高精度Stewart平臺運動控制系統設計*

武錫銅, 周 烽, 王 永

(中國科學技術大學 信息科學技術學院，安徽 合肥 230026)

0 引 言

大型望遠鏡光路系統通常包括主鏡、次鏡，為了保證良好的成像質量，需要主鏡與次鏡的反射面焦點重合，光軸重合。然而由于重力、振動等原因，主鏡和次鏡之間的位姿往往會發生改變，從而導致望遠鏡成像質量受到影響，因此需要對主次鏡之間的位姿進行精確的調整和校正。由于主鏡的尺寸、質量遠大于次鏡，若對主鏡進行調整，其功耗較大，實際工程中往往采用次鏡調整機構來調整主次鏡之間的相對位姿[1]。

而Stewart平臺因其高精度、高剛度的優點，在大型望遠鏡中作為次鏡調整機構被廣泛使用[2]。本文所研究的Stewart平臺控制系統，作為次鏡調整機構，控制任務為控制動平臺從當前位姿點運動到目標位姿點，要求運動過程平穩且不超過工作空間，并且能夠快速無差的穩定到目標位姿。

1 Stewart平臺運動學模型及其反解

1.1 Stewart平臺運動學模型

本文Stewart平臺為6—UCU構型，由上平臺、下平臺及6條支腿構成，其中上平臺為動平臺，下平臺為靜平臺。上下平臺與6條支腿之間通過虎克鉸相連，支腿運動機構可簡化為移動—轉動副，通過控制6條支腿的長度變化，可控制上平臺的3個方向的平移和3個方向的旋轉。

平臺簡化模型和坐標系如圖1(a)所示，動坐標系P-X'Y'Z'與靜坐標系O-XYZ分別固定在上下平臺中，P和O點分別為上下平臺的中心點。Stewart平臺上下平臺的鉸鏈中心點分別記為A1A2A3A4A5A6和B1B2B3B4B5B6，外接圓半徑分別為r，R，分布角分別為θ，φ，其具體分布如圖1(b)所示。

圖1 Stewart平臺簡化模型及鉸鏈中心分布

1.2 Stewart平臺位置反解

已知上平臺和下平臺之間的位姿關系，求解對應的各支腿長度，被稱為Stewart平臺的位置反解(此處位置的含義為廣義位置)。位置反解是對Stewart平臺進行運動控制的基礎[3]。上平臺和下平臺之間的位姿關系描述可分為位置和姿態兩部分，記位姿向量u=[xyzαβγ]T，其中,[xyz]T為P點在靜坐標系O-XYZ中位置向量，α,β,γ分別為ZYX歐拉角中繞Z軸、繞Y軸、繞X軸旋轉角。記Ai(i=1,2,…,6)在動坐標系P-X'Y'Z'中的位置向量為OAi，Bi(i=1,2,…,6)在靜坐標系O-XYZ中的位置向量為OBi，則各支腿長度為

Li=‖li‖2=‖R·PAi+P-OBi‖2,i=1,2,…,6

(1)

式中R為旋轉角分別為α,β,γ時的旋轉矩陣。

2 工作空間軌跡規劃

由于并聯平臺特殊的閉環運動鏈構型，其工作空間有限[4]，若讓各支腿直接運動到運動學反解計算出的目標位置處，在運動的過程中動平臺可能會超出工作空間,因而必須對并聯平臺進行軌跡規劃。考慮動平臺從位姿點u1到位姿點u2的軌跡規劃，由于所設計控制系統只需實現點位控制，對軌跡形狀不做要求，為求簡便，取軌跡為6維空間內的一條線段。同時為使運動更加平穩，使用梯形速度曲線對平臺運動速度進行規劃。

按平臺能否加速到最大速度分為兩種情況，如圖2所示。

1)能夠加速到最大速度時，速度和加速度曲線如圖2(a)所示，0～t1段為加速段，以amax做均加速運動；t1～t2段為勻速段，以vmax做勻速運動；t2～t3段為減速段，以-amax做勻減速運動，此時α(t)可計算為

(2)

2)不能加速到最大速度時，速度和加速度曲線如圖2(b)所示，0-t4段為加速段，以amax做均加速運動，此時α(t)可計算為

(3)

圖2 兩種情況下速度和加速度曲線

3 關節空間建模與辨識

在對實際系統缺乏了解時，直接進行控制器設計往往存在風險和不便。因此，在控制器設計之前，首先通過辨識的手段，得到關節空間的信息，即支腿的模型信息。關節空間的控制任務為控制支腿跟蹤由工作空間規劃軌跡反解得到的位置曲線，由于支腿位置可看作是運動速度的積分，本節將對支腿的速度—電壓關系進行建模和辨識。

關節空間中，由直流電機驅動滾珠絲桿帶動支腿上部運動，使支腿長度發生改變。不考慮負載力的影響，可將支腿的速度—電壓開環傳遞函數近似為[5]

(4)

式中U(s)為輸入電壓，Y(s)為輸出速度，Te為電磁時間常數，Tm為機械時間常數，K為等效放大系數。

為得到式(4)中參數的具體數值，使用頻率響應法對支腿進行辨識，其思想為測量系統在不同頻率正弦信號輸入的輸出響應，以求得系統模型的待定參數[5]。

對關節空間進行辨識實驗，以不同頻率的幅值A為6 V的正弦信號作為系統輸入

u(t)=Asin(ωit)

(5)

