規范理論一百年（上）

1918至1919年的一個錯誤理論開啟了一個偉大征程，導致描述自然界三種基本力的理論框架，以及很多重要的物理學和數學成就。為這一征程做出貢獻的很多物理學家與數學家獲得諾貝爾物理學獎或者菲爾茲獎和阿貝爾獎。

1918至1919年的規范理論

1918至1919年，位于蘇黎世的瑞士聯邦工業學院的赫爾曼·外爾（Hermann?Weyl）發表了三篇文章，試圖將電磁力納入引力幾何理論的框架（1-41。這就是規范理論的開端。外爾是20世紀最有影響的數學家之一。曾獲得菲爾茲獎和阿貝爾獎的阿蒂亞（Michael?Atiyah）爵士曾經告訴筆者，外爾是他的偶像之一。

外爾的這三篇文章，以《引力與電》（Gravitationund?Elektrizitat）一.文為主，該文發表于《普魯士科學院院刊》。正是在這個雜志上，愛因斯坦1915年發表了引力的幾何理論，也就是廣義相對論，揭示了引力本質上是物質所導致的時空的彎曲。

1905年，愛因斯坦提出狹義相對論。閔可夫斯基注意到，狹義相對論將時間和空間統一為四維時空。十年以后，愛因斯坦的廣義相對論指出，物質使得時空彎曲，彎曲時空又決定物質的運動。相對論是愛因斯坦最大也是最著名的貢獻，但是他獲得1922年諾貝爾獎主要是由于對光電效應的理論解釋。為了領會時空彎曲的含義，讓我們想象一個球面。在球面上的某一點放一個箭頭，箭頭從這一點指向某個方向。然后我們將箭頭的底端在球面上移動，移動過程的每一個瞬間，都保持箭頭方向不變，這叫平行移動。然而，對于有限長度（非無窮小）的移動，箭頭方向卻變了。我們可以讓箭頭底端沿著某個閉合曲線平行移動一圈，回到原來的位置，箭頭的方向不再是原來的方向。這是球面彎曲所導致的。在彎曲時空里，道理與此類似，矢量的平行移動可能改變其方向，但大小不變。

當時人們了解到，自然界有兩種基本力，除了引力，就是電磁力。所以外爾自然地想將電磁力（由電磁勢決定）也納入廣義相對論的框架。他試圖推廣平行移動的觀念，構想矢量平行移動時，不僅方向變化，大小也變化。對于無窮小的平行移動，矢量大小改變無窮小倍，外爾假設這個無窮小倍數正比于電磁勢的無窮小改變。不難推導出，對于一個有限長度的平行移動，矢量大小就變成原來的大小乘以一個指數因子，指數正比于電磁勢沿著路徑的積分（即每一點的電磁勢的累加）。這個改變矢量大小的指數因子依賴于平行移動所經過的路徑，所以叫做不可積標度因子。這個結論很奇怪。在相對論里，尺子大小和時鐘快慢都可以看成矢量的大小。按照外爾的理論，兩點之間的尺子大小和時鐘快慢的改變居然取決于尺子和時鐘沿什么路徑移動！這就是愛因斯坦在外爾《引力與電》一文后所作評論的內容。評論后面還發表了外爾篇幅很長但沒有說服力的答復，但是他承認自己“像野鵝一樣追逐瘋狂的概念”。

在外爾的這篇文章中，有一句話體現了外爾的思考方式（本文中的直接引文均為筆者譯自英文）：“電磁守恒定律與新的規范不變性聯系起來，通過第五個任意函數表達。在我看來，這與能量動量原理的類似是對當前理論的最強論證一只要在純粹猜想的情況下允許談論論證。”可以看出，外爾的信心源于他提出電磁守恒定律背后的不變性，或者說對稱性。這里的守恒量并非今天我們所知的電荷（那需要修正后的規范理論）。這里，外爾將對稱性導致的守恒量與能量動量守恒相比較。這些都可以當成諾特定理的例子。諾特定理是說，連續對稱性對應于守恒量。不知外爾當時是否已經知道也發表于1918年的諾特定理6。當時諾特在哥廷根大學希爾伯特的麾下，但是五年前外爾就已經離開了。

