基于稀疏貝葉斯學習的低信噪比DOA估計算法

蔣留兵， 榮書偉， 車 俐

(1.桂林電子科技大學 計算機與信息安全學院,廣西 桂林 541004；2.桂林電子科技大學 信息與通信學院,廣西 桂林 541004)

波達方向(direction of arrival，簡稱DOA)估計是陣列信號處理中一個非常重要的研究方向，廣泛應用于天線、雷達、通信等領域[1]。以MUSIC[2]和ESPRIT[3]為代表的超分辨DOA估計算法實現簡單，分辨率高，但要求多快拍數和高信噪比。近年來，壓縮感知信號重建理論的提出促進了DOA估計的發展[4]。信號重建算法主要包括貪婪追蹤類、凸松弛類[5]和稀疏貝葉斯學習類[6]三大類。貪婪追蹤類最經典的是匹配追蹤算法[7]，該算法通過不斷完善冗余字典對信號進行稀疏重構；文獻[8]提出的L1-SVD算法是最經典的凸松弛類算法；信號重建算法中最受歡迎的是稀疏貝葉斯學習方法，該方法從貝葉斯的觀點出發，利用信號的稀疏先驗信息對信號進行稀疏重構。

以上壓縮感知算法應用于處理DOA估計問題，均假定波達方向恰好位于固定的采樣網格點上。為了解決離格DOA估計問題，文獻[9]提出了一種基于離格模型的DOA估計算法，但所要估計的部分波達方向偏離固定的網格；文獻[10]利用線性逼近真實的DOA，并提出一種離格稀疏貝葉斯學習(off-grid direction of arrival estimation using sparse Bayesian inference，簡稱OGSBI)算法，但該算法在估計精度和計算復雜度方面存在著矛盾；在OGSBI基礎上，文獻[11]提出了一種求根稀疏貝葉斯(root sparse Bayesian learning for off-grid DOA estimation，簡稱OGRSBL)算法，將網格點作為自適應參數，減少了計算量的同時，也保證了估計精度。但這些算法在信噪比較低的情況下估計精度不高，甚至產生錯誤的DOA估計值。

鑒于此，提出了一種基于偽噪聲重采樣技術[12-13]和稀疏貝葉斯學習(pseudo-noise resampling OGRSBL，簡稱PR-OGRSBL)算法。在OGRSBL算法的基礎上，引入了偽噪聲重采樣技術，通過將這兩者相結合來消除DOA估計產生的異常值。對OGRSBL算法產生的DOA估計值進行局部性能測試，若不能通過測試，則采用偽噪聲重采樣技術來減小原始噪聲的影響，再次進行局部性能測試，直到所有DOA估計值都通過局部性能測試，得到最終的估計結果。

1 離格DOA估計模型

假設有K個窄帶遠場信號源入射到均勻天線陣列上，均勻天線陣列由M個陣元組成，相鄰陣元之間的距離為d，K個信源sk(t),k=1,2,…,K的入射方向為θk,則產生的信號模型[1]

x(t)=As(t)+n(t)，t=1,2,…,T。

(1)

s(2),…,s(T)]，則有

X=AS+N。

(2)

(3)

X=Φ(β)S+N。

(4)

圖1 信號分析示意圖

2 PR-OGRSBL算法

2.1 求根稀疏貝葉斯模型

2.1.1 稀疏貝葉斯公式

(5)

(6)

(7)

(8)

其中ρ>0，通常是很小的正數。

對于βn，由于在離格模型下網格點間隔r不再是一個常數，假定βn滿足如下分布：

(9)

2.1.2 貝葉斯推理

后驗分布p(S,δ,α0,β|X)不能精確求解[14]。文獻[15]提出的標準貝葉斯壓縮感知方法可以解決這一問題。S的后驗概率分布為

(10)

其中：

μ(t)=α0ΣΦHx(t)，t=1，2，…，T；

(11)

Σ=(α0ΦHΦ+Λ-1)-1。

(12)

若要計算μ(t)、Σ，需要知道α0、δ和β，計算過程類似于文獻[11]中的方法，此處不再贅述。α0、δ的更新公式為

(13)

(14)

其中，Ξt?μ(t)(μ(t))H。

(15)

其中zi為多項式求解最接近單位圓的根值。

由以上分析可知，μ(t)、Σ與α0、δ互為函數，需要不斷進行迭代，直到達到收斂條件算法停止。采用文獻[10]提出的收斂條件，即當(δi+1-δi)/δi<τ或者達到最大迭代次數時終止算法。其中：τ為用戶自定義參數；i為迭代次數。

