數借形理解 形助數深入

石志江

《義務教育數學課程標準（2011版）》明確指出：教學活動要使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗。而數形結合思想是小學階段重要的數學思想之一，它能使抽象的、復雜的概念變成形象的、具體的事物，降低學習難度，調動學生的學習積極性，提高學習效率。

前不久，筆者參加了在南京市北京東路小學舉行的教研活動，有幸聆聽了一節數學課《數與形》，從中感受到數形結合的美。現結合其中的教學片斷，談談自己的感受。

片段一：以形化數——激發興趣，引入新課。

屏幕呈現：用1個橙色，3個藍色，5個紫色和7個白色小正方形拼出的愛心。

師：同學們，你們看，黑板上是什么？

生：一個愛心。

師：如果讓你用數學的眼光來觀察這個圖形，你看到了什么？

生1：這是一個軸對稱圖形。

生2：這是由16個小正方形拼成的圖案。

生3：這個圖形由1個橙色、3個藍色、5個紫色和7個白色小正方形拼成，一共有16個。

教師板書：1+3+5+7=16。

師：如果讓你重新擺放這16個正方形，怎樣可以一眼看出是16個正方形呢？

請同桌兩人合作一起擺一擺，試一試。

生1：我可以每行四個，擺四行，這樣就變成了一個正方形。

生2：如果按顏色擺，就可以擺成一個金字塔。

生3：我可以把每種顏色擺在一起，每行四個，擺四行，也擺成一個正方形。

師：同學們，比較這三種擺法，你更喜歡哪一種？

生1：我喜歡第三種，這種方法更有序。

生2：我也喜歡第三種，它不但可以用42來表示16，也可以用1+3+5+7來表示。也就是說它把前面兩種擺法給概括了。

評析：從學生的現實生活出發，設計用4種共16張小正方形紙片拼成的愛心圖案引入本節課，要求學生用數學的眼光觀察圖形，從中抽取有用的素材進行教學，激發學生的學習興趣，這符合認知的一般規律。讓學生對16張正方形紙片重新排列，并說明自己喜歡的原因。讓不規則的圖形轉化成規則的圖形，并用數字表示，讓操作與思考并重，為后續學習打下基礎。

片斷二：以數化形——初步探究，自主嘗試。

師：古希臘的畢達哥拉斯學派就是這樣研究“16”的，他們把正方形圖變成了點陣圖。他們把“16”稱為“正方形數”，16既可以用“42”來表示，也可以用“1+3+5+7”來表示。

師：你還知道哪些正方形數？

生：1、4、9、25……

師：這些正方形數都是一個自然數的平方。它們又和哪些加數有關呢？選擇兩到三個正方形數研究一下，把你的思考過程記錄下來。

師：你發現了什么？

生：從1開始，連續奇數的和等于加數個數的平方。

師：如果正方形數比較大，怎樣可以很快知道最后一個奇數是多少？

生：正方形邊長乘2減1。

師：通過剛才的研究，我們可以發現原來數和圖形之間還有著這樣的聯系。

評析：深度學習不是盲目地提高學習難度，而是讓學生進行更深入的思考。凡是學生自己能理解和感悟的，讓學生自己去學習。本環節通過小組合作、反思交流等途徑讓學生經歷數轉化成形的過程，深刻領悟正方形數的特點，初步體會數化成形的思想。

片段三：數形互化——再次探究，深度學習。

師：這16個點橫著觀察，我們可以用“42”來表示;一層一層觀察，可以用“1+3+5+7”來表示。還能怎么觀察？

生：斜著觀察。

師：斜著觀察16可以表示成什么？

生：16=1+2+3+4+3+2+1。

師：其他正方形數又可以表示成什么？

生：這些加數的和是中間數的平方，中間數就是正方形的邊長。

師：通過數形結合我們認識了正方形數。你們猜畢達哥拉斯學派還研究了什么數？

生：五邊形數、六邊形數……

師：畢達哥拉斯學派把這些數統稱為多邊形數。

師：通過圖形，我們對數有了更深層次的了解。這就是我們這節課研究的主題：數與形。數形結合可以使復雜問題簡單化，抽象問題直觀化。

評析：讓學習往下再走一步！上面的教學活動，通過教師的實時引導和追問，讓課堂別開生面，誰都不能一口說出答案，學生需要細心觀察、認真思考，這就是有意義的學習，這就是深度學習。教師實時出示五邊形數、六邊形數，豐富學習的內容，讓學生對多邊形數的理解更深入，同時進一步感受數形互化的思想。

片斷四：數形結合——回顧比較，發展思維。

師：畢達哥拉斯學派研究的多邊形數，有一個共同特點，你發現了嗎？

生：點是一層一層增加的。

師：除了一層一層增加，還能怎么增加呢？如果是一圈一圈增加，點的個數又有什么規律呢？你能給這些數取個名字嗎？

生：奇數平方數。

師：你還想研究什么數？

生：偶數平方數。

師：請同學們用我們今天學習的方法，課后嘗試研究偶數平方數，好嗎？

評析：如果思考深度不夠，那么理解就不夠，更談不上深度學習了。本環節看似簡單，讓學習活動自然發生、自然展開，教師讓學生用所學的方法與已有的經驗去探究未知世界，這其實就是研究的目的與學習的歸宿。

著名作家巴爾扎克說過，一個能思考的人，才真正是一個力量無邊的人。本節課中，教師通過數與形的巧妙結合，讓學生的思維更加有序，從低層次走向高層次，讓學習變得更有深度。課堂中學生的表達與教師實時呈現的模塊化板書，讓學生零星的思維成果更加完整。教師通過具體的情境與實時呈現的圖形，引導學生經歷從特殊到一般、從簡單到復雜的歸納總結過程，并激發學生更深層次的思考，讓他們知道知識的來龍去脈。教師提出富有挑戰性的問題，鼓勵學生帶著所積累的知識與方法，課后繼續探究新的問題，課雖然結束了，研究與思考卻還在持續。

（作者單位：江蘇省淮安市東雙溝小學）