的：大桶里有10斤油，現(xiàn)有大小兩個(gè)瓶子，大瓶能裝7斤油，小瓶能裝3斤油.沒有其他量具，如何把10斤油平分成兩個(gè)5斤油？如果將桶中的油量改成16斤，大、小空瓶的容量改成12斤和7斤，證明不能分出兩個(gè)8斤油.

分析 這個(gè)問題的求解方法是多種多樣的，下面介紹的是用“狀態(tài)轉(zhuǎn)移”的數(shù)學(xué)模型求解的過程.建模的過程是這樣的：我們用二維數(shù)組（x，y）表示大、小瓶裝油的“狀態(tài)”，其中x，y分別表示大、小瓶中的油量，單位是“斤”.容許的狀態(tài)是（x，y）：0≤x≤7，0≤y≤3.

狀態(tài)轉(zhuǎn)移操作的說明：

容許狀態(tài)的分布區(qū)域下面我們把倒油的操作與“狀態(tài)”在容許區(qū)域中的變化，對應(yīng)的描述如下：

1.桶向大瓶里倒k斤油：（x，y）→（x+k，y）相當(dāng)于水平右移k格，k≤7;

2.大瓶向桶里倒k斤油：（x，y）→（x-k，y）相當(dāng)于水平左移k格，k≤7;

3.桶向小瓶里倒k斤油：（x，y）→（x，y+k）相當(dāng)于豎直上移k格，k≤3;

4.小瓶向桶里倒k斤油：（x，y）→（x，y-k）相當(dāng)于豎直下移k格，k≤3;

5.大瓶向小瓶里倒k斤油：（x，y）→（x-k，y+k）相當(dāng)于沿135°的方向，向左上方移過k行，k≤3;

6.小瓶向大瓶里倒k斤油：（x，y）→（x+k，y-k）相當(dāng)于沿-45°的方向，向右下方移過k行，k≤3.

因此，我們可以用以上方法，證明分油不可能的問題.（此處略去具體做法）

三、在初中數(shù)學(xué)常規(guī)教學(xué)中滲透“模型”思想的實(shí)際價(jià)值

初中數(shù)學(xué)建模的前哨戰(zhàn)——初中數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐

《初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：“綜合與實(shí)踐”是指一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng).在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生將綜合運(yùn)用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”等知識和方法解決問題.初中數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐的關(guān)系有很明顯的交叉：

那么，我們的初中數(shù)學(xué)為什么要開展數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐呢？我認(rèn)為有以下三點(diǎn)理由：

1.綜合與實(shí)踐是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識很好的載體;

2.綜合與實(shí)踐有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ);獨(dú)立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心;歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法.

3.綜合與實(shí)踐有助于培養(yǎng)學(xué)生的模型思想.模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.

四、初中數(shù)學(xué)建模、綜合與實(shí)踐具體實(shí)施辦法及案例分析

（一）初中階段數(shù)學(xué)建模、綜合與實(shí)踐活動(dòng)的類型（舉例部分）

1.課堂內(nèi)進(jìn)行的綜合與實(shí)踐活動(dòng)：例如，（1）探尋神奇的幻方;（2）設(shè)計(jì)自己的運(yùn)算程序.

2.解決數(shù)學(xué)外部問題（生活、其他學(xué)科等）的綜合與實(shí)踐活動(dòng)：例如，（1）七巧板;（2）折紙問題探索.

3.解決數(shù)學(xué)內(nèi)部問題的綜合與實(shí)踐活動(dòng)：

例如，（1）關(guān)注人口老齡化;（2）制作立體模型;（3）制作一個(gè)盡可能大的無蓋長方體盒子.

（二）初中階段數(shù)學(xué)建模、綜合與實(shí)踐的操作環(huán)節(jié)

我們把操作環(huán)節(jié)設(shè)置成以下四個(gè)步驟：

1.選題——問題引領(lǐng);

2.開題——探尋解徑;

3.做題——實(shí)踐操作;

4.結(jié)題——交流評價(jià).

以上環(huán)節(jié)，實(shí)際上是一個(gè)模擬的“微科研”過程.

（三）初中階段數(shù)學(xué)建模、綜合與實(shí)踐的操作案例及分析

案例 走出課堂的數(shù)學(xué)建模（綜合與實(shí)踐），身邊數(shù)學(xué)建模問題的延續(xù).

復(fù)印紙的問題：

常用的復(fù)印紙的型號有A4、A3、B4、B5等等.有一天，我在數(shù)碼廣場行走，突然在某大型復(fù)印機(jī)專業(yè)公司服務(wù)部的門面上看到貼出的如下廣告：“本部承接超大型工程圖紙復(fù)印業(yè)務(wù)，規(guī)格可達(dá)A1、B1大小……”.好奇的我立刻聯(lián)想到下面的問題，A1、B1的復(fù)印紙有多大？，能不能根據(jù)手邊的幾種常見的復(fù)印紙的大小，推算出A1及B1型復(fù)印紙的大小？它們的尺寸之間有什么數(shù)量關(guān)系？

問題解析：

1.先觀察若干復(fù)印紙的樣品，容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律;

2.查閱電腦：（如WORD、WPS等軟件）的“頁面設(shè)置”欄目下的信息，可以具體查出A4和B5的尺寸如下（單位：mm）：

如果將問題進(jìn)行拓展，就可以得到以下延伸的問題：

（1）我們類似地可以解決報(bào)紙、常見標(biāo)準(zhǔn)尺寸的出版物的尺寸推算，如根據(jù)手中常見的32K的教材的尺寸，估算16K、8K、4K、2K、1K出版物的尺寸.

（2）將“優(yōu)美矩形列”推廣到三維空間，會得到怎樣的“優(yōu)美長方體列”，又會有怎樣的性質(zhì)？

（3）將“優(yōu)美矩形列”推廣到如圖所示的情境，又會有怎樣的性質(zhì)？例如，我們看看圖1，在1∶3狀態(tài)下的“美麗矩形”.

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中構(gòu)建學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識與素質(zhì)教學(xué)所要求的培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力是相輔相成、密不可分的.要真正培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，光憑傳授知識是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，重要的是在教學(xué)中必須堅(jiān)持以學(xué)生為主體，不能脫離學(xué)生搞一些不切實(shí)際的建模教學(xué)，我們的一切教學(xué)活動(dòng)必須以調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生自主活動(dòng)，自覺地在學(xué)習(xí)過程中構(gòu)建數(shù)學(xué)建模意識，只有這樣才能使學(xué)生分析和解決問題的能力得到長足的進(jìn)步，也只有這樣才能真正提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，使學(xué)生學(xué)到有用的數(shù)學(xué).我們相信，在開展“目標(biāo)教學(xué)”的同時(shí)，大力滲透“建模教學(xué)”必將為中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革提供一條新路，也必將為培養(yǎng)更多更好的“創(chuàng)造型”人才提供一個(gè)全新的舞臺.

【參考文獻(xiàn)】

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