清末西方代數學在中國的傳播與普及

張偉　白欣

中國引入西方代數學從《數理精蘊》的借方根比例開始，未引起多少重視。真正學習西方符號代數學始自李善蘭和偉烈亞力合譯的《代數學》，之后華蘅芳與傅蘭雅合譯的《代數術》促進了代數的流傳。《代數備旨》及一些英文原版代數學教科書被廣泛學習。清末興學辦報.促進了代數知識的傳播。1902年，隨著欽定學堂章程的頒行.編輯出版了大量代數教科書，進一步普及了代數知識。

中國古代數學秉承經世致用，工于計算十進位制計數法的籌算及《九章算術》中解線性方程組的消元法，《孫子算經》及南宋秦九韶《數書九章》中一次同余式組的解法，11世紀賈憲《皇帝九章算法細草》中的“楊輝代數”，宋元時期李冶的“天元術”、朱世杰的“四元術”，及秦九韶的求高次代數方程數值解的“正負開方術”，都堪稱世界一流。明清時期，中國代數沒有繼續前代的輝煌，處于低迷狀態，為什么會出現如此現象？一些數學史工作者對其進行了探討，并找到了一些原因，一是中國代數問題來源于實際，中國古代數學家不善于按代數方程次數升高的方向去提出問題;二是中國代數所要求的解答都是具體的數值結果，對于一類代數問題的一般解興趣不高，故從中國古代代數學的傳統中生長出近世代數是困難的;三是我國古代代數學符號體系很少變動，比較笨重，難以舊瓶裝新酒。

因此，中國學習西方代數學是必然的。在學習西方代數學的過程中，中國人是如何消化吸收，并進一步發展的？從僅為少數數學家掌握的“洋算”到近乎每位中學生都要學習的“代數”知識是怎樣發展的？中國是如何經過百年的努力，縮小與世界代數學差距的？回答以上問題，都涉及代數學在中國的傳播與普及問題。而以往的研究基于中國近代代數學的發展成就，沒有討論西方代數學在中國生根發芽、繼承和發展過程。

學校以代數教科書為載體，通過教學，代數學得以傳播和普及。由此，以清末代數教科書為研究重點考察代數學的發展，并總結中國在學習西方代數學知識方面的經驗和教訓，了解西方代數學與中國傳統數學交匯互動及消融的過程，意義重大。

1902年前西方代數學在中國的傳播

（1859-1901年）

明末清初西學第一次輸人我國。康熙欽定的《數理精蘊》于1723年編撰完成。內容含“借根方比例”（下編第31-36卷），介紹了當時的一些代數學知識。此后的一個多世紀，在中國流傳的是西方的“借根方”。由于限于宮廷，范圍狹窄，所以沒有產生多大的影響"。

1840年第一次鴉片戰爭以后，開始了第二次西學東漸。代數作為數學新學科被介紹進來。其中《代數學》（1859）和《代數術》（1873）堪稱傳入和傳播西方符號代數的豐碑之作。據馮立異的考察，此兩本著作也很快傳到日本，并被翻刻和訓點，對于促進日本數學近代化起到了極大的作用。

1859年，清末數學家李善蘭與偉烈亞力合作翻譯了《代數學》，這是西方符號代數首次引入我國。《代數學》原名“Elements?of?Algebra”，原著者Augustus?De?Morgan（1806-1871），現譯名德摩根。該書在1835年初版，1837年再版。全書13卷，主要有一次方程、多元一次方程、指數、二次方程、限及變數、級數、指數對數之級數等內容。《代數學》的翻譯出版具有開創性意義。它不但是我國第一部符號代數讀本，而且開啟了西方代數學在中國傳播的新紀元。尤其是偉烈亞力與李善蘭合力創譯的代數術語和數學符號為以后數學翻譯的進行奠定了基礎，為代數學在中國更好地傳播創造了有利的條件。《代數學》內容新，難度大，流傳不暢。刊后的十幾年，甚至沒有幾本以“代數”為名的著作出版。可以說，“《代數學》在當時并不流行。”

