培養直覺思維能力，拓展解題視野

劉雪梅

[摘? 要] 文章結合教學案例，引導學生從整體上觀察和研究對象，鼓勵學生提出近似合理的猜想，數形兼顧、相輔相成，讓學生取得應用知識解決問題的經驗等，從而讓學生拓展思路、提升視野，提高解題速度和解題質量.

[關鍵詞] 課堂教學;直覺思維;解題視野;創造性

直覺思維是一種直觀、直接的思維，它是指未經過仔細的推敲和逐步的分析，就能直接揭示事物的本質的思維方式，它從事物的總體出發把握研究對象，對問題的實質進行快速判斷，大膽地提出一些合理的推測和猜想，其中包括某些頓悟和靈感. 它具有敏捷性、獨立性、跳躍性、試探性和簡潔性等特點. 在課堂教學中，鼓勵學生認真觀察、合理想象、大膽猜測，就會防止學生機械地思考問題，從而提升直覺思維能力，促進邏輯思維的發展. 那么怎樣才能達成以上目標呢？筆者從幾個方面進行詮釋.

引導學生從整體上觀察和研究對象

直覺思維要求直接從整體上去研究和把握對象，通過直接的觀察，快速縮小問題的突破口，捕捉到解決問題的契機.

案例1小明和小強從同一地點出發去電影院，小明要走40分鐘，小強要走30分鐘，如果小明先走5分鐘，小強再出發，問小強要走幾分鐘才能追上小明？

這是初中階段常見的行程類應用題. 見到這類問題，大部分師生第一反應就是用“方程的思想”予以解決. 一般的解題方案是：

設小強要走x分鐘才能追上小明. 根據題意列方程，得x=（x+5），解得x=15.

如果長期以單一方式解決問題，就必然會限制學生的思維發展，使他們解決問題時帶有局限性. 我們可以嘗試換個角度，引導學生從整體上觀察問題，直接觸及問題的實質. 不難看出：這段路程小明要走40分鐘，小強要走30分鐘，而小明先走5分鐘，就必定比小強晚到5分鐘. 那么我們就可以得到，小強追上小明的時間應是小強行至全程的中點時，故列式為：x=30÷2=15.

顯然，換個角度解決問題，既拓寬了學生的解題思路，又使數學充滿趣味.

案例2Rt△ABC中，∠ACB=90°. 分別以Rt△ABC的三邊為邊向外作正方形，過點C作直角三角形斜邊的垂線，交AB于點H，交DE于點I，如圖1，垂線將斜邊上的正方形分成兩個矩形. 求證：這兩個矩形的面積分別等于兩個直角邊上的正方形的面積.

按照常規思考方法去證明一般是這樣的：連接BF，CD，則△ABF≌△ACD（SAS），所以S=S. 因為S=2S，S=2S（等底等高），所以S=S，同理S=S .

但如果我們先不急于連接輔助線，而是全面地審視條件和圖形，抓住“直角三角形斜邊的垂線”這一關鍵尋找突破口，就會發現射影定理在這里得到了妙用.

因為AC2=AH·AB，AC2=S，而AH·AB=AH·AD=S，

所以S=S，同理，S=S .

鼓勵學生提出近似合理的猜想

估測、嘗試和猜想是直覺思維的顯著特征之一，從古至今，很多偉大的發現都源于大膽的猜想. 數學教學中常?？梢宰寣W生抓住某些顯著的特征，通過大膽的猜想得到結論，然后再去驗證結論的正確性.

案例3已知：如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E是AB的中點，過點E作EF⊥CD于點F，EF=4.5 cm，CD=8 cm，求梯形ABCD的面積.

本題乍看起來顯然無從下手. 因為“S=（AD+BC）·高”，而沒有一個已知條件與之相關. 這時，如果教師鼓勵學生認真觀察、大膽猜測，就會發現，EF是CD邊上的高，而高往往與面積有關，它的結果會不會是“8×4.5”，也就是“底×高”呢？

分析? 若此題的結果是“8×4.5”，即“底×高”，而“S=底×高”，則CD應該是平行四邊形的底，EF應該是它的高. 那么，我們可以構造出一個平行四邊形嗎？于是過點E作CD的平行線，再通過兩個三角形全等將梯形面積轉化為平行四邊形的面積，求得梯形的面積為36. 猜想結果正確.

