基于ASECKF算法的鋰電池荷電狀態估計方法

顏學龍， 譚霽宬

(桂林電子科技大學 電子工程與自動化學院,廣西 桂林 541004)

鋰電池具有能量密度大，循環壽命長，耐高溫，重量輕，綠色環保等諸多優點，因此在電動汽車中廣泛使用[1]。鋰電池荷電狀態(state of charge，簡稱SOC)的估計是電動汽車電池管理系統的主要任務之一。精確的鋰電池SOC估計可以避免不可預測的系統中斷，并防止電池過度充放電對電池的內部結構造成永久性損壞，從而延長使用壽命[2]。由于鋰電池工作時具有非線性和時變特性，準確估算鋰電池SOC仍然是一個挑戰[3]。

目前有許多鋰電池SOC估計方法，簡單易用的有安時積分法[4]，但該方法容易出現累積誤差，需要準確的SOC初值與精確的電流測量值。開路電壓法[5]在充放電早期和后期SOC估算是最有效的，前提是電池需要長時間靜置，使其端電壓接近開路電壓(open circuit voltage，簡稱OCV)，一般聯合使用安時積分法與開路電壓法來增強SOC估計。神經網絡模型[6]、支持向量機[7]等機器學習方法也已用于在線估計鋰電池SOC，但模型訓練非常耗時，且需要大量可靠數據，鋰電池工作時遇到未知的負載條件可能導致較大的估計誤差。在模型誤差和外部干擾方面，滑模觀測器(sliding mode observer，簡稱SMO)算法[8]是一種可靠且穩健的SOC估計方法，可用于模型誤差和外部的干擾。由于很難獲得SMO的最佳參數，使得SOC估計較困難。粒子濾波(particle filter，簡稱PF)[9]算法可以在非線性和非高斯狀態估計中有效地執行，但需要大量粒子和大規模矩陣運算，這限制了其在SOC估計中的實際應用。還有一類基于電池模型的卡爾曼濾波系列算法，在鋰電池SOC估計方法中得到了廣泛研究，其在估計精度和魯棒性方面已取得了令人滿意的結果。較典型的有擴展卡爾曼濾波(extened Kalman filter，簡稱EKF)算法[10]與無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter，簡稱UKF)算法[11]。然而EKF算法無法避免線性化誤差和雅可比矩陣計算的問題，這可能導致高度非線性的電池狀態系統濾波估計無效和精度降低。UKF算法在估算SOC方面具有比EKF算法更高的精度，但需要進行無跡變換計算和轉換sigma點，計算復雜度高且無法保證狀態協方差的半正定性，從而影響濾波估計。

為解決以上問題，文獻[12]提出了一種基于平方根容積卡爾曼濾波(square root cubature Kalman filter，簡稱SRCKF)算法的鋰電池SOC估計方法。相比EKF、UKF算法，容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filter，簡稱CKF)算法[13]實現簡單，無需線性化近似，也不必進行參數選擇，可以在高維狀態保持估計精度的同時縮短計算時間。SRCKF算法在CKF算法基礎上，以Cholesky分解因子形式直接傳播和更新狀態協方差矩陣的平方根，獲得了更高的計算效率，并保證了協方差矩陣的非負定性，提高了濾波器的收斂速度和穩定性。但SRCKF算法缺乏魯棒性，無法適應未知或時變的噪聲統計特性條件。為了解決先驗噪聲統計特性未知或不準確導致的SRCKF的精度下降或發散的問題，提出了基于自適應平方根嵌入式容積卡爾曼濾波(adaptive square-root embedded cubature Kalman filter，簡稱ASECKF)算法的鋰電池SOC估計方法，克服了SRCKF算法的缺陷，增強了算法的自適應性和魯棒性，從而提高了鋰電池SOC估計精度。

1 ASECKF算法

設含有控制量的離散非線性系統的狀態方程和觀測方程為

(1)

其中：xk、zk分別為k時刻的系統狀態量和觀測量；F(·)、H(·)為非線性函數；uk為k時刻的控制輸入量；vk為過程噪聲；wk為觀測噪聲。vk、wk分別具有以下統計特性：

(2)

其中：E(·)表示求期望；cov(·)表示求協方差。

1.1 三階SECKF算法

為了提高傳統CKF算法的濾波精度與算法數值運算的穩定性，文獻[14]采用三階嵌入式容積準則代替了三階球面-徑向容積準則，并引入平方根濾波思想保證協方差矩陣的對稱性和正定性，得到了平方根嵌入式容積卡爾曼濾波(Square-root embedded cubature Kalman filter，簡稱SECKF)算法。具體算法步驟如下。

1)根據三階嵌入式容積準則計算基本容積點和相應的權值：

(3)

(4)

其中：n為狀態維數；[0]為n維零向量；[δ]為容積點集；[δ]i為點集中的第i個點。令式(2)中σ=1，將n維向量[σ2,-σ2,…,-σ2]T中的元素進行全排列并取反可得：

(5)