1873年傅蘭雅和華蘅芳合譯《代數術》。該書原名“Algebra”，原著者W.Wallace，今譯華里司。比之于《代數學》，《代數術》內容更加系統豐富，譯筆更為流暢清晰。全書25卷，共281款。主要內容有釋號、代數起首之法、代數諸分之法、代數之諸乘方、無理之根式、代數之比例、變清獨元多元之一次方程式、一二三四次式各題之解法、等職等根各次式之解法、有實根之各次式解法.無窮之級數、對數與指數之式、生息計利、連分數.未定之相等式、用代數解幾何之題、方程式之界線、八線數理等。華蘅芳曾受教于李善蘭，并鉆研《代數學》，深諳其艱深難懂之處。這使其翻譯的《代數術》更易于理解和接受，正因為《代數術》的刊行，西方符號代數才開始流行。

19世紀末，近代西方傳教士在華興辦的教會學校已達兩千余所，在校四萬余人，占當時中小學總人數的一成之多。教會學校開設數學課程中含代數。由傳教士組成的學校教科書委員會編寫了大量數學教科書，且被廣泛采用。其中《代數備旨》是美國人狄考文編譯.鄒立文筆述，1896年美華書館鉛印出版。該書共十三章，內容淺顯易懂，是狄氏將學生的筆記加以歸納整理，再印成書。由于師生合作，經過教學實踐，能夠更好地被中國學生理解和掌握，很受歡迎。據清末出版的《中國教育指南》記載，當時具有代表性的12所中學有9所使用《代數備旨》，足見其使用之廣，影響之大。此外一些學校還使用英文原版代數教科書：

（1）Wentworth：Practical?Arithmetic，1893;

（2）Wentworth：Elements?of?Algebra，1881;

（3）Halland?Knight：Elementary?Algebra，1885;

（4）Chrystal：Text?Book?of?Algebra，1886;

（5）Halland?Knight：HighAlgebra，1887;

（6）Fine：Algebra，1901

總之，這一時期一些有識之士已充分認識數學的重要性。主要通過譯書、興辦學堂或出國留學研習代數回國任教等多種方式傳播西方代數。基于此，大量代數相關著作得以出版，截至1901年出版的數學書籍含“代數”的就達80種。此期的數學著作，代數占很大的比例。無論是前期的“會通”，還是后期的傳播與普及，“代數”之名已從被動接受到主動選擇，顯然已漸入人心。

1866年底，奕訴等奏請京師同文館增設天文算學館。1868年，李善蘭到任算學教習，李故后由其弟子席淦和同文館畢業生王季同先后接任，直到1902年結束。由于京師同文館沒有指定教科書和具體教學內容，根據《算學課藝》中所列代數試題可推斷同文館“代數學”課程用書即是李氏的《代數學》。雖然京師同文館所學代數內容基本是初等代數的內容，也沒有培養出幾個像樣的數學專門人才，但作為當時最重要的官辦學堂開授代數課程，無疑對代數在全國各級各類學校的傳播與普及起到了巨大的推動作用。

繼同文館之后，各級各類學堂如雨后春筍蓬勃發展。洋務派人士積極開辦一系列的新式學堂。學堂課業中代數均被作為主要的學習內容。1876年的廣東西學館開設數學課程。同年，傅蘭雅、華蘅芳在上海格致書院開堂授課。受此影響，有的書院及私塾也群起效仿。1884年上海求志書院劉彝程、南著書院張文虎，1890年兩湖書院華蘅芳都大力推行算學教育。1894年崔朝慶、長沙湘水校經堂添設算學課。這些學堂的數學課程中均有代數內容，促進了代數知識的普及。

為更好地進行文化滲透，在華傳教士還編輯發行報刊，如《六合叢談》（偉烈亞力），《中西聞見錄》（丁韙良、艾約瑟），《格致匯編》（傅蘭雅）。這些報刊傳播了大量的科學知識。風氣漸開，國人亦不甘人后，《亞泉雜志》《普通學報》《湘學報》《新學報》等陸續刊行。隨后，還出現了《算學報》《中外算報》《數學雜志》等數學專業期刊。這些雜志或多或少地含有代數內容，有的連載數學專著，有的刊發數學爭鳴，有的以互相問答的形式討論算學難題，有的刊印數學試卷和數學譯文，內容豐富，形式多樣。這些刊物為當時的數學工作者數學學習者提供了很好的研習平臺。