OGRSBL算法步驟：

1)對信號超參數δ和噪聲超參數α0進行初始化，將均值μ(t)和方差Σ均初始化為0；

2)利用式(11)、(12)求解均值μ(t)和方差Σ；

3)利用式(13)、(14)更新超參數δ和噪聲參數α0；

4)判斷是否達到收斂條件((δi+1-δi)/δi<τ或達到最大迭代次數)，若收斂，則終止算法，不收斂，則繼續步驟5)；

5)根據式(15)更新Φ(β)，轉到步驟2)，更新均值μ(t)和方差Σ。

2.2 基于偽噪聲和求根稀疏貝葉斯模型

在信噪比較低的情況下，通過上述求根稀疏貝葉斯模型對信號的來波方向估計會產生異常值，因此采用偽隨機噪聲重采樣技術來消除異常值的影響。重采樣方案就是將偽隨機噪聲產生器生成的偽隨機噪聲加入測量數據矩陣(4)，即

Y=X+Z。

(16)

其中：Y=[y(1),y(2),…,y(N)]；Z為由高斯隨機發生器獲得的零均值偽噪聲矩陣，滿足[12]

(17)

局部性能測試條件Η[13]：由DOA估計器產生的空間譜函數，存在K個譜峰位置位于預估計扇形角度區域Θ中。

生成扇形角度區域Θ的一種方法是由常規波束形成器[16]生成：

Θ=[θ1L,θ1R]∪[θ2L,θ2R]∪…∪[θKL,θKR]。

其中θkL，θkR，k=1，2，…，K分別是每個子區間的左右邊界，左右邊界分別是距離第k個峰值左右各下降3 dB對應的點。

PR-OGRSBL算法步驟如下：

1)利用測量矩陣X和傳統的OGRSBL算法計算初步的DOA估計值。

2)將局部性能測試應用到步驟1)中的DOA估計：

a)若信號的DOA估計值通過局部性能測試，則轉至步驟4)；

b)若不能通過局部性能測試，則隨機生成滿足式(17)的L組偽隨機噪聲，分別加入到原始測量矩陣X，進而得到L組新的DOA估計值。

3)對步驟2)產生的L組DOA估計值進行局部性能測試。

4)算法停止。

3 仿真分析

選擇DOA估計器組數L=40，信噪比SNR分別為-12、-10、-8、-6、-4、-2、0 dB，則不同信噪比下OGRSBL算法、PR Root-MUSIC算法和PR-OGRSBL算法DOA估計的均方根誤差隨信噪比的變化情況如圖2所示。從圖2可看出，由于將偽噪聲重采樣技術和稀疏貝葉斯學習算法相結合，所提算法與經典離格模型下的OGRSBL算法、基于網格模型下經典的PR Root-MUSIC算法相比，具有更低的均方根誤差，也即具有更高的估計精度。與OGRSBL算法相比，所提算法加入了偽噪聲重采樣技術，去除了DOA估計的異常值。

圖2 L=40時不同信噪比下算法的RMSE

圖3為信噪比SNR分別為-12、-11、-10、-9、-8 dB，在不同DOA估計器組的情況下，所提算法與PR Root-MUSIC算法均方根誤差的比較，估計器組數為L=10和L=30時，所提算法均比PR Root-MUSIC算法均方根誤差低，表明采用離格模型下的稀疏貝葉斯學習方法具有更高的估計精度。

圖3 不同估計器組數下算法的RMSE

圖4為不同信噪比、不同DOA估計器組數情況下，所提算法DOA估計的均方根誤差RMSE與OGRSBL算法的對比。從圖4可看出，DOA估計器組數k無論是大還是小，本算法均比OGRSBL算法的性能要好，且隨著DOA估計器組數的增加，算法的DOA估計性能越高。當信噪比大于-2 dB時，所提算法與OGRSBL算法仿真圖像重合，這是因為，在較高信噪比時，所有的DOA估計值均可通過局部性能測試，此時所提算法就簡化為OGRSBL算法。

圖4 不同估計器組數下算法隨SNR變化的RMSE

4 結束語

提出了一種基于偽噪聲重采樣和稀疏貝葉斯學習的DOA估計算法。通過偽噪聲重采樣技術構造新的數據模型，利用求根稀疏貝葉斯學習求解出DOA估計值，采用局部性能測試方法去除異常值，篩選出合適的DOA值。與現有離格模型下的DOA估計算法[10-11,17]不同，該算法在求根稀疏貝葉斯學習算法的基礎上采用偽噪聲重采樣技術，降低了原始信號中噪聲的影響，在低信噪比下仍有較高的DOA估計精度。仿真結果表明，PR-OGRSBL算法要優于傳統離格的OGRSBL算法和基于網格的PR Root-MUSIC算法，在低信噪比下具有更高的DOA估計精度。