考慮粘彈性泊松比的固體推進(jìn)劑蠕變型本構(gòu)模型①

崔輝如，張 斌，申志彬，李海陽

(1.國防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073；2.中國航天科工集團(tuán)有限公司第九總體設(shè)計(jì)部，武漢 430040)

0 引言

固體推進(jìn)劑是典型的粘彈性材料，其泊松比在結(jié)構(gòu)分析中扮演著重要的角色。試驗(yàn)結(jié)果表明[1]，推進(jìn)劑粘彈性泊松比是與時(shí)間、溫度、縱向應(yīng)變水平及預(yù)緊力相關(guān)的量。此外，推進(jìn)劑泊松比在千分位上的變化都會(huì)對(duì)藥柱結(jié)構(gòu)完整性分析帶來重要的影響。然而，在實(shí)際發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)完整性分析中，泊松比常被處理成常數(shù)。由以上分析可知，彈性泊松比的假設(shè)勢(shì)必會(huì)帶來不合理的分析結(jié)果。因此，利用粘彈性泊松比替代彈性泊松比進(jìn)行結(jié)構(gòu)完整性分析是非常有必要的。

一些專家學(xué)者對(duì)不同彈性泊松比下推進(jìn)劑藥柱結(jié)構(gòu)時(shí)間-溫度相關(guān)的力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了研究，結(jié)果表明，當(dāng)泊松比從不可壓情況下的泊松比ν=0.5變化到可壓情況下ν≠0.5時(shí)，泊松比對(duì)藥柱結(jié)構(gòu)分析會(huì)有特別嚴(yán)重的影響[2-3]。盡管以上分析說明了泊松比對(duì)藥柱結(jié)構(gòu)分析的影響，但粘彈性泊松比對(duì)藥柱結(jié)構(gòu)的影響問題依舊沒有解決。Deng等[4-5]基于Pan等[6]測(cè)得的粘彈性泊松比，研究了考慮時(shí)間相關(guān)泊松比的推進(jìn)劑本構(gòu)模型，并采用增量有限元方法對(duì)藥柱結(jié)構(gòu)進(jìn)行了有限元分析，結(jié)果顯示，彈性泊松比計(jì)算得出的應(yīng)力應(yīng)變結(jié)果比粘彈性泊松比計(jì)算得出的應(yīng)力應(yīng)變結(jié)果小得多。

本文從粘彈性泊松比的定義出發(fā)，通過拉普拉斯變換，建立了考慮粘彈性泊松比的推進(jìn)劑蠕變型本構(gòu)模型。針對(duì)星孔發(fā)動(dòng)機(jī)的點(diǎn)火增壓工況，對(duì)粘彈性泊松比的影響進(jìn)行了研究分析。

1 粘彈性泊松比

在線性粘彈性的情況下，時(shí)間相關(guān)泊松比可以定義為松弛試驗(yàn)中，單軸拉伸狀態(tài)下橫向變形與初始縱向定應(yīng)變的比值[7]：

(1)

固體推進(jìn)劑是典型的熱流變材料，粘彈性泊松比等材料參數(shù)符合時(shí)溫等效原理，即時(shí)間和溫度的不同組合可得到相同的泊松比。這個(gè)原理可以表示為

ν(lgt,T)=ν(lgζ,T0)

(2)

其中，縮減時(shí)間ζ表示為

ζ=t/αT

(3)

式中αT為時(shí)間平移因子。

另一方面，為了描述時(shí)間因子的溫度相關(guān)性，可利用WLF方程，得到溫度相關(guān)的平移因子[8]：

(4)

式中T為當(dāng)前溫度；Ts為參考溫度；C1和C2為材料參數(shù)。

粘彈性泊松比的Prony級(jí)數(shù)表示為

(5)

當(dāng)Prony級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)為5時(shí)，函數(shù)相關(guān)參數(shù)見表1。WLF方程在20 ℃下的材料常數(shù)C1和C2見表2。

表 1 材料常數(shù)Prony級(jí)數(shù)中的參數(shù)

表 2 WLF方程參數(shù)

一個(gè)完整的本構(gòu)模型必須有2個(gè)以上的獨(dú)立材料參數(shù)。對(duì)于蠕變模型，蠕變模量和泊松比是必不可少的。蠕變模量用Prony級(jí)數(shù)表示為

(6)

當(dāng)Prony級(jí)數(shù)的個(gè)數(shù)為3時(shí)，函數(shù)的系數(shù)列于表1中。此外，對(duì)蠕變模量WLF方程的材料常數(shù)列于表2。為了方便計(jì)算，定義：

(7)

2 蠕變型本構(gòu)關(guān)系

對(duì)于均勻各向同性的粘彈性材料，考慮彈性泊松比，以蠕變模量和泊松比作為參考變量，剪切蠕變模量χ(t)和體積蠕變模量B(t)被定義為

χ(t)=2(1+ν)J(t)

(8)

B(t)=3(1-2ν)J(t)

(9)

但考慮到粘彈性泊松比的影響，式(8)在復(fù)域中形式為

(10)

利用逆拉普拉斯變換，式(10)可簡(jiǎn)化為

[1+ν(0)]J(t)*dSij+J*(t)*dSij=eij

(11)

其中

(12)

考慮到溫度的影響，式(12)變?yōu)?/p>

(13)

