矩陣跡最小問題的求解

譚 婕， 彭振赟

(桂林電子科技大學 數學與計算科學學院，廣西 桂林 541004)

不定最小二乘問題

(1)

其中J=diag(Iq,-Iq)，Ip和Iq為單位矩陣，在總體最小二乘問題、幾何近似和斜映射問題等的應用中具有十分重要的作用[1]。

對于不定最小二乘問題(1)，文獻[2-4]利用QR分解、Cholesky分解方法給出了求解該問題的QR-Cholesky法和向后穩定法。文獻[5-7]探討了矩陣方程AXB=C有解的情況，給出了該矩陣方程通解的表達式。文獻[8]利用雙曲QR分解方法求解不定最小二乘問題，并驗證了此方法比QR分解和Cholesky分解的運算量少，證明了雙曲QR分解在條件較弱的情況下是向后穩定的，并對解的誤差進行了分析，同時發展了這個問題的微擾理論，并確定了一個條件數。文獻[9]介紹了廣義雙曲QR分解，并用該分解求解等式約束下的不定最小二乘問題，同時分析了有界誤差。

矩陣跡最小問題

(2)

是不定最小二乘問題(1)的直接推廣。2011年，歐陽君[10]首次提出問題(2)并給出了其有唯一解的充分必要條件，討論了解的擾動分析。鑒于此，討論矩陣跡最小問題(2)的更一般的矩陣跡最小問題，即矩陣跡最小問題

(3)

其中A∈Rm×n，B∈Rn×s,C∈Rm×s，m≥n，J=diag(Iq,-Iq),Ip和Iq為單位矩陣且p+q=m，得到矩陣跡最小問題(3)有唯一解的充分必要條件，給出解存在時解的計算方法與存在解時的算法，并通過數值例子驗證求解問題(3)計算算法的可行性。

1 問題(3)有解的條件

引理1[1]設A∈Rm×n，rank(A)=n，m≥n，則有

其中：R∈Rn×n為上三角非奇異矩陣；H∈Rm×m為J-正交矩陣，即HTJH=J。矩陣A的這種分解稱為矩陣A的雙曲QR分解。

引理2[11]設A∈Rm×n，rank(A)=r，m≥n>r，則有

(4)

其中：R∈Rn×n為行滿秩矩陣；Q為J-正交矩陣。

定理1問題(3)有解的充分必要條件是rank(A)=r≤p，有唯一解的充分必要條件是rank(A)=r=n≤p，且B滿秩。

證明若rank(A)=r，則由引理2知，矩陣A可分解為式(4)。因此，有

(AXB-C)TJ(AXB-C)=

其中

R∈Rr×n，J=diag(Iq,-Iq).

若rank(A)=r≤p，則有

(AXB-C)TJ(AXB-C)=

(RXB-C1)T(RXB-C1)+C2J1C2。

(5)

其中J1=diag(Ip-r,-Iq)。因此，問題(3)等價于

(6)

因此，問題(3)有解。

反之，若rank(A)=r>p，則有

(AXB-C)TJ(AXB-C)=

(R1XB-C11)T(R1XB-C11)-

其中

因此，問題(3)等價于

(7)

做行滿秩矩陣，對R1和R2的廣義奇異值分解

其中：W為n可逆矩陣；U、V分別為p階和r-p階正交矩陣；C=diag(c1,c2,…,ct)>0；S=diag(s1,s2,…,st)>0；I為適當階數的單位矩陣。令

X1∈R(p-t)×n,X2∈Rt×n,X3∈R(n-p-2t)×n,

則問題(3)等價于

(8)

因為問題(3)有解時，其等價于問題(6)。而問題(6)有唯一解的充分必要條件為R、B為可逆矩陣。因此，問題(3)有唯一解的充分必要條件是rank(A)=r=n≤p，且B滿秩。

