數(shù)學(xué)解題對(duì)應(yīng)說(shuō)

王寧珍

如果把數(shù)學(xué)的解題過(guò)程作為一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象來(lái)研究，其本質(zhì)是尋找一類對(duì)應(yīng)。在很多的解題方法中，大部分同學(xué)只用到一種對(duì)應(yīng)關(guān)系解題。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，解決問(wèn)題實(shí)際大部分有對(duì)應(yīng)規(guī)律，只要應(yīng)用這一規(guī)律，解題就會(huì)變得簡(jiǎn)單，具體的解法從宏觀上講，有兩種類型。

第一，是從已知條件中找到對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式。

這個(gè)方法是較常用的一種。有一部分應(yīng)用題，根據(jù)已知條件的結(jié)構(gòu)特征，內(nèi)容大部分是圍繞對(duì)數(shù)量關(guān)系式的應(yīng)用來(lái)展開的，例如：功效×?xí)r間=工作總量、速度×?xí)r間=路程、單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)，倍數(shù)、和倍、差倍問(wèn)題，周長(zhǎng)、面積、體積計(jì)算問(wèn)題，植樹問(wèn)題等，這類題都有數(shù)量關(guān)系式和公式，在已知條件上具有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，什么結(jié)構(gòu)的式子用什么樣的表達(dá)式，這是我們常用的一種解題方法，相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單。

例如：甲在乙后面28千米處，兩人同時(shí)同向而行，甲每小時(shí)行16千米，乙每小時(shí)行9千米，甲幾小時(shí)追上乙？

分析：甲每小時(shí)比乙多行16-9千米，也就是甲每小時(shí)可以追近乙（16-9）千米，這是速度差。已知甲在乙后面28千米（追擊路程），28千米里包含著幾個(gè)（16-9）千米，也就是追擊所需要的時(shí)間，根據(jù)數(shù)量關(guān)系：路程=速度×?xí)r間可列對(duì)應(yīng)關(guān)系表：

由此算出：28÷（16-9）=4（小時(shí)）

第二，是從文字中找到對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

這是我們要鉆研和研究的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即找到一個(gè)從文字到數(shù)學(xué)表達(dá)式的等價(jià)對(duì)應(yīng)，或者說(shuō)是一一對(duì)應(yīng)，也就是常說(shuō)的數(shù)學(xué)化。簡(jiǎn)單的一種：列方程解應(yīng)用題，首先是未知量與字母x對(duì)應(yīng)（設(shè)未知數(shù)，我們常用x、y等字母），然后是其他相關(guān)量與含x的代數(shù)式對(duì)應(yīng)（表達(dá)相關(guān)量，這一過(guò)程很重要），最后是這些代數(shù)式與題目中的等量關(guān)系對(duì)應(yīng)（產(chǎn)生方程）。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程相當(dāng)于尋求這些對(duì)應(yīng)。

例如商店運(yùn)來(lái)8筐蘋果和10筐梨，一共重820千克。每筐蘋果重45千克，每筐梨重多少千克？

對(duì)應(yīng)關(guān)系：

解：設(shè)每筐梨重x千克

45×8+10x=820

從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)解題是一個(gè)翻譯過(guò)程，因此說(shuō)數(shù)學(xué)是一門語(yǔ)言。當(dāng)學(xué)生用對(duì)應(yīng)法解題熟練后，就會(huì)體會(huì)到這樣一個(gè)程序化的過(guò)程，數(shù)學(xué)的任務(wù)是尋找各類公式、定理，盡可能地用這些來(lái)表達(dá)整個(gè)世界！從這方面理解數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、形成與發(fā)展的過(guò)程，既簡(jiǎn)單又是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容更深層次的理解。當(dāng)然有些題要找到對(duì)應(yīng)關(guān)系就需要把已知條件進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)換思維，才能成為對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如：

