中職數學教學中常用反例教學

【摘要】近年來，中職學生數學基礎越來越薄弱，對一些數學概念、定理、結論的理解不夠透徹，這也導致了部分學生在學習數學過程中經常遇到挫折，進而影響學習的興趣和成效.在數學教學中引入一些有針對性的反例來說明問題，往往能取得良好的教學效果.

【關鍵詞】中職數學;反例教學;效果

數學是中職各專業的一門重要基礎課，也是終身教育的基石.然而伴隨著國家逐步普及高中教育的趨勢，中職學校入學門檻越來越低，學生的數學基礎也呈現不斷下滑的趨勢.繼續沿用以前的講解定義定理，舉例練習，鞏固反思教學模式已經難以達到較好的教學效果.

近年的教學中，同行們也探索了興趣教學[1]，分層教學[2]，數學應用教學[3]，多媒體教學[4]等多種教學方法，起到了一定的積極意義.但是，學生對數學課依然有典型的畏難心理，對數學學習缺乏興趣，對數學思想方法的吸收不足.鑒于現實困境，在前面這些教學方法的基礎上我在日常教學中嘗試多用反例教學，從而淡化了數學問題的抽象性，增加了數學學習的生動性;提升了學生思考的積極性等，取得了一些良好的效果.

一、一些反例的應用

這里，我分享一些日常教學中應用反例教學的具體教學案例.

（一）小數與分數

在討論集合的時候，書上說有理數集包含了整數與分數，而無理數集是由無限不循環小數組成的.有些學生提出了疑問：分數和小數不是可以相互轉化的嗎？

這里就有一個慣性思維的問題，平時如12=0.5，13=0.3·，以至于有些學生犯了經驗主義錯誤，以為小數和分數都可以相互轉化，這里只需舉反例π就可以說明無線不循環小數是不可以化為分數的.

（二）函數的單調性

在講解函數的單調性的時候，大多數學生對一元一次函數單調性是通過記憶自變量前面系數來判斷的.而對一元二次函數，則沒有固定章法，比如，f（x）=x2-x+2，有些學生為了偷懶，不愿意去深入分析，甚至簡單地認為自變量x越大，函數值y就應該越大，這時候只需讓大家去驗證f（-1）和f（1）的大小關系，就能打消學生的危險念頭，進而提醒學生學習、生活都要孜孜不倦.

（三）函數的奇偶性

關于函數的奇偶性，很多初學者容易忽略前提條件（定義域關于原點對稱），比如，在很多學生記憶中，y=x2是個開口向上的拋物線，關于y軸對稱.以至于在考試中，讓判斷y=x2在（-∞，0）上的奇偶性，很多學生不假思索地回答是偶函數，這就明顯缺乏嚴謹思維.此時可以讓學生自己去找（-1，1）的對稱點，就能發現問題.

（四）函數的周期性

在講解函數的周期性的時候，很多學生經常問這樣兩個問題：兩個周期函數加在一起是不是還是周期函數？兩個非周期函數加在一起是不是一定是非周期函數？

對這樣的問題，如果從證明的角度去回答，似乎很難有較好的教學效果，此時我們不妨借助于反例來解答疑惑.比如，第一個問題：假設f（x）=x-[x]，g（x）=sinx，那么f（x）的周期是1，g（x）的周期是2π，但是f（x）+g（x）就不再是周期函數了，所以說兩個周期函數加在一起不一定是周期函數.對第二個問題：假設f（x）=sinx+1，g（x）=sinx-1，那么f（x），g（x）都是非周期函數，但是f（x）+g（x）=2sinx卻是周期為2π的函數，所以說兩個非周期函數加在一起有可能是周期函數.

（五）反函數

在講解反函數概念時，很多學生經常忽略反函數的存在條件是原函數要一一對應，以為只要通過表達式算出x就是反函數了.此時可以舉例y=x2，它在定義域內就不存在反函數，進而提醒學生們理解數學概念一定要透徹，生活中解決問題也要細致.

（六）等差數列的求和

在介紹等差數列的求和時，我們得到前n項和計算公式Sn=（a1+an）×n2，很多學生感覺很是好用，以至于在遇到數列求和問題時就盲目使用而忽略了這個公式只適合于等差數列，此時可以舉個簡單例子：求數列1，2，4，7，8，9的和，如果代入公式S6=（1+9）×62=30，很顯然出錯了.警示了學生考慮問題要嚴謹.

（七）概率與頻率

對初學者來說，經常把概率和頻率混為一談.比如，擲一枚均勻的硬幣大家都說正面、反面向上的概率都是12，因為這個事件只有兩個等可能的結果.而此時我們在課堂上讓A，B兩名學生分別擲5次硬幣，A正面向上有4次，B正面向上有2次;可以請學生思考這里的45，25代表什么呢？只能是正面向上的頻率了，困惑迎刃而解.這里也提醒了學生，在生活中不能心存僥幸，因為頻率通常是不穩定的.

二、總 結

在中職數學教學中，相關知識點的反例還有很多可以挖掘，這里篇幅有限，只是作為一個拋磚引玉.反例教學在解釋相關概念、定理、結論的時候可以起到事半功倍的效果，同時啟發學生作逆向思維和探索，可以開拓其思維的深度和廣度，加深對數學抽象概念的印象，進而體會到數學的嚴密性，邏輯性.便于掌握數學的思想、方法與技巧.

當然反例的構思也是一門大學問，好的反例簡潔明了，不恰當的反例也可能會把問題復雜化.對教師來說除了日常的積累，更重要的是要在日常教學中發現學生容易犯錯誤的地方，倒推學生犯錯誤的原因，進而對癥下藥，構思出有針對性的反例來化解學生學習中的誤區.總之，在中職數學教學中常用反例教學是一種積極、有效地探索，值得大力推廣，不斷深入發掘.

【參考文獻】

[1]蘭光福.中職數學興趣教學新方法探索[J].職業教育研究，2010（8）：96-97.

[2]王慶超.中職數學“分層次教學”探析[J].科普童話，2018（31）：49.

[3]劉冠明.問題解決教學法與中職數學應用教學[J].湖南科技學院學報，2011（9）：38.

[4]馮芮.中職數學的多媒體教學[J].數學學習與研究，2012（1）：26.