量子論拯救規范理論

量子論出現以后，1922年，外爾的朋友薛定諤猜測，可以在外爾的標度因子的指數里加，上虛數單位i”。這樣，標度因子就成了一個模為1的復數，即量子力學波函數的相位因子。但是薛定諤當時還沒有波函數的概念，只是籠統地說某個“長度”。后來人們發現，這個工作對薛定諤1926年創立波動力學起了啟發作用[8-10。也是在1922年，在經典理論中，卡魯扎（Theodor?Kaluza）將4維時空推廣到5維時空，其中某些度規分量代表電磁勢。當理論不依賴于第5維坐標時，5維坐標變換退化為4維坐標變換和1維規范變換。

1926年，薛定諤通過4篇文章創立了量子力學的波動力學表述（因此分享1933年諾貝爾物理學獎）。他在第4篇文章中指出，電磁場中帶電粒子的動量和能量算符必須包含電磁勢川。同樣是在1926年，克萊因（OskarKlein）和福克（Vladimir?Fock）分別討論了卡魯扎理論對應的波動力學。福克特別指出，波麗數運動方程具有規范不變性，就是說，將波麗數乘以相位因子，同時電磁勢做相應的變換，運動方程依然成立。

1926年底，倫敦（Fritz?London）給薛定諤寫了一封信，詢問他1922年對規范因子的修改與他1926年波動力學的聯系18-10]。然后倫敦自己寫了兩篇文章，將通常的波動力學與外爾的規范理論聯系起來，將外爾的不可積標度因子改為波麗數的不可積相位因子[14-151。倫敦的工作沒有福克的5維理論的額外負擔。

規范理論的重生

在倫敦和福克工作的鋪墊基礎上，外爾在1928年的《量子力學中的群論》一書?和1929年的兩篇文章中，終于修正了他1918至1919年的理論，正式將標度因子改為相位因子，將標度不變性改為相位不變性，但是沿用了原來的名詞“規范（eich）”。我們特意將他在1918-1919年間的不可積因子稱作標度因子，因為標度因子和相位因子都稱作規范因子。2019年恰好也是規范理論重生九十周年。1929年的這兩篇文章是外爾以美國普林斯頓大學訪問教授的身份完成的。第一篇是發表于《美國科學院院刊》（PNAS）的英文概要《引力與電子》（Gravitation?and?the?electron），里面出現了“規范不變原理”（principle?of?gauge?invariance）。第二篇是德文文章，發表于《物理學雜志》（Zeitschrift?fir?Physik），內容詳盡，標題是《電子與引力（一）》（Elektronund?gravitation.I）。兩個標題與他1918年的《引力與電》頗為呼應。

規范不變原理當然就是外爾1929年文章中最重要的內容。在量子力學框架下，電磁學作為規范不變的后果被推導出來，規范不變性還導致電荷守恒。這里的規范變換已經不是一個實數的標度因子，而是相位因子（指數上有個虛數單位），規范不變性事實上是相位不變性。這就是我們今天熟悉的規范理論。

導致電荷守恒的規范不變是在整體規范變換（又稱第一類規范變換）下，也就是相位變換與時空坐標無關，對每時每地的波麗數作同樣的相位變換。這可以看成諾特定理的例子，雖然外爾沒有直接提到諾特定理。1929年，諾特定理已經廣為人知。而導出電磁學的規范不變性對應于局域規范變換（又稱第二類規范變換），也就是說，相位因子依賴于時空坐標。

外爾1929年的文章仍然將引力和電磁力通盤考慮，但是現在需要考慮量子力學，出發點是引力場中的電子自旋。因此外爾討論了二分量旋量理論（用兩個波麗數描述電子），包括具有手征性的外爾旋量（后來被稱為外爾費米子）。

筆者發現特別有趣的是，在外爾的理論中，局域平直時空依賴于時空坐標，從而導致了一種聯絡，與時空彎曲的克里斯托弗爾聯絡相加，類似于后來人們所知的非阿貝爾規范勢，而相應的黎曼張量類似于非阿貝爾規范場場強！