1.30輛小車和6輛卡車一次運(yùn)貨90噸，45輛小車和6輛卡出一次運(yùn)貨120噸。每輛卡車和每輛小車每次各運(yùn)貨多少噸？

對(duì)應(yīng)關(guān)系：

比較條件，看看什么量變了，什么量沒(méi)變，兩個(gè)變化的量之間的關(guān)系是什么？從對(duì)應(yīng)量的變化，可以看出（120-90）噸正好與（45-30）輛小車的載重量相對(duì)應(yīng)，因此每輛小車每次可以運(yùn)貨（120-90）÷（45-30）=2（噸），那么每輛卡車每次可以運(yùn)貨（90-2×30）÷6=5（噸）

2.同學(xué)們采集植物標(biāo)本，六年級(jí)采集了120件，比五年級(jí)的3倍少36件。五年級(jí)采集了多少件？

對(duì)應(yīng)關(guān)系：

五年級(jí)采集的標(biāo)本數(shù)看作1倍量，那么3倍量所對(duì)應(yīng)的是（120+36）件，所以五年級(jí)采集的標(biāo)本數(shù)是（120+36）÷3=52（件）。

這樣就可以大大減小解題難度。著名數(shù)學(xué)解題大師唐以榮曾在他的著作中提到“數(shù)字解題其實(shí)質(zhì)就是變形的藝術(shù)”。只有找到對(duì)應(yīng)關(guān)系，才能體現(xiàn)出智力活動(dòng)源泉這一基本思想。

小學(xué)解決問(wèn)題中，有一半以上數(shù)學(xué)題都能尋找到一種對(duì)應(yīng)，或者稱之為信息加工，所謂信息加工就是對(duì)題目表象的文字、數(shù)據(jù)、情景圖片等做諸如組合、分離、焦點(diǎn)關(guān)注等深層次的思維加工，從而產(chǎn)生認(rèn)知上的相同或相似，但這些相同或相似不一定是數(shù)學(xué)的。原有的知識(shí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，都可以找到不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系。但有些題可能導(dǎo)致不同認(rèn)知。這些不同的認(rèn)知，有些對(duì)數(shù)學(xué)有用，具有正遷移的作用，可以誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)新認(rèn)識(shí)，拓展空間;有些對(duì)數(shù)學(xué)解題無(wú)益，尤其是那些錯(cuò)誤的認(rèn)知。從無(wú)知中走出來(lái)是相對(duì)較容易的事，但擺脫誤知是相當(dāng)困難的。要找到一條繞過(guò)障礙的出路，能讓學(xué)生正確解決問(wèn)題，用對(duì)應(yīng)關(guān)系解題是培養(yǎng)學(xué)生解題能力的主要途徑。但同一個(gè)問(wèn)題，可能不同的人從不同的方向理解成不同類型的問(wèn)題，這樣就產(chǎn)生了一題多解，也就出現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的多樣性，這恰恰是數(shù)學(xué)追求的境界。但大部分學(xué)生做到這一點(diǎn)較困難。

總的來(lái)說(shuō)，用對(duì)應(yīng)法解決問(wèn)題是一個(gè)高度抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的概括。要找到解題對(duì)應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生成為有效的問(wèn)題解決者，是對(duì)教師的挑戰(zhàn)。教師在教學(xué)中就要運(yùn)用這一方法作為切入點(diǎn)，探究對(duì)應(yīng)關(guān)系，尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生逐步從中領(lǐng)悟這一規(guī)律和解決問(wèn)題的能力，是數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行潛移默化的另一種牽引，增加了解決問(wèn)題的解題精髓，努力幫助學(xué)生不斷實(shí)現(xiàn)自我超越——贏自己，學(xué)有道。

參考文獻(xiàn)：

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[2]《課程標(biāo)準(zhǔn)教案》數(shù)學(xué)五年級(jí)下適用人教版[M].上海交通大學(xué)出版社，2017-3.

編輯 郭小琴