其中，θ、θ′、ξ和ξ′為縮減時(shí)間。

同樣地，對(duì)于復(fù)數(shù)域的蠕變模量：

(14)

粘彈性本構(gòu)模型中的球形應(yīng)變?nèi)缦拢?/p>

(15)

3 應(yīng)用分析

為了驗(yàn)證新提出的蠕變型本構(gòu)模型以及對(duì)粘彈性泊松比的影響特性進(jìn)行分析，選擇發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火增壓工況作為主要研究?jī)?nèi)容。固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)主要由殼體、絕熱層和藥柱等部件組成。為簡(jiǎn)化模型和計(jì)算方便，采用發(fā)動(dòng)機(jī)的軸對(duì)稱模型。采用六面體單元，對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)幾何模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，有限元模型如圖1所示，該模型包含25 055個(gè)六面體單元和31 046節(jié)點(diǎn)。在模型的尾部施加軸向的位移約束，在對(duì)稱剖面上施加環(huán)向位移約束。

圖1 固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的有限元模型

表3列出了發(fā)動(dòng)機(jī)中各材料的材料參數(shù)。兩個(gè)彈性泊松比(粘彈性泊松比的初始值和平衡值)和粘彈性泊松比ν(t)將會(huì)被用來進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析。

表3 固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的材料參數(shù)

發(fā)動(dòng)機(jī)的建壓曲線滿足p(t)=p0(1-e-kt),其中p0=6 MPa,k=0.1 s-1。這里分析時(shí)間取t=300 s，主要是為了研究響應(yīng)對(duì)時(shí)間的依賴性。

推進(jìn)劑內(nèi)表面的應(yīng)變和應(yīng)力分布是結(jié)構(gòu)完整性的重要分析指標(biāo)。應(yīng)變或應(yīng)力的急劇變化可能會(huì)導(dǎo)致非常危險(xiǎn)的情況。因此，在發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)表面選取特征線作為研究發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)表面的應(yīng)力應(yīng)變變化的主要對(duì)象，如圖2所示。

圖2 固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)表面特征線示意圖

ν=0.397 7和ν=0.486 4分別代表了粘彈性泊松比的初始值和平衡值。圖3給出了第300 s時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)表面特征線上的Von Mises應(yīng)力應(yīng)變分布。由圖3可發(fā)現(xiàn)，粘彈性泊松比引起的Von Mises應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)介于兩個(gè)彈性泊松比引起的Von Mises應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)之間。而由粘彈性泊松比導(dǎo)致的Von Mises應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)明顯高于平衡泊松比引起的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)。初始泊松比引起的最大Von Mises應(yīng)力應(yīng)變分別為1.55 MPa和49.9%，這與粘彈性泊松比引起的最大Von Mises應(yīng)力1.40 MPa，應(yīng)變46.0%接近。另外，三種泊松比引起的最大Von Mises應(yīng)力應(yīng)變都發(fā)生在翼槽位置。從圖3還可發(fā)現(xiàn)，由彈性泊松比和粘彈性泊松比導(dǎo)致的Von Mises應(yīng)力應(yīng)變?cè)趦?nèi)表面特征線上的分布是一致的。也就是說，粘彈性泊松比并不會(huì)導(dǎo)致Von Mises應(yīng)力應(yīng)變的突變。此外，從圖3中可明顯看到松弛型(R)和蠕變型本構(gòu)(C)的計(jì)算結(jié)果一致，這也說明了本文提出的蠕變型本構(gòu)的準(zhǔn)確性。

(a)Von Mises應(yīng)力分布

(b)Von Mises應(yīng)變分布

4 結(jié)論

本文從經(jīng)典粘彈性本構(gòu)模型出發(fā)，利用拉氏變換方法推導(dǎo)出了考慮粘彈性泊松比影響的固體推進(jìn)劑蠕變型本構(gòu)模型。該本構(gòu)模型可考慮不同類型的泊松比(彈性泊松比和粘彈性泊松比)。基于MSC.Marc二次開發(fā)技術(shù)，將提出的本構(gòu)模型應(yīng)用到有限元分析中。針對(duì)星孔發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火增壓工況，設(shè)計(jì)了三種泊松比(粘彈性泊松比及其對(duì)應(yīng)的初始泊松比，平衡泊松)，并對(duì)這些泊松比的影響進(jìn)行了分析并得到以下結(jié)論：

(1)彈性泊松比與粘彈性泊松比引起的應(yīng)力應(yīng)變分布趨勢(shì)一致。粘彈性泊松比在發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)完整性分析中并不會(huì)引起Von Mises應(yīng)力應(yīng)變?cè)诜植忌系耐蛔儭?/p>

(2)粘彈性泊松比引起的Von Mises應(yīng)力應(yīng)變介于初始和平衡泊松比引起的Von Mises應(yīng)力應(yīng)變之間，并且與初始泊松比引起的Von Mises應(yīng)力應(yīng)變很接近。即對(duì)于極短時(shí)間內(nèi)的點(diǎn)火增壓工況，可以利用初始泊松比代替粘彈性泊松比進(jìn)行結(jié)構(gòu)完整性計(jì)算。

(3)仿真結(jié)果表明，本文提出的蠕變型本構(gòu)模型可精確用于發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)完整性分析，為后續(xù)研究提供指導(dǎo)。