被譽為“物理學的良心”并自稱“上帝的鞭子”的量子力學創始人之一泡利（因不相容原理獨享1945年諾貝爾物理學獎）寫了一封信給外爾：“我面前是4月份的《美國科學院院刊》。里面的‘物理’欄目下不僅有你一篇文章，而且表明你現在在一個‘物理實驗室’工作：聽說給了你一個美國的物理教授職位。我欣賞你的勇氣;因為不可避免的結論是，你希望不是用純數學的成功來評價你，而是用你真實但是不愉快的對物理學的熱愛來評價你。”

外爾這篇文章引起泡利的反感是可以理解的：外爾1918年的文章是帶著愛因斯坦的質疑一起發表的，泡利當年也反對4，現在居然卷土重來，再加上文章里面的二分量理論是違反宇稱守恒的。后來，1933年，泡利在他著名的《物理學手冊》的文章里仍然批評二分量理論。1957年1月，泡利聽說吳健雄等人關于弱相互作用中宇稱不守恒的實驗后（弱相互作用是主宰粒子衰變的基本相互作用），先是表示不相信宇稱不守恒，十天后讀了論文，才改變看法。

但是泡利看了外爾1929年第二篇規范理論的文章后，態度完全變了，又寫了一封信19-201：“與我上次難聽的話相反，我上封信的主要部分已經被否定，特別是被你在《物理學雜志》上的文章否定。因此我后來后悔給你寫上封信。研究了你的文章后，我想說我真正弄懂了你想做的（根據你在《美國科學院院刊》上的短文，情況不是這樣）。首先讓我強調我所完全贊同的方面：你將旋量理論納入引力理論框架。……這里我必須承認你的物理能力。你早期用gik=λgik的理論是純數學，沒有物理意義。愛因斯坦對你的批評與責備是有道理的。現在你的復仇時刻到了。”

1930年，外爾去哥廷根大學任教，成為他的導師希爾伯特的繼任者。

泡利成了規范理論的支持者。在上面所說的他1933年《物理學手冊》文章中，也介紹了外爾的規范理論。

也是在1933年，外爾收到普林斯頓高等研究院的教授聘書，他沒有接受。后來德國政治局勢惡化，他接受了普林斯頓高等研究院的再次相聘。他在那里工作到1951年退休，后來在蘇黎世和普林斯頓兩地生活，以蘇黎世為主。

雖然經典電磁學中也討論規范和規范變換，但是這個名詞的使用是在1929年外爾用量子力學修改規范理論之后。

克萊因和泡利

質子和中子統稱為核子，通過強核力結合成原子核。1922年，考慮到強核力與每個核子是質子還是中子無關，海森堡提出同位旋的概念，類似于自旋，將質子和中子表示成同位旋的兩種基本狀態，而在強核力下，同位旋守恒。海森堡因為最早取得從老量子論到量子力學的突破，獨享1932年諾貝爾物理學獎。1936年，湯川秀樹提出強核力的介子理論，即核子之間通過交換介子而產生強核力，正如帶電粒子之間的電磁力通過交換光子而實現，因此獨享1949年諾貝爾物理學獎。光子沒有質量，所以電磁力是長程的，但是介子是有質量的，所以強核力只能局限于很短的距離。

數學上，外爾的規范變換屬于U（1）變換，只有1個波函數作一個相位變換。而核子的同位旋變換屬于SU（2）變換，對應于兩個同位旋狀態的2個波函數做滿足一定條件的變換。對于某種變換而言，如果連續做兩次變換的結果與順序無關，就叫阿貝爾的，否則就叫非阿貝爾的。U（1）變換是阿貝爾的，SU（2）變換是非阿貝爾的。

1938年，克萊因在波蘭的一個會議上提出一個包含引力、電磁力和強核力的統一理論，將上面提到的卡魯扎一克萊因理論中對第5維坐標的無關性改為依賴于某個相位因子，其中第5維坐標出現在指數上。這個新理論中，某些度規系數成為具有SU（2）非阿貝爾規范結構的矩陣。克萊因將此理論用于核子。克萊因并不要求該理論具有SU（2）規范不變性。不過他評論說質量項可能不需要，質量也許可以來自某種自能，這個猜想有點后來的希格斯機制的精神。克萊因的報告沒有引起與會者多少興趣，后來又只是發表在會議文集，再加上二戰的爆發，這個工作沒有引起關注。