2)初始化獲得初始狀態估計、初始狀態估計協方差及其Cholesky分解因子：

(6)

其中chol(·)表示矩陣Cholesky分解。

3)時間更新：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

其中Tria(·)表示QR三角分解，返回下三角矩陣。

4)測量更新：

(12)

Zi,k-1|k-1=H(Xi,k|k-1,uk-1)+rk，

(13)

(14)

(15)

Szz,k|k-1=Tria([Zk|k-1,chol(Rk)])，

(16)

(17)

Pxz,k|k-1=χk|k-1γk|k-1，

(18)

(19)

(20)

(21)

Sk|k=Tria([χk|k-1-Kkγk|k-1,Kkchol(Rk)])。

(22)

1.2 基于改進Sage-Husa算法實現的ASECKF

SECKF算法同SRCKF算法一樣，也需要預先設定準確的過程噪聲協方差矩陣Q與測量噪聲協方差矩陣R，兩者取值大于或小于實際值都會導致濾波精度降低或發散。實際工程應用中，隨機干擾是不可避免的，過程噪聲和測量噪聲統計特性很難準確獲得。

早期Sage-Husa噪聲估計器針對未知噪聲的線性系統具有良好的效果，為了擴展其應用范圍，根據文獻[16]在SRCKF算法框架下推導出的適用于非線性系統的時變噪聲統計估計器，結合三階SECKF算法推導過程，獲得了能應用于ASECKF算法的平方根形式的時變噪聲統計估計器：

(23)

其中，Pk由式(24)計算得到，dk通過式(25)獲得。

Pk=[χk|k-1-KkZk|k-1,KkSR,k]×

[χk|k-1-KkZk|k-1,KkSR,k]T，

(24)

dk=(1-b)/(1-bk+1),0

(25)

通過式(25)中的遺忘因子b限制濾波器記憶長度，增加新數據對當前估計的作用，減小陳舊數據的影響。通過式(23)可實現在線遞推估計，并修正SICKF算法中的噪聲均值q、r和協方差Q、R，避免濾波精度降低和發散，提高了SECKF濾波的穩定性、適應性。在增強算法的自適應性同時，由于要估算噪聲的統計特性，計算量隨即增加，在實際應用中很難保證算法的實時性。因此，根據基于協方差匹配技術[17]，設計了合適的濾波發散判據條件來判斷濾波是否異常。該判據條件為

(26)

其中：tr(·)為求矩陣的跡；γ為儲備系數，γ≥1，γ=1時為最嚴格的收斂判據條件。當式(26)成立時，表明濾波已經發散，且實際誤差超過理論預計的γ倍，此時需要通過式(23)進行噪聲統計特性估算；當式(26)不成立時，則可以不再計算式(23)，從而減少了計算量，提高了實時性，最終實現了比較實用的自適應平方根嵌入式卡爾曼濾算法。

2 基于ASECKF算法估計鋰電池SOC實現

2.1 電池模型建立

電池等效電路模型有很多種[18]，如Rint模型、Thevenin模型、PNGV模型等。在Thevenin模型礎上增加2個RC環路，改進為三階RC環路模型，以提高模型精度和動態特性的反應。三階RC環路等效電路模型如圖1所示。

圖1 三階RC環路等效電路模型

圖1中，R0,t為歐姆內阻，R1～3為電池的極化內阻，C1～3為電池的極化電容，Uoc,t為電池開路電壓，Ut為電池的端電壓，U1～3,t為極化電容電阻上的電壓，it為通過電池的電流。由上述參數可得：

(27)

文獻[19]結合松下NCR18650 A鋰電池官方數據手冊與實驗測試數據提出了修正后的SOC定義：

(28)

其中：St0為電池荷電狀態的初始值；St為電池t時刻的荷電狀態；Tt為t時刻電池的溫度；n為已循環充放電次數；η為電池充放電效率，充電時為98.29%，放電時為100%；QN為該電池參考容量，其值為3.2 A·h。

在電池處于不同SOC值的情況下進行脈沖放電實驗，可得電池端電壓響應數據，利用最小二乘法可以辨識電池等效電路模型的歐姆內阻和各極化參數。將每次脈沖前靜置穩定后的端電壓作為開路電壓OCV的值，采用多項式擬合方法可以擬合得到OCV與SOC之間的函數關系[12]。根據NCR18650 A鋰電池的實測數據計算可得各極化參數值如表1所示。

表1 等效電路模型參數辨識值

歐姆內阻與開路電壓的辨識值對SOC估計影響較大，所以建立了相關函數式(29)～(31)，使其根據SOC值實時動態變化，以提高模型準確率。

R0,t(St)=0.0248St2-0.03044St+0.06699，

(29)

(30)

(31)

式(31)中ΔV為滯回電壓修正量，充電時加上ΔV，放電時減去ΔV。

2.2 SOC估計算法simulink仿真實現

選取[St,U1,t,U2,t,U3,t]T作為系統的狀態變量，Ut作為觀測變量，采樣時間為T，將式(27)與式(28)離散化后得電池狀態空間方程的矩陣形式為：

(32)

