固支薄膜結構強非線性振動解析方法研究

李英民， 宋維舉， 王肖巍

(重慶大學 土木工程學院，重慶 400045)

薄膜結構由于造型美觀自由、透光、節能等優勢，被廣泛應用于建筑小品或者大跨空間屋蓋結構。但由于其高柔度、低自重，因而對外荷載的作用非常敏感，容易發生振動[1]，一般情況下薄膜結構在振動過程中的橫向振幅較大，表現出較強的非線性狀態[2-3]。大幅振動導致的膜結構破壞案例較多，因此，研究薄膜結構的振動性能，把握振動規律以及影響因素，對其設計、施工以及日常使用都具有重要意義[4]。針對薄膜結構非線性自振特性解析研究，已有一些研究成果，林文靜等[5]基于小撓度理論給出了圓形薄膜自由振動的理論解；潘鈞俊等[6]根據達朗貝爾原理建立了方形膜結構的離散非線性振動方程組，推導了結構在一階振型初始位移下的等效一階頻率的計算公式；劉長江等[7]采用KBM法對矩形膜結構有阻尼自由振動進行求解，得到了振動頻率和位移函數的近似解析式。上述方法基本都是基于小撓度理論或者弱非線性攝動方法對薄膜振動進行解析研究，忽略了薄膜結構強非線性的振動特性。

本文通過理論和試驗方法研究平坦矩形正交異性薄膜結構四邊固支條件下的強非線性振動特性，運用改進多重尺度法結合Galerkin法從理論上求解平坦張拉膜結構非線性振動方程，得到薄膜結構強非線性振動頻率及位移的近似解析函數，給出了不同振型下薄膜自振頻率隨初始條件的變化關系。借鑒“彈射法”測量膜結構預張力的試驗方案[8]進行膜材自振試驗研究，通過試驗驗證了改進多重尺度法的適用性，為膜結構強非線性動力解析研究提供了理論基礎。

1 平坦薄膜強非線性振動理論推導

1.1 控制方程和邊界條件

假設平坦薄膜沿x軸方向邊長為a，沿y軸方向的邊長為b，如圖1(a)所示。

假定薄膜結構在水平位置處于靜止平衡狀態，給膜面施加初始法向位移使其連續振動，如圖1(b)所示。文獻[3]給出了正交異性薄膜非線性自由振動的控制方程組

(1)

(2)

式中:ρ表示膜材面密度；c表示阻尼系數；σ0x表示x向預應力；σ0y表示y向預應力；w表示w(x,y,t)橫向振動撓度；h表示薄膜厚度；E1表示x向彈性模量；E2表示y向彈性模量；φ表示應力函數。

(a)

(b)

相應的邊界條件為

(3)

(4)

假設滿足邊界條件的位移函數和應力函數為

(5)

(6)

式中:φmn(x,y)、Tmn(t)為未知函數。

最終，通過參數代換和Galerkin法可以得到一個非線性偏微分方程。

(7)

1.2 控制方程的改進多尺度解

根據攝動法的基本思想，

(8)

將建筑工程膜材參數代入ε可估算出ε>>1，則式(8)為強非線性振動微分方程。

引入變換參數[9]

(9)

將ω2展開為ε的冪級數

(10)

(11)

式(8)的攝動解形式為

T(t,α)=T0(t0,t1)+αT1(t0,t1)+

α2T2(t0,t1)+…

(12)

式中:t0=t,t1=αt

關于t的導數化成關于Tn的偏導數的展開式，即有

(13)

將式(9)、(11)和(13)代入式(8)，并令方程式中α的各冪次的系數為零，可得：

(14)

(15)

(16)

設式(14)解可寫成

(17)

將式(17)代入(15)，消除永年項可得

(18)

求解式(18)可得：

(19)

令A=feiφ/2，代入式(20)并分離虛部和實部得

(20)

式中:f為平坦薄膜振動幅值。

比較式(20)得角頻率和式(11)可知一階近似條件下

(21)

比較式(20)和(21)即可得到ω1的表達式，ω1=3f2/4ω0，將其代入式(10)并略去高階項得

(22)

(23)

(24)

積分式(24)可得

(25)

式中:f0為與初始條件有關的積分常數。因此可得式(8)的一階攝動解為

(26)

式中:f0和φ0由初始條件確定。給定任意振動初始條件

(27)

式中:T0為初始位移。

對式(26)求一階導并將初始條件帶入即可得到

(28)

求解式(28)可以得到f0和φ0的值。

(29)

將式(29)代入式(5)，得到考慮振動阻尼的平坦矩形薄膜結構強非線性振動位移函數

(30)

根據式(30)可以計算出薄膜結構膜面任意一點的位移時程。

1.3 數值算例

以建筑工程領域常用的織物膜材為例，取ρ=1.2 kg/m2;a=1.2 m;b=1.2 m;c=90 N·s/m3;h=1.0 mm;E1=1.4×106kN/m2;E2=0.9×106 kN/m。

將式(22)結果與文獻[7]KBM攝動解及文獻[10]精確級數解進行對比，分析振動頻率隨初始位移T0的變化關系，見圖2。

由圖2可知當初始位移較小時，改進多尺度解和KBM攝動解及精確級數解基本吻合，隨著初始位移的增大，系統表現出較強的非線性，KBM解與精確級數解的相對差值變大，改進多尺度法依然能很好的與級數解相吻合，證明改進多重尺度法對于薄膜結構強非線性振動系統的適用性較好。