由此看來，猜想確實有其重要的作用. 在數學教學中，教師要引導、鼓勵學生先去大膽猜想，猜結論、猜方法、猜定理，然后通過嚴謹的、系統的方法進行論證.

數形兼顧，相輔相成

數形結合是探索解決數學問題的重要途徑，它對提高學生的直觀思維能力、綜合運用能力，培養學生的數學素養都起著十分重要的作用.

1. 以形助數，直觀明快

圖形的直觀性不言而喻. 在教學中，教師要有意識地引導啟發學生挖掘形與數之間的關系，促使問題向直觀形象轉化，進而溝通知識與知識之間、方法與方法之間的聯系，并從中發現新的解題思路，得到更好的解題方法，達成舉一反三、觸類旁通的教學目標. 這是一件多么了不起的事情.

案例4解方程x-4-x+2=2.

常規的解法是劃分三個區間進行分類討論，去絕對值符號求解. 解法如下：①當x≤-2時，4-x+x+2=2，得到6=2，矛盾，無解;②當-24時，x-4-x-2=2，得到-6=2，矛盾，無解. 綜上，x=0.

如果我們聯想到絕對值的幾何意義，就會發現，方程的解是數軸上這樣的一個點：它與x=4的距離比與x=-2的距離大2，容易得到此點是x=0. 如圖3.

這樣的例子還有很多. 有時借助圖形或幾何意義來表示數量關系，能更直觀地確定參數的位置，從而避免煩瑣的分類討論和計算. 不僅使問題更簡潔直觀，同時還拓展了學生的解題視野.

2. 數賦形意，直擊要害

把具有一定關系的數量與圖形聯系起來，就會使抽象的概念和復雜的數量關系得到整合，從而降低題目的難度，找到解題思路. 許多數式往往有著幾何背景，我們要善于根據問題的結構特征，聯想到有關的幾何意義及其圖形，進而巧妙地解決問題.

案例5如圖4，在?ABCD中，∠ABC=60°，AB=，AD=2，點E在AD上（點E不與點A，D重合）. 過點E作EF⊥BC且交DC的延長線于點F，連接BF. 在線段DF上是否存在一點H，使得四邊形ABFH是菱形？如果存在，請說明點E、點H分別在線段AD，DF上什么位置時四邊形ABFH是菱形，并證明;如果不存在，請說明理由.

本題如果單純地從找點E和點H的位置出發很難找到突破口，但是如果關注到“∠ABC=60°，AB=，AD=2”這一組條件，就會馬上聯想到這恰好是一個銳角為30°的直角三角形的一條直角邊和斜邊的長，進而想到過點A作AH⊥DF于點H （如圖5），從而解決問題.

數形結合是一種需要扎實的基礎知識作為支撐的思想方法，應用的關鍵在于聯系轉化. 根據數量關系找到幾何圖形的結構特征，使問題變得簡單、直觀. 所以，在教學中應注意挖掘和滲透. 只有把思想方法貫徹始終，才會不斷地提高學生對所學知識融會貫通的能力，培養學生思維的目的性和組織性.

讓學生取得應用知識解決問題的經驗

直覺思維很大程度上產生于經驗，它是在觀察、歸納、類比和聯想的基礎上，有時以“頓悟”的形式出現，即通常所說的產生了“靈感”. 實際上它是認知過程中的一種飛躍. 有時候我們解一道數學問題，會有一個百思不得其解的過程，然后在某一個點上忽然出現某種聯想而豁然開朗，找到了解決的方法或猜到了一條證明的途徑. 可見，“靈感”的產生、“頓悟”的出現并非憑空而來，而是需要雄厚的知識儲備、豐富的實踐經驗以及不斷總結、歸納、提升. 教師要讓學生懂得：靈感基于經驗的轉換（如比較、類比、推廣、相似變換、數形結合等），而經驗的轉化基于牢固的基礎知識，學會應用知識去解決問題，并不斷總結這方面的經驗，就會提高自己的直覺思維能力，從而拓展解題視野的寬度.

以上討論了直覺思維的意義以及直覺思維能力的培養，強調了直覺思維的地位和作用，但這并不意味著可以忽略或減弱邏輯思維能力的培養. 從上面的論述中可以看出，只有把直覺思維和邏輯思維有機地結合起來，才能有效地發展學生的創造性思維，從而促使學生進行多維思考，最大限度地發揮數學課堂的育人價值.