一類導彈追蹤敵快艇問題的數學模型

馬慧

摘要：本文主要研究了一類導彈追蹤敵快艇的軍事問題，通過導彈和敵快艇的相對運動，給出了追蹤引導下的數學模型，利用數學軟件進行實驗求解，并通過迭代公式分析了敵快艇的逃逸策略。

關鍵詞：數學模型;微分方程;迭代公式;MATLAB軟件

1 引言

隨著高新技術的不斷發展，對實際問題的刻畫也越來越精確，而數學模型作為橋梁也發揮著舉足輕重的作用。對于工程技術、自動控制等領域的問題，主要通過對問題的機理分析建立數學模型，其中大多數模型涉及到微分方程。而復雜微分方程的解析解一般很難求出，因此需要通過數值方法來求解。在數學模型中，迭代公式也是一種常用的方法，主要通過分析問題找出迭代關系來進行求解。

本文主要研究一類導彈追蹤敵快艇問題，相關表述如下：某沿海導彈基地發現其正北方向h km處海面上有一艘敵快艇，正以v km/h的速度向正東方向行駛，該基地立即發射導彈跟蹤追擊敵快艇;導彈的飛行速度為v0 km/h，并自動導航使導彈在任意時刻都能對準敵快艇飛行。假設以導彈基地為坐標原點建立直角坐標系，則敵快艇在y軸上點A處;導彈在t時刻的位置是P（x，y），敵快艇的位置是Q（vt，h）;導彈的飛行曲線y=f（x）.

圖1

2 一類導彈追蹤敵快艇題的數學模型

對于上述問題，主要考慮兩種情形：情形一是在h=100km，v=90km/h，v0=450km/h時，研究導彈將在何時何處擊中敵快艇;情形二是在H=120km，V=135km/h，v0=450km/h時，考慮敵快艇沿著與導彈飛行方向成何夾角，更有利于敵快艇的逃逸，并進一步地研究敵快艇的逃跑策略。具體步驟如下：

2.1 分析與假設

針對該問題，可考慮兩個方面。一是由導彈運行的曲線方程建立關于導彈飛行路線的微分方程數學模型;二是研究敵快艇的逃逸策略，實際上只需考慮導彈何時擊中敵快艇，再從相反的方面考慮問題，即可得出相關的策略。再由問題的實際運行環境和條件，結合數學理論和模型建立的可行性，做出如下假設：

（1）在整個過程中忽略導彈飛行遇到的空氣、風力和風向等因素的影響;對于敵快艇來說，忽略海上自然條件帶來的影響。

（2）導彈從發射出去后，始終以v0=450km/h勻速飛行，忽略其速度方向;同時不考慮敵快艇速度方向，在情形一中始終以v=90km/h做勻速運動，在情形二中始終以V=135km/h做勻速運動。

（3）導彈飛行方向與敵快艇逃逸方向的夾角為θ，考慮到敵快艇自身的體積，若導彈與敵快艇的位置相距不超過0.001km=1m，則可認為導彈擊中敵快艇。

2.2 模型的建立與求解

由上述分析和假設，結合給出的具體數據，可建立兩個模型。

模型一：微分方程1。針對情形一，由于導彈在任意時刻都對準敵快艇飛行，結合圖1知，直線PQ的斜率就是導彈的飛行曲線OP在點P處的飛行方向，則

.（1）

對式（1）整理可得，

.（2）

由具體數據知，導彈飛行速度是敵快艇運動速度的5倍（），即

.（3）

聯立方程（2）（3）并對y求導，得

.（4）

為了簡化計算，令x=x1，x′=x2，則結合方程（4）和初始條件x（0）=0，x′（0）=0，可建立微分方程的初值問題，即

.（5）

進一步地，將上述初值問題轉換成y關于x的微分方程初值問題，即

.（6）

其中h=1×102km，利用MATLAB數學軟件2求解式（6），整理得到圖2。

圖2

由圖2知，導彈在點（2，100）km處（即t=13.3min時）可擊中快艇。

模型二：迭代公式。針對情形二，可利用追蹤導引法3，通過劃分時間段來研究夾角θ的變化，判斷導彈到敵快艇之間的距離與0.001km的大小關系即可。而時間段劃分的越詳細，則導彈飛行的曲線就越接近直線。

假設在任意時刻導彈和敵快艇的位置坐標分別為（xmi， ymi）、（xsi， ysi），導彈速度方向與x軸正方向的夾角為αi，當時間段（步長）為λ時迭代格式如下：

導彈的坐標，

敵快艇的坐標，

其中，夾角 ;第一個步長對應的導彈和敵快艇坐標分別為， .

由距離公式可知，當滿足時，導彈可擊中敵快艇。假設導彈擊中敵快艇的位置（xpn， ypn）=（X， Y），擊中的時間T=nλ，即敵快艇若在T=nλ時間內可以選擇逃跑。通過MATLAB數學軟件求解，整理可得，當θ=0時，敵快艇擁有的逃逸時間為T=22.86min，此時的逃逸時間最長。

由此可知，當導彈剛發射時，敵快艇擁有的逃跑時間最長，也就說，當敵快艇逃跑方向與導彈飛行方向平行時，最有利于敵快艇逃逸。事實上，根據現有數據，敵快艇的逃逸速度（不考慮方向）在導彈速度方向上的最大分量遠小于導彈的飛行速度（V=135， v0=450km/h），;因此對于有重要作用的快艇，若能提高敵快艇的逃逸速度，再設計逃跑策略，則有可能實現成功逃逸。

2.3 模型的評價與不足

本文通過微分方程和迭代公式進行建模，將實際問題轉化成可研究、可定量分析的數學問題，并利用數學軟件MATLAB求解，提高了求解的效率和精度。但由于考慮了相對理想的自然環境，忽略了其對追蹤時的影響，因此本文所得到的數據有一定的誤差;接下來，可加入風力、風向等因素，進行更詳細的研究，通過敵快艇的逃逸策略來改進導彈，提高導彈的打擊精度。

導彈追蹤敵快艇的問題是將數學理論與軍事問題相結合的一個小分支。近兩年，隨著國內外形式的變化及高新技術在軍事上的應用，相關導彈問題的研究越來越受到很多學者的重視;同時這也是數學模型在實際問題的一個重要應用。因此從數學建模的角度對該問題進行分析，考慮導彈擊中快艇的位置和時間和快艇的逃逸策略，對新形勢下研究高新技術在軍事方面的應用有著十分重要的意義。

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（作者單位：陸軍邊海防學院）