甲午戰敗后，國內出現了許多算學社團，其中較著名的有浙江瑞安學計館、譚嗣同等人創辦的瀏陽算學館以及周達等人創辦的知新算社等。這些算學機構的成立，對代數知識的傳播與普及起到了積極的推動作用。

1902年后的代數學傳播

（1902-1911年）

清末初訂學制時期，從1902年至1911年清朝滅亡，一共十年。這一時期，全國興起了辦學熱，編寫出版了大量代數教科書，代數知識得以傳播和普及。

清末代數教科書的編寫是在興新學的背景下展開的，主要是翻譯日本的代數教科書，自編的較少。排版方面，也約有以下五種情形：一是采取豎排編寫，同時使用中國傳統數學符號。二是內容豎排，數學名詞中西合用。三是內容橫豎混合編排，數學名詞中西兼用。四是內容橫排，符號仍采用中國傳統符號。五是內容橫排，數學名詞全部西化。從排版的演變情形可看到人們逐漸接受西方教科書的編排方式。

面對版本眾多，水平不一的各科教科書，清政府為保證中小學堂的教育質量，頒布了教科書審定制度，要求所有刊行的教科書必須經過審查方可采用。清末教科書的審定有兩個標準：一為是否合乎當時的教育宗旨，即對教科書進行意識形態色彩的思想性審查;二為是否合乎現代教育的基本規范，即對教科書進行教育的學術性和技術性審查91。代數教科書也在審查之列。

民間出版機構出版的教科書，從質量上來說遠優于官制教科書。1909年學部審定的代數有：真野宮田的《最新代數教科書》，高木貞治的《代數學教科書》，查理斯密的《小代數教科書》。1910年，學部頒布“第一次審定中學堂初級師范學堂暫用書目”共計84種，民間出版物占九成以上，其中尤以商務印書館的30種為最，近四成。其中就包括《代數學》（編者未注明）。其后又出版了《中學教科書小代數學》等。

依據相關書目對清末出版的代數教科書的統計，1904-1911年共出版33種，其中翻譯或編譯的22種（其中日本著者18種，美國2種，英國2種），自編的11種。出版商主要是國內的商務印書館、文明書局、科學書局等及國外的東京科學會編譯部、清國留學生會館、東京東亞公司等。商務印書館首開為各級學校編印整套教科書的記錄，滿足了當時學堂的需求。其他書局也出版了一些代數教科書。如，上海的時中書局，雖在很多目錄未見記載，但從其發行的《時中書局新書目次》中可以看出，曾出版了不少代數教科書。又如，慕爾氏代數學等。南洋官書局出版的中等代數學教科書等。

清末主要使用的代數教科書為日譯教科書。一是因為清末新學制的制定主要仿自日本，所以學習的內容及教科書也主要學習日本。二是大量日本教習來華從事教學工作，主要講授日譯教科書。三是大量赴日本的中國留學生從事教科書翻譯工作，或歸國后從事教學工作。1906年京師大學堂使用的代數教科書是《代數學》，譯自日本上野清所編的教材，程度僅相當于現在的高中代數川。當時，國內也有一些自編的代數教科書出版和使用，但不是主流。

清末代數教科書個案分析

——以樺正董的《代數之部》為例

清末癸卯學制的建立，主要是以日本學制為藍本，中國的代數教育也主要是翻譯日本的教科書，本文選取樺正董《代數之部》（趙繚、易應岷譯，上海群益書社，1908）的理由有二：一是樺正董的代數教科書被翻譯的較多，有4種;二是該書不僅清末有廣泛使用和影響，在民國時期仍然有出版使用，影響時間較長。

樺正董（1863-1925），數學教育家、數學家，是日本數學教育近代化的先驅之一。《代數之部》分上下兩卷。上卷目次為：“整數四則”、“一次方程式”、“因數分解法，倍數，約數”、“分數式”、“一次方程式之續，不等式”、“附錄”（包括“雜題”）。下卷日次為：“方及方根”、“二次方程式”、“指數論”、“開方法”、“比，比例”、“級數”、“對數”、“序列，組合”、“二項定理”、“附錄”（包括“極大，極小”、“雜題”、“對數表”）。

