基于魔比斯環的拓展實驗和性質初探

沈敏

【摘要】：從素質教育素材引入魔比斯環及其手工實驗，在此基礎上從不同初始扭轉值、裁剪多次、不沿中線裁剪三個方向拓展出一系列相關手工實驗，并取得初步的實驗數據，基于這些手工實驗和實驗數據，對以魔比斯環為代表的、初始扭轉為奇數*π的一系列紙圈的性質進行了初步探討，最后指出未來有潛力的深入研究方向。

【關鍵詞】：拓撲幾何? 魔比斯環? 素質教育 拓展實驗

素質教育一直是備受關注的話題，而類似四色定理、魔比斯環等等數學領域的話題其實完全可以作為素質教育的素材，用以啟迪青少年的學習興趣。本文擬從摩比斯環的手工實驗切入，做一些簡單的嘗試。

一、?????? 摩比斯環的制作

魔比斯環又叫莫比烏斯帶，是數學領域里一種特殊的曲面，有著很多奇妙的性質。魔比斯環于公元1858年由德國數學家莫比烏斯（Mobius，1790～1868）發現并以莫比烏斯的名字命名。拋開深邃而嚴謹的數學公式，我們可以這樣制作一個簡單的魔比斯環：把一根紙條的一端扭轉π后，與另一端粘接起來做成一個紙帶圈。

二、?????? 摩比斯環的性質

魔比斯環具有很多魔術般的性質。

如我們比較熟知的，普通紙帶具有兩個面（即雙側曲面），一個正面，一個反面，我們沿紙帶中間畫一條連續曲線只能覆蓋到紙帶的一個面（比如正面），如果想要覆蓋到另一面（比如反面），就必須越過紙帶的邊緣。而魔比斯環只有一個面（即單側曲面），我們沿紙帶中間畫一條連續曲線可以不必越過紙帶的邊緣就能覆蓋到整個曲面，或者說從曲線出發點出發，筆尖不必越過紙帶邊緣就可以將這條連續曲線劃到出發點背面對應的位置。

將魔比斯環沿中央剪開，紙圈并沒有一分為二，而是成為一個兩倍長的大紙圈。這個大紙圈是一個扭轉的雙側曲面，扭轉了多少度呢？它等價于將紙帶一端扭轉4π后與另一端粘接起來做成的紙帶圈。從上述手工實驗可以發現，制作單側曲面的摩比斯環時一端扭轉的π，在沿中線裁剪過程中翻了4倍并轉移到新形成的大的雙側曲面紙帶圈上，即大的紙帶圈扭轉了4π。

三、?????? 摩比斯環的拓展及相關性質

如果把上述得到的扭轉4π的雙側曲面紙帶圈再沿中線剪開，則得到兩條互相纏繞的雙側曲面紙帶圈，并且這兩條紙帶圈分別等價于將紙帶一端扭轉4π后與另一端粘接起來做成的紙帶圈。即這個扭轉4π的紙帶圈再次沿中線裁剪后得到的兩個紙帶圈扭轉效果不再變化，每條紙帶圈均扭轉4π。而且，這兩條相互纏繞的紙帶如果選其中一條為基準，則另一條繞它旋轉纏繞兩圈，即纏繞4π。其他初始扭轉的紙帶及其沿中線裁剪后的情況詳見表1，表中右下角空白處因未做實驗，暫無數據。

從上表中的實驗數據可以發現，初始扭轉為偶數*π的紙圈沿中線裁剪后的情況相對簡單。而初始扭轉為奇數*π的紙圈的性質都類似于魔比斯環，都是單側曲面，并且沿中線裁剪后的情況都相對復雜得多。比如初始扭轉為3π的紙圈，沿中線裁剪第2次后得到的紙圈雖然只有2個，但是不光每個紙圈的扭轉達到8π，而且兩個紙圈既有相互多重纏繞，還有自身的多重纏繞，已經十分錯綜復雜。

另一方面，上述的裁剪均是沿中線裁剪，如果不是沿中線裁剪呢？

實驗結果顯示，初始扭轉為偶數*π的紙圈，由于初始扭轉是整圈，故不管是否沿中線裁剪均不影響結果。但是初始扭轉為奇數*π的紙圈則不同，如果不沿中線裁剪而是偏一邊裁剪，剪第1次后得到的就不是1個更長的紙圈，而是1個同原來一樣長但窄一些、扭轉值等于初始值的紙圈，外加1個更長的紙圈。其中這個長紙圈與沿中線裁剪得到的長紙圈等價，并且這一長一短兩個紙圈相互纏繞在一起，纏繞值=初始扭轉值*2。

四、?????? 小結

從上述的手工實驗結果可以發現，實際上性質類似魔比斯環的紙帶圈遠不止將一端扭轉180°或π后粘接的紙圈這一種，而是初始扭轉為奇數*π的這一類紙圈都有類似性質，并且隨著初始扭轉值越大，沿中線裁剪后得到的紙圈情況越復雜。上述的手工實驗看似簡單，但實際上至少啟發了兩個問題或者兩個探索方向：

1. 能否通過嚴謹的數學推理得到如表1所示的紙圈的規律。其中兩個自變量分別為初始扭轉值和沿中線裁剪次數，因變量則包括得到紙圈數、每個紙圈扭轉值、自身纏繞值、相互纏繞值等。

2. 能否構建電腦模型來模擬上述手工實驗用以研究其規律。