圖3是采用改進多尺度法計算的各階振動振幅的變化趨勢三維圖，從圖3可知，隨著振動階數的增加振幅是減小的，從最大幅值分布三維圖形可以看出，當為驗證理論方法的有效性，參考已有“彈射法”測量建筑膜結構預張力試驗編制了張拉膜結構振動特性試驗方案[11]。

圖2 振動頻率隨振幅變化曲線

Fig.2 Amplitude-frequency response curve

圖3 各階振動振幅變化趨勢圖

m>5,n>5時，振動幅值基本已經接近于零，即薄膜的振動響應主要聚集在低階振型，高階振型貢獻很小。

2 平坦薄膜振動試驗研究

由于膜材試件數量所限，本試驗主要針對不同預張力下的薄膜振動響應進行研究，其它因素如膜材厚度，膜材尺寸等對薄膜振動響應的影響分析將后續開展。

2.1 試驗試件

試驗選用正方形國產ZZF膜材試件，膜材的密度為950 g/m2；厚度為0.72 mm；徑向彈性模量為1 590 MPa；緯向彈性模量為1 360 MPa；正向拉伸強度為4 000 N/5 cm；反向拉伸強度為3 700 N/5 cm。試件幾何邊長為2.5 m，四端進行帶寬為100 mm的切縫處理，膜材試件四角處分別裁掉邊長為650 mm的小正方形，然后對四邊做直徑400 mm倒圓角處理，處理后膜材四邊進行鎖邊和鉆螺栓連接孔，膜面設置三個測點，具體圖示見圖4。

2.2 張拉與測量裝置

采用改進的“十字形螺桿式膜材張拉裝置”，其平面尺寸設計為3 800 mm×4 160 mm，中心正方形區域為1 200 mm×1 200 mm，其高度為1 600 mm，整個試驗支架和斜撐用60 mm×60 mm的方鋼管焊接而成，用M20螺桿進行張拉。為模擬理論推導時四邊固支邊界條件。張拉裝置中心正方形區域設置試驗架，試驗架對邊均勻對稱布設4個螺栓孔，由試驗架上四個螺栓在膜面下方托起方形鐵框(尺寸為1 200 mm×1 200 mm)，膜面上方設置相同尺寸方形鐵框，使其與膜面下方的方形鐵框完全重合，在膜面上方的方形框之上壓重鐵塊，使膜面上下方形框夾緊膜材，即可得到四邊近似固支的矩形膜材測量區域。

試驗測量裝置主要包括測力計與位移傳感器。試驗選用HP-10K數顯式推拉力計置放于張拉螺桿與薄膜夾板之間，進行膜材張拉力的測定。采用英國激光距離傳感器ZLDS100來測量膜面的振動，具體布置見圖5。

圖5 張拉與測量裝置布置圖

2.3 加載方案

試驗中，采取分級張拉形式，張拉時薄膜x，y方向的拉力值相等，預張力級別分別為1.0 kN、2.0 kN、3.0 kN、4.0 kN、5.0 kN、6.0 kN、7.0 kN、8.0 kN。每一預張力級別下，用鼓風機通過送風裝置豎向對膜面進行瞬間沖擊后立刻關閉風機，以此模擬膜面自由振動初始能量輸入。用數字風速計測得接近膜面的風速平均值為11.2 m/s，為減小試驗誤差，每一預張力工況，風機進行重復沖擊數次。最終初始位移和最大振幅均取數次平均值。送風裝置見圖6。

圖6 送風裝置

3 試驗結果及驗證分析

以風機瞬時沖擊膜面產生的變形為初始位移，帶入理論計算式，分別求解平坦薄膜振動基頻與最大振幅，由于風力較小，施加給膜材的初始能量較小，作用時間短，很難激發起膜材的高階振動，因此在進行幅值計算時只考慮前兩階振型。圖7是ZZF膜材試件的三個測點處振動幅值與振動頻率的理論計算和試驗數據對比圖。由圖7可知，理論計算與試驗結果相對誤差較小。理論計算所得幅值和頻率均大于試驗結果，原因是理論計算中的振型函數來源于板殼理論，振型函數與實際振動狀態相比偏飽滿，造成理論計算時膜面剛度偏大，此外薄膜是一種柔性材料，簡單的振型函數不能精確的反映實際復雜的振動情形，所以頻率與振幅都較試驗值偏大。

(a) C1測點

4 結 論

通過對平坦張拉膜結構自由振動的理論和試驗研究，主要得出以下結論：

(1) 采用改進多重尺度法得到的平坦薄膜自振頻率與振幅響應與精確級數解接近，隨著初始位移的增加，薄膜振動表現出較強的幾何非線性，改進多重尺度法相比傳統KBM攝動法而言，其適用性不受初始位移的限制。

(2) 借鑒板殼理論選取振型函數研究柔性膜結構的振動會存在一定的誤差，簡單的三角振型函數不能精確的反映薄膜實際的振動情形，由于假設的振型函數偏于飽滿，導致理論計算剛度偏大，所以理論值存在偏大的情況。

(3) 本文的理論工作為后續研究張拉膜結構風致動力災變問題提供了一定的理論基礎，并且通過試驗結果對比得到理論推導過程中由于簡化計算而導致的誤差原因，后續理論研究中可采取更為準確的振型函數來描述膜結構的振動形態。