從全書的知識編排來看，充分體現了代數以“方程為綱”的理解，即“代數學可直謂之方程式之學”，“自卷初即授學者以方程式之知識，凡整數四則，因數分解法，分數、根數之編遇有機會即課方程式之問題以明其應用。蓋如此足以起學者之興味也，然于方程式之編仍依一定之次序以立證信不稍紊其統系。”[121著者確實是按這樣做的。全書圍繞方程展開，沒有涉及函數或圖解方面的知識。

該書的編寫不僅是依照日本文部省規定之教授要目，而且著者還進一步進行了推廣，樺正董認為：“全依教授要目則教科書教授法之改良不可得。”這說明著者對代數教學有獨到見解。

該書敘述簡潔，各章節短小而精焊，沒有完全按照直線上升的知識模式，個別知識采取了螺旋上升的方法，如移項及一元一次方程的解法等，處理恰當，很有特色。本書提出五條運算定律，這是先進的，在當時其他書中尚未出現。尤其是對0作分母一處處理較為合理，對分式方程的根進行了討論，并規定va只表示正值，這在解無理方程時可防止產生增根。另外，該書練習題較少，這與當時許多教科書像習題集一樣有很大不同，為防止學生練習較少，特意安排了附錄，安排了一些雜題和補充習題，這在當時同類教科書中是少見的。當然，由于語言精練，有時難免存在粗淺，說理不明等弊端，書后沒有附練習題答案，也許不利學生自修或學習。

雖或存在知識編排上沒有更多考慮學生的心理，舉例和生活結合不夠緊密等缺點，但囿于當時的教學實際，該書無疑是較為優良的教本。

西方代數在清末中國的傳播，發端于《數理精蘊》，但由于沒有引入符號，沒有傳播開來。真正傳播的開始源于李善蘭和華蘅芳的翻譯工作，他們和傳教士合作翻譯引入了《代數學》和《代數術》，同時創造了大量的數學術語，為代數學在中國的傳播創造了良好的基礎。清末在落后挨打，求強求富的背景下，開始大力興學，學習科學知識，作為主要課程的代數進入學校課程。雖然內容淺顯，尚屬初等代數范疇，但畢竟使代數的基本知識開始流傳。在這里，國外學者、國內數學家、留學生、數學畢業生等數學工作者付出了艱辛的努力。在1902-1911年這個時期里，代數教科書使用問題已基本得到解決，只是自編的較少，翻譯的較多而已，且翻譯的底本主要來自日本，而比之于前一時期，則主要采用的是美國傳教士的書。就質量而言，翻譯的內容明顯優于自編的內容。在數學教科書的知識編排方面，已基本采用了國際通行的數學符號，改變了長期使用的從右至左的編排方式。這一革新具有劃時代的意義。代數教科書的內容及其難度不遜于歐美和日本。從這一點看，較之于前一個時期有了明顯的進步。其中較大的缺陷是代數教科書中的習題太多，只能選做。當然這也可能是其優點之一，因為當時學習數學的參考資料匱乏，即使有也需較大花銷，教科書貌似習題集恰也部分解決了學生的演練需要。師資方面，由于學堂發展較快，教師供不應求。有些條件較好的大中堂，還聘請歐美日籍教員。雖然這些外籍教師水平參差不齊，有的甚至水平并不算高，但畢竟還是走在國人的前面了。

總之，清末時期的代數水平遠落后于世界水平，同時在辦學與傳播過程中又受到了傳統勢力的阻撓，受困于各種條件的制約。作為轉型時期的教學內容，相關教學機構代數課程的開設為清末數學家提供了開展數學教學研究的舞臺，同時也培養了一批適合社會需求的數學人才。代數知識的學習，在一定程度上促進了清末學風的轉變。早期學習數學的畢業生主要承擔了各學堂的代數教學工作，為代數知識的普及做出了巨大貢獻。即使后期大量的留學生回國，這些早期數學畢業生仍然活躍于初、中等數學教育舞臺。可以說，清末代數知識的傳播與普及，促進了數學教育的發展，使得民國成立以后代數傳播得以順利進行。從這個角度說，清末代數傳播也是中國數學走向現代化的基石，具有不可忽視的歷史地位。

[本文受內蒙古自然基金項目（2015MS0112），集寧師范學院博士科研啟動基金項目（JSBSJJ1704）支持。白欣為通訊作者。]

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關鍵詞：清末?代數?西學東漸?數學教科書?代數之部