1953年在萊頓召開的洛倫茲一昂內斯會議上，普林斯頓高等研究院的派斯（Abraham?Pais）為了研究粒子分類，提出一個基于同位旋的場論，將每個時空點推廣為一個2維球面，試圖將外爾的電荷守恒推廣到同位旋守恒。派斯只考慮了整體規范變換，也就是說，SU（2）變換與時空坐標無關。泡利在場，他評論道（20.241：“我有個關于介子和核子相互作用的具體問題…我很贊成將守恒定律和不變性質與大自然在數學上的變換群聯系起來。如果除了能量守恒和電荷守恒，核子數的守恒和核力的電荷無關確定無誤，那么它們確實必須與自然定律的群論性質聯系起來，正如派斯現在試圖用數學表達.的....與此相關，我想問，是否這個常數變換群（同位旋群）能夠擴大，與電磁勢的規范群類似，從而介子一核子作用與這個擴大的群聯系起來……”

泡利是在問，能否將與時空坐標無關的同位旋SU（2）整體變換改為依賴時空坐標的SU（2）局域規范變換。他自己立即研究了這個問題。泡利熟悉規范理論，以前也研究過引力和電磁力的統一，贊成外爾將電子旋量理論與引力理論結合起來。

在1953年7月和12月給派斯的兩封信中，泡利描述了自己的理論，題為“介子一核子相互作用與微分幾何”（Meson-nucleon?interaction?and?differential?geometry。他也用卡魯扎-克萊因理論，但是采用了兩個額外維度。在他的理論中，電磁勢不是來自度規，而是來自克里斯托弗爾聯絡。泡利在這里沒有寫下規范場的拉格朗日量以及場方程，也沒有正式發表這個理論。但他在1953年秋天做過相關演講，后來他的學生整理了講義。1954年泡利在給楊振寧的一封長信中說，他的學生在這個講義里討論了規范場的拉格朗日量。1953年12月，泡利給派斯的另一封信中說：“如果試圖給出場方程，……那么總是得到靜止質量為0的矢量介子。”著重標志是泡利本人所加。這里以及后來泡利與楊振寧的對話以及給楊振寧的長信反映出，泡利意識到規范粒子的質量是個麻煩。這是因為如果規范粒子有質量，理論的規范不變性也就失去了;而如果規范粒子沒有質量，則意味著規范場可以將作用力傳遞無限遠，但是這與強核力的情況不符。

楊-米爾斯理論

楊振寧當時是普林斯頓高等研究院的年輕成員，是派斯的同事，但是1953年夏至1954年夏，他在布魯克海文實驗室訪問。楊振寧曾經回憶：“我在昆明和芝加哥做研究生時，認真學習了泡利關于場論的綜述文章。我對電荷守恒與理論在相位變化下不變的關系印象非常深刻。后來我發現這些思想來源于外爾。印象更深的是，規范不變性決定了整個電磁相互作用。”楊振寧接著回憶，在芝加哥讀研究生時，他就開始嘗試將規范理論推廣到同位旋。2005年出版的《楊-米爾斯理論50年》（50?Years?of?Yang-Mills?Theory）收人了楊振寧在1947年的三頁筆記，編者特霍夫特（Gerardus’t?Hooft）說，“這是一個當時在為規范不變性概念而努力的研究生的筆記，距1954年的杰作還有一段長路。”1947年后楊振寧還進行了很多不成功的計算。

后來隨著實驗上越來越多的介子被發現，楊振寧認為需要一個寫下相互作用的原理。所以1953年夏天在布魯克海文實驗室，楊振寧回到這個問題。當時，他與即將在哥倫比亞大學博士畢業的米爾斯（Robert?Mills）共用一個辦公室。這一次，兩人終于完成了規范理論的非阿貝爾推廣。