式中ωi=2iπ,i=1,2,…,10。設置采樣周期為1 ms，則h=0.001 s，對每個測試頻率，運行6 s，并記錄其中2～4 s的速度值，進行多次實驗，將相同時間點處的速度值取平均值，求得各頻率點幅值放大倍數和相移角度如表1所示。

表1 各頻率點對應的幅值放大倍數和相移角度

各個頻率點的Me，φe分別得到對應的z為

z=Me[cos(φe)+jsin(φe)]

(6)

將頻率特性向量z=[z1z2…z10]T，角頻率向量ω=[ω1ω2…ω10]T，開環傳遞函數分子階數nb=0,分母階數na=2，代入invfreqs(z,ω,nb,na)中，得到關節空間開環傳遞函數的估計為

(7)

繪制出實際系統傳遞函數與辨識得到傳遞函數的頻率特性曲線，如圖3所示。

圖3 實際系統和辨識得到傳遞函數的頻率特性曲線

由圖3可以看出，使用頻率響應法能夠較好地辨識出關節空間的支腿速度—電壓開環傳遞函數，這一模型信息將會被用于關節空間的控制器設計中。

4 關節空間控制器設計

在高精度位置控制器設計中，往往采用位置—速度雙環控制方案。其中，速度內環控制的主要目的是抑制外部擾動，增強魯棒性。通常希望通過內環控制器的校正作用，使得校正后的內環特性盡可能的接近名義模型，這樣在外環控制器設計時，即可將名義模型視為實際的控制對象[6]。

已通過辨識實驗得到關節空間的速度—電壓模型，但由于未建模部分和外部擾動的影響，其和真實系統之間必然存在差距。考慮所建立模型和實際對象的差別，將關節空間的速度—電壓關系用微分方程表示

(8)

式中f'為實際系統未建模部分和外界擾動的總體作用，視為總擾動，由式(7)可知a0=9 232，a1=169.25，b=10760。

x=Ax+Bu+E',y=Cx

(9)

構造模型輔助的擴張線性狀態觀測器

z=(A-LC)z+[BL]uc,yc=z

(10)

式中uc=[uy]T為組合輸入，yc=[z1z2z3]T為組合輸出，z1為對x1的估計，z2為對x2的估計，z3為對f'的估計，L=[l1l2l3]T為參數需要設計的觀測器增益矩陣。

為使z→x，觀測器特征方程的根應均具有負實部，為求簡便，將其均配置在-ω0處，即

λ(s)=|sI-(A-LC)|=(s+ω0)3

(11)

則有

(12)

則模型輔助的擴張狀態觀測器為

(13)

選取合適的觀測器帶寬ω0，即可保證z→x，從而得到系統各狀態和總擾動的估計。取式(14)中控制律

u=kp(r-z1)-kdz2-(z3-a1z2-a0z1)

(14)

又有z→x，則閉環系統為

(15)

則輸出y和輸入參考信號r之間的閉環傳遞函數為

(16)

對位置外環設計比例—積分控制器，控制律為

(17)

式中err為位置環參考信號r'與當前位置y'之差，errI為位置誤差的積分。為加快鎮定速度，在最后穩定階段引入積分重置策略，即當檢測到當前位置超過目標位置時，直接將errI重置為0，從而減小支腿運動超調的距離。

5 實際控制系統與實驗

Stewart平臺控制系統的總體框架如圖4所示。

圖4 高精度Stewart平臺控制系統總體框架

實際控制系統由上位機、下位機、Stewart平臺組成。采用FPGA+DSP異構方案，FPGA和DSP通過外部存儲器接口通信，實現傳感器信息(增量式編碼器、限位開關)的讀取和控制信號(PWM信號)的產生[8，9]。接口板實現差分轉單端、電平變換、光耦隔離等功能。驅動板由6對PWM信號控制，驅動平臺按照給定軌跡運動。

為驗證所設計控制系統性能，進行Stewart平臺運動控制實驗。平臺具體尺寸為r=90 mm，R=148 mm，θ=110.078 6°，φ=15.7965°。控制周期為1 ms，限制平臺位姿的位置分量的最大速度和最大加速度幅值為1 mm/s和1 mm/s2，姿態分量的最大速度和最大加速度幅值為1°/s和1°/s2。

控制Stewart平臺從中位點[0 0 244.827 3 0 0 0]T運動到[4 -1 247.827 3 3 -1 -1]T處，記錄0～20 s各時刻的支腿長度，并利用高斯—牛頓法求得對應的動平臺位姿，繪制出位姿變化曲線如圖5所示。

圖5 平臺運動時位姿變化曲線

從圖5中可以看出，動平臺按照所規劃的軌跡運動，運行平穩，且在開始運動和停止運動時均有妥善的過渡過程。其在0～5 s的軌跡跟蹤階段，平臺位置跟蹤誤差在0.01 mm以下，姿態角跟蹤誤差在0.005°以下，并且在5.8 s左右，動平臺位姿鎮定。最終平臺穩定在[3.999 89 -0.999 90 247.827 17 2.999 92 -1.000 01 -1.000 02]T，偏差與位置傳感器量化誤差在一量級，因而可以將其忽略，認為平臺已經穩定在給定位姿上。

6 結 論

實驗結果表明：在本文所設計的控制系統控制下，高精度Stewart平臺運行平穩，具有良好的跟蹤精度，并且最終能夠較快的穩定到目標位姿，取得了理想的控制效果。