將已辨識的NCR18650 A鋰電池等效電路模型參數帶入式(32)，結合鋰電池SOC估計算法，采用simulink搭建了鋰電池SOC估計算法驗證仿真實驗平臺，如圖2所示。

仿真實驗平臺中，利用Random Number模塊設計的過程噪聲模塊與觀測噪聲模塊模擬鋰電池在充放電時受到的未知噪聲干擾，可以設置放電工況，對比驗證EKF、UKF、SRCKF、ASECKF算法的SOC估計效果。

3 仿真實驗與分析

3.1 實驗場景設計

此次實驗將噪聲都設為零均值高斯白噪聲，但實際上Sage-Husa噪聲估計器不能同時估計過程噪聲協方差Q與觀測噪聲協方差R。由于過程噪聲一般處于穩定狀態，將Q作為已知量如式(33),R作為未知量進行估計，并設置其值分別在0.012、0.022、0.032每1000 s循環變化生成時變的觀測噪聲。

圖2 鋰電池SOC估計算法驗證仿真平臺

Q=diag(0.00012，0.0012，0.0012，0.0012)。

(33)

設置室溫25 ℃，NCR18650 A鋰電池已在官方標準下循環充滿與放空了50次。現將電池充滿電即實際電池SOC初值為1，采用參考標準UDDS工況，縮小一定比例設計的電流工況對電池進行放電。當電池達到規定的截止電壓2.5 V時，停止放電。設采樣時間T=1 s，測試電流與帶有時變觀測噪聲的端電壓曲線如圖3所示。

圖3 鋰電池測試電流與端電壓曲線

3.2 實驗結果分析

為了驗證在系統受未知時變統計特性觀測噪聲影響下基于ASECKF算法估計鋰電池SOC方法的效果，給定與實際情況有偏差的先驗觀測噪聲協方差R=0.000 5。設置狀態變量中初始電池荷電狀態時，給定正確值St=1。SOC估計結果對比曲線如圖4所示，SOC估計絕對誤差對比曲線如圖5所示。從圖4可看出，在放電全過程中EKF、UKF、SRCKF、ASECKF算法均能相對準確地估計出鋰電池SOC值。從圖5可看出，由于ASECKF算法有更高階的非線性近似精度，并可以自適應修正觀測噪聲協方差R，使得誤差更小，大部分時間ASECKF算法的誤差曲線低于其他3種算法。SOC估計方法評價指標如表2所示。從表2可看出，ASECKF算法估計的SOC最大絕對誤差為1.44%，平均絕對誤差為0.45%，均方根誤差為0.614%，表明在此場景下估計精度與穩定性均好于基于SRCKF、UKF、EKF算法的鋰電池SOC估計方法。

圖4 SOC估計結果對比曲線

為了驗證ASECKF算法估計鋰電池SOC方法的收斂性，在其他條件不變的情況下，設定錯誤的荷電狀態初始值St=0.5。SOC估計方法收斂性驗證仿真結果如圖6所示。從圖6可看出，4種算法均具有向真實值收斂趨勢，但是收斂速度與收斂效果不同。結合表3可知，EKF、UKF、SRCKF算法收斂速度極快，能在大約8 s內就能快速收斂完畢，但是收斂時的估計值與真實值有一定誤差。ASECKF算法的收斂速度相對較慢，收斂時間約為50 s，但收斂時的SOC估計值能夠較為準確地收斂到真實值。從圖7可看出，EKF、UKF、SRCKF算法收斂后繼續進行SOC估計時并不穩定，容易偏離真實值，但ASECKF算法收斂后還能繼續以微小的誤差波動穩定的估計SOC值，平均絕對誤差為0.543%，均方根誤差為0.818%，表現出了良好的自適應性和魯棒性。

圖5 SOC估計絕對誤差對比曲線

SOC估計方法最大絕對誤差平均絕對誤差均方根誤差ASECKF0.014 400.004 500.006 14SRCKF0.020 080.005 730.007 72UKF0.016 850.005 860.007 65EKF0.017 490.006 240.007 98

圖6 SOC估計方法收斂性驗證結果

圖7 SOC估計方法收斂性實驗誤差對比曲線

SOC估計方法收斂時間/s平均絕對誤差均方根誤差ASECKF500.005 430.008 18SRCKF20.019 070.023 56UKF80.009 690.012 29EKF20.010 070.012 80

4 結束語

在SECKF算法的基礎上，采用基于最大后驗估計的噪聲統計估計器與基于模型輸出殘差序列的協方差匹配的概念，提出了一種基于自適應平方根嵌入式容積卡爾曼濾波(ASECKF)算法的SOC估計方法。提高了基于SRCKF算法估計鋰電池SOC精度同時，增強了方法的自適應性和魯棒性性。仿真實驗表明，該方法在噪聲先驗信息未知和隨機干擾下，能夠精確估計出鋰電池SOC。