1954年2月，楊振寧回到普林斯頓高等研究院作學術報告，介紹這個理論。泡利在聽眾中，那個時期他與老朋友外爾一樣在蘇黎世與普林斯頓高等研究院之間“振蕩”。犀利的泡利不斷問楊振寧規范粒子的質量。楊振寧回答說不知道，曾經研究過，但是沒有明確結論。泡利說：“這不是充分的理由。”第二天，楊振寧收到泡利的短信，去找泡利。泡利建議楊振寧去看薛定諤關于引力場中狄拉克方程的文章。楊振寧發現，里面的方程一方面與黎曼幾何有關，一方面與他和米爾斯的方程類似12]。這個月，泡利還寫了一封長信給楊振寧，將自己之前的結果在平直時空和其他條件下簡化，與楊-米爾斯的結果一致，并說他的學生討論了規范場的拉格朗日量。泡利最后寫道：“但是我曾經而且仍然對粒子靜止質量為零的矢量場感到反感和泄氣（我不將你的’復雜’之說當回事），而且也存在電磁場的特性導致的群的困難。”

楊振寧和米爾斯的工作與廣義相對論完全無關，沒有額外維度的負擔。在他們的文章之前，除了倫敦的文章和泡利的綜述，研究不可積規范因子和規范理論的論文都將規范場與引力糾纏在一起，這有一定誤導性，但有一定技術上的優勢。楊振寧和米爾斯在明確的物理動機下，提出清晰的非阿貝爾規范理論。但是因為他們當時不了解規范場的幾何意義，不知道場強可以直接從協變導數的對易子得到。而克萊因和泡利的工作是在彎曲時空理論的框架中，所以很自然地通過協變導數的對易子得到場強。不過筆者注意到，在泡利當初介紹外爾規范場的綜述文章中，對于通常的平直空間，也用協變導數的對易子表示了場強。楊振寧大概沒有留意到這一點，否則推廣的過程會順利很多。

盡管受到泡利的批評，楊振寧依然認為想法很美，應該發表。這體現了巨大的勇氣，因為泡利的批評有強大的殺傷力。比如1925年，烏倫貝克（George?Uhlenbeck）和古德斯米特（Samuel?Goudsmit）提出電子具有自旋。這個貢獻沒有得到諾貝爾獎，因為克勒尼希（Ralph?Kronig）大半年前提出同樣想法，但在泡利、海森堡和克拉默斯（Hendrik?Kramers）反對下沒有發表。

2012年，楊振寧說：“這篇文章是我一生最重要的工作。雖然未竟全功，但是決定當時發表是極正確的。

1954年，楊振寧和米爾斯其實發表了兩篇文章，提出楊-米爾斯理論。第一篇只是楊振寧在當年美國物理學會四月會議所作報告《同位旋守恒與推廣的規范不變性》（Isotopic?spin?conservation?and?ageneralized?gauge?invariance）的摘要，發表在《物理評論》（Physical?Review），但是很好地總結了楊-米爾斯理論的物理思想：“同位旋守恒與電荷守恒類似，顯示存在一個基本的不變定律。在后者的情況，電荷是電磁場的源;這里的一個重要概念是規范不變性，它緊密相關于（1）電磁場的運動方程，（2）流密度的存在，（3）可能存在的帶電的場與電磁場的相互作用。我們嘗試將這一規范不變性的概念推廣，以運用于同位旋守恒。結果表明，這個推廣很自然。與電磁場類似的場是一個矢量場，即使其他場不存在，也滿足非線性方程。（與電磁場不同，這個場具有同位旋，是它自己的源。）流密度自動存在，這個場與其他任意同位旋的場的相互作用具有確定形式（除了與電動力學中的反常磁矩作用相類似的可能項）。”他們另一篇文章是詳細的論文《同位旋守恒與同位旋規范不變性》（Conservation?of?isotopicspin?and?isotopic?gauge?invariance），6月28日被《物理評論》收稿。此文的摘要強調了局域變換：“本文指出通常在同位旋旋轉下的不變性原理與局域場的概念不融洽。本文探討在局域同位旋旋轉下的不變性。這導致建立了一個同位旋規范不變性原理和某個b場粒子的存在，它與同位旋的關系類似于電磁場與電荷的關系。b場滿足非線性微分方程。b場的量子是自旋為1、同位旋為1、電荷為土e或0的粒子。”文章最后說明，對于規范粒子的質量問題，還沒有滿意答案，并指出質量為零的選項面臨發散的困難。