2 求解問題(3)的解

X=A+CB++W-A+AWBB+。

其中：‖A‖為矩陣A的Frobenius范數；W為任意矩陣。

X=R+C1B++W-R+RWBB+，

(9)

其中W為任意矩陣。

證明由定理1的證明可知，問題(3)與問題(6)同解。由引理3知，問題(3)的解可表示為式(9)。

引理4[5]矩陣方程AXB=C的通解為

X=A-CB-+(I-A-A)U+V(I-BB-)。

其中：A-為矩陣A的g-廣義逆；A+為矩陣A的Moore-Penrose廣義逆，通常取A-=A+；U為任意矩陣。

定理3若問題(3)有解，則其與矩陣方程ATJAXBBT=ATJCBT同解，且其解可以表示為

X=A+JAA+JCB++

(I-A+JAA+JA)U+V(I-BB+)。

(10)

證明若問題(3)有解，則問題(3)的解即為矩陣方程ATJAXBBT=ATJCBT的解。

令F(X)=tr[(AXB-C)TJ(AXB-C)]，則有

F(X)=tr[(AXB)TJ(AXB)-(AXB)TJC-

CTJ(AXB)+CTJC]=tr(BTXTATJAXB)-

tr(BTXTATJC)-tr(CTJAXB)+tr(CTJC)。

對F(X)求導，有

對F(X)二次求導，有

由于問題(3)有解，則有rank(A)=r≤p，從式(5)可知，ATJA>0。又因BBT>0，可得F″(X)>0，故F(X)為凸函數。因此，矩陣方程ATJAXBBT=ATJCBT的解即為問題(3)的解，則問題(3)的解等價于矩陣方程ATJAXBBT=ATJCBT的解。

由引理4可知，問題(3)的解為

X=(ATJA)-ATJCBT(BBT)-+

(I-(ATJA)-ATJA)U+V(I-BBT(BBT)-)=

A-J(A-)TATJCBT(B-)TB-+

(I-A-J(A-)TATJA)U+

V(I-BBT(B-)TB-)=

A+J(AA+)TJC(B+B)TB++

(I-A+J(AA+)TJA)U+

V(I-B(B+B)TB+)=

A+JAA+JCB++(I-A+JAA+JA)U+

V(I-BB+)。

3 數值算例

由定理2、3可得如下2種求解問題(3)的不同算法。

算法1(根據定理2求解問題(3)的算法)

2)由引理1將矩陣A1進行雙曲QR分解，得Q、R1；

3)從

可得R；

4)計算

其中C1∈Rr×n，C2∈R(m-r)×n；

5)求矩陣R、B的廣義逆R+、B+；

6)將R+、B+、B、R、C代入式(9)，求得問題(3)的解。

算法2(根據定理3求解問題(3)的算法)

1)A為降秩，將A分解成A=A1M，其中A1為列滿秩，M為行滿秩；

3)求矩陣B的廣義逆B+；

4)將A、B、A+、B+、C、J代入式(10)，求得問題(3)的解。

例取m=8，n=7，p=5，q=3，隨機給出矩陣：

其中J=diag(I5,-I3)，I5和I3為單位矩陣。

通過算法1的計算，可得

假設W為單位矩陣，將R+、B+、B、R、C代入式(9)，可求得問題(3)的解：

(11)

且當X為式(11)時，tr[(AXB-C)TJ(AXB-C)]=-8.795 8。

將A、B、A+、B+、C、J代入式(10)中，假設U、V為單位矩陣，從而可得問題(3)的解：

(12)

且當X為式(12)時，tr[(AXB-C)TJ(AXB-C)]=95.416 6。

4 結束語

利用雙曲QR分解方法分析了一類矩陣跡最小問題有解、有唯一解的充分必要條件，并通過該方法將矩陣跡最小問題轉化成最小二乘問題，同時結合矩陣理論給出一類矩陣跡最小問題的解存在時解的計算方法。數值實驗表明，該方法可行。