我們順便提一下，整體對稱也是合法的，不與規范對稱矛盾，兩種對稱都存在，前者也可看成后者的特例，事實上電荷守恒正是整體相位變換不變性的后果。

雖然是一個很美的理論，但是楊-米爾斯理論沒有能立即用到物理上。當時除了在普林斯頓，楊振寧只在哈佛大學作過一次介紹這個工作的演講。

2012年，楊振寧評論：“最近一些年，經常有人問我，為什么1954年泡利沒有發表他關于規范場的計算，而米爾斯和我發表了。我認為答案在于我們關于以下兩者不同的價值判斷：（A）規范不變性的美和力量，以及（B）規范玻色子的質量問題。對于米爾斯和我來說，中心動機來自（A），正如我們的短摘要（譯注：上文已引述）所表明的。至于（B），米爾斯和我探討了各種可能性，在我們1954年的文章最后總結道：‘因此我們沒有得到關于b量子的質量的任何結論。’也就是說，我們將（B）當作未來的問題。對于泡利來說，規范不變性的美顯然沒有被充分領會。他對整個想法有持續的負面態度。參見文章[85j]的腳注34。因此（B），質量問題，對于泡利來說，成為中心和決定性的。”這里提到的[85j]就是楊振寧的《外爾對物理學的貢獻》，里面的腳注34指出，泡利生前最后一些年對規范場的思想持負面態度，并提到1956年泡利曾經為他1921年的文章《相對論》寫過一系列后記，其中關于“外爾的理論”的后記不再如他1921年的文章那樣正面。

順便提一下，1955年劍橋大學薩拉姆的學生肖（Ronald?Shaw）的博士論文也討論了規范理論的SU（2）推廣。肖聲稱他1953年看到施溫格（Julian?Schwinger）的一篇論文預印本用SO（2）討論電磁規范理論，便將其推廣到SU（2）。肖所做的只是一個未發表的數學練習，他和薩拉姆都沒有意識到非阿貝爾規范場的重要意義。1955年內山菱友（Ryoyu?Utiyama）完成了一篇探討一般規范結構的論文，次年發表，其中以電磁學、引力和楊-米爾斯場作為例子。內山聲稱其主要工作完成于1954年3月底，但并沒有成文，而且這已經是在楊振寧的普林斯頓演講之后。

總之，楊振寧和米爾斯成為非阿貝爾規范理論的創立者，非阿貝爾規范理論也被稱為“楊-米爾斯理論”。1999年，在美國物理學會成立100周年之際，楊振寧當初的同事和見證人派斯寫了理論粒子物理的歷史綜述，其中寫道：“1954年，兩篇精彩的短文標志著非阿貝爾規范理論的開端（譯注：派斯在這句話后面引用了楊振寧和米爾斯的兩篇文章）。它們處理一種全新的強相互作用，由零質量矢量介子傳遞。這個工作引起很大興趣，但是如何應用這些深奧的想法是另一回事，那時沒有矢量玻色子，更不用說零質量的矢量玻色子。問題一直被擱置到1970年代。”

楊-米爾斯理論的發表使得很多物理學家開始關注這個問題，成為一個候選理論，雖然并沒有立即成功解決具體物理問題。楊振寧回憶：“1950年代后期，規范理論被用到強相互作用和弱相互作用。1960年，櫻井（JunJohn?Sakurai）發表了一篇很熱切的文章，提出強相互作用的非阿貝爾規范理論。”（271但是楊振寧認為櫻井的做法破壞了規范不變性這一規范理論中最美妙的觀念，認為不應當馬馬虎虎地將規范理論變為唯象的東西。1961年，格拉肖（Sheldon?L.Glashow）如櫻井一樣，硬行假設規范粒子具有質量，提出一個具有U（1）xSU（2）對稱性的模型，以統一電磁相互作用和弱相互作用。

另一方面，楊-米爾斯理論也引起一些純理論的興趣。1960年代，費曼（Richard?Feynman）、德維特（Bryce?DeWitt）、波波夫（Victor?Nikolaevich?Popov）和法捷耶夫（Ludvig?Dmitrievich?Faddeev）研究了楊-米爾斯理論的量子化。因量子電動力學的重正化，費曼和施溫格（Julian Schwinger）、朝永振一郎（Shinichiro?Tomonaga）分享1965年諾貝爾物理學獎。

[本文作者受國家自然科學基金面上項目（11574054）資助。]

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關鍵詞：外爾?規范理論?規范場?楊-米爾斯理論?